Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
У чатырохвугольніка на рысунку 117 дыяганалямі з’яў-ляюцца дрэзкі AC і BD.
Стораны чатырохвугольніка, якія зыходзяць з адной вяр-шыні, называюцца суседнімі старанамі. Стораны, якія не маюць агульнага канца, называюцца процілеглымі старанамі.
У чатырохвугольніка на рысунку 117 процілеглымі з’яў-ляюцца стораны AB і CD, ВС і AD.
Чатырохвугольнік абазначаецца ўказаннем яго вяршынь. Напрыклад, чатырохвугольнік на рысунку 117 абазначаецца так: ABCD. У абазначэнні чатырохвугольніка вяршыні, якія стаяць побач, павінны быць суседнімі. Чатырохвугольнік ABCD на рысунку 117 можна таксама абазначыць BCDA або CDBA. Але нельга абазначыць ABDC (В і D — не суседнія вяршыні).
Сума даўжынь усіх старон чатырохвугольніка называецца перыметрам.
§ 6. Чатырохвугольнікі
83
51. ПАРАЛЕЛАГРАМ
Паралелаграм — гэта чатырохвугольнік, у якога процілег-лыя стораны паралельныя, г. зн. ляжаць на паралельных прамых (рыс. 118).
Тэарэма 6.1. Калі дыяганалі чатырохвугольніка пера-сякаюцца і пунктам перасячэння дзеляйца папалам, то гэты чатырохвугольнік — паралелаграм.
Д о к а з. Няхай ABCD — дадзены чатырохвугольнік і О — пункт перасячэння яго дыяганалей (рыс. 119).
Трохвугольнікі AOD і СОВ роўныя. У іх вуглы пры вяршыні О роўныя як вертыкальныя, a OD = OB і ОА = ОС па ўмове тэарэмы.
Значыць, вуглы ОВС і ODA роўныя. А яны з’яўляюцца ўнутранымі накрыж ляжачымі для прамых AD і ВС і сякучай BD. Па прызнаку паралельнасці прамых прамыя AD і ВС па-ралельныя. Гэтак жа даказваепца паралельнасць прамых АВ і CD з дапамогай роўнасці трохвугольнікаў АОВ і COD.
Паколькі процілеглыя 'стораны чатырохвугольніка пара лельныя, то па азначэнню гэты чатырохвугольнік — паралела-грам. Тэарэма даказана.
52. УЛАСЦІВАСЦЬ ДЫЯГАНАЛЕЙ ПАРАЛЕЛАГРАМА
Тэарэма 6.2 (адваротная тэарэме 6.1). Дыяганалі па-ралелаграма перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам.
Доказ. Няхай ABCD — дадзены паралелаграм (рыс. 120). Правядзём яго дыяганаль BD. Адзначым на ёй сярэдзіну О
84
8 клас
і на прадаўжэнні адрэзка АО адкладзём адрэзак ОС\, роўны АО.
Па тэарэме 6.1 чатырохвугольнік ABC]D ёсць парале-лаграм. Значыць, прамая ВСі паралельная AD. Але праз пункт В можна правесці толькі адну прамую, паралельную AD. Значыць, прамая ВС, супадае з прамой ВС.
Гэтак жа даказваецца, што прамая DC\ супадае з прамой DC.
Значыць, пункт С| супадае з пунктам С. Паралелаграм ABCD супадае з ABCtD. Таму яго дыяганалі перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам. Тэарэма даказана.
Рыс. 121
Задача (6). Праз пункт перасячэння дыяганалей па-ралелаграма праведзена прамая. Дакажыце, што адрэзак яе, заключаны паміж паралельнымі старанамі, дзеліцца ў гэтым пункце папалам.
Р а ш э н н е. Няхай ABCD — дадзены паралелаграм і EF — прамая, якая перасякае паралельныя стораны АВ і CD (рыс. 121). Трохвугольнікі ОАЕ і OCF роўныя па друго-му прызнаку. У іх стораны ОА і ОС роўныя, паколькі О — сярэдзіна дыяганалі AC. Вуглы пры вяршыні О роў-ныя як вертыкальныя, а вуглы EAO і FCO роўныя як унут-раныя накрыж ляжачыя пры паралельных AB, CD і сяку-чай AC.
3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роўнасць старон: ОЕ = OF. Што і трэба было даказаць.
§ 6. Чагырохвугольнікі
85
53. УЛАСЦІВАСЦЬ ПРОЦІЛЕГЛЫХ СТАРОН I ВУГЛОУ ПАРАЛЕЛАГРАМА
Тэарэма 6.3. У паралелаграма процілеглыя стораны роў-ныя, процілеглыя вуглы роўныя.
Доказ. Няхай ABCD — дадзены паралелаграм (рыс. 122). Правядзём дыяганалі паралелаграма. Няхай 0 — пункт іх перасячэння.
Роўнасць процілеглых старон AB і CD вынікае з роўнасці трохвугольнікаў АОВ і COD. У іх вуглы пры вяр-шыні О роўныя як вертыкальныя, a ОА = ОС і OB = OD па ўласцівасці дыяганалей паралелаграма. Зусім гэтак жа з роў-насці трохвугольнікаў AOD і СОВ вынікае роўнасць другой па-ры процілеглых старон — AD і ВС.
Роўнасць процілеглых вуглоў ABC і CDA вынікае з роў-насці трохвугольнікаў ABC і CDA (па трох старанах). У іх AB = CD і ВС = DA па даказанаму, а старана AC агульная. Зусім гэтак жа роўнасць процілеглых вуглоў BCD і DAB выні-кае з роўнасці трохвугольнікаў BCD і DAB. Тэарэма да-казана поўнасцю.
л
Задача (18). Дакажыце, што калі ў чатырохвугольні-ка дзве стараны паралельныя і роўныя, то ён з’яўляецца паралелаграмам.
Р а ш э н н е. Няхай ABCD — дадзены чатырохвуголь-нік, у якога стораны AB і CD паралельныя і роўныя
(рыс. 123). Правядзём праз вяршыню В прамую Ь, паралельную старане AD. Гэта прамая перасякае прамень DC у некаторым пункце С,. Чатырохвугольнік ABC}D ёсць
86
8 клас
паралелаграм. Паколькі ў паралелаграма процілеглыя стораны роўныя, to C\D — AB. А па ўмове AB=CD. Значыць, DC = DC. Адсюль вынікае, што пункты С і Сі супадаюць.
Такім чынам, чатырохвугольнік ABCD супадае з паралелаграмам ABC\D, а значыць, з’яўляецца паралела-грамам.
S4. ПРАМАВУГОЛЬНІК
Прамавугольнік — гэта паралелаграм, у якога ўсе вуглы прамыя (рыс. 124).
Тэарэма 6.4. Дыяганалі прамавугольніка роўныя.
Д о к а з. Няхай ABCD — дадзены прамавугольнік (рыс. 125).
Рыс. 124
Сцверджанне тэарэмы вынікае з роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў BAD і CDA. У іх вуглы BAD і CDA прамыя, катэт AD агульны, а катэты AB і CD роўныя як процілеглыя стораны паралелаграма. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што іх гіпатэнузы роўныя. А гіпатэнузы з'яўляюцца дыягана-лямі прамавугольніка. Тэарэма даказана.
3 а д а ч a (24). Дакажыце, што калі ў паралелаграма ўсе вуглы роўныя, то ён з'яўляецца прамавугольнікам.
Р а ш э н н е. Вуглы паралелаграма, якія прылягаюць да адной стараны, з’яўляюцца ўнутранымі аднастароннімі (рыс. 126), таму іх сума роўна 180°. Паколькі па ўмове
§ 6. Чатырохвугольнікі
87
Рыс. 126
задачы гэтыя вуглы роўныя, то кожны з іх прамы. А пара-лелаграм, у якога ўсе вуглы прамыя, ёсць прамавугольнік.
55. РОМБ
Ромб — гэта паралелаграм, у якога ўсе стораны роўныя (рыс. 127).
Рыс. 127
Т э а р э м a 6.5. Дыяганалі ромба перасякаюцца пад прамым вуглом. Дыяганалі ромба з'яўляюцца бісектрысамі яго вуглоў.
Доказ. Няхай ABCD — дадзены ромб (гл. рыс. 127), О — пункт перасячэння яго дыяганалей. Па ўласцівасці паралела-грама AO = ОС. Значыць, у трохвугольніку ABC адрэзак ВО з’яўляецца медыянай.
Паколькі ABCD — ромб, to AB = ВС і трохвугольнік ABC — раўнабедраны. Па ўласцівасці раўнабедранага трохвугольніка медыяна, праведзеная да яго асновы, з’яўляецца бісектрысай і вышынёй. А гэта значыць, што дыяганаль BD з’яўляецца бісектрысай вугла В і перпендыкулярная дыяганалі AC. Тэарэма даказана.
Задача (33). Дакажыце, што калі ў паралелагра-С , ма дыяганалі перпендыкулярныя, то ён з’яўляецца - ромбам.
88 8 клас
Рые. 128
лаграма. 3 роўнасці
Рашэнне. Няхай ABCD — паралелаграм з перпендыкулярны-мі дыяганалямі і О — пункт пера-сячэння дыяганалей (рыс. 128). Трохвугольнікі АОВ і AOD роўныя па першаму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў. У іх вуглы пры вяршыні О па ўмове прамыя, стара-на АО агульная, a OB = OD па ўласцівасці дыяганалей парале-трохвугбльнікаў вынікае роўнасць
старон: AB = AD. А па ўласцівасці процілеглых старон паралелаграма AD = ВС, AB = CD.
Такім чынам, усе стораны паралелаграма роўныя, a значыць, ён ёсць ромб.
56. КВАДРАТ
Квадрат — гэта прамавугольнік, у якога ўсе стораны роў-ныя (рыс. 129).
Паколькі стораны квадрата роўныя, то ён з’яўляецца такса-ма ромбам. Таму квадрат валодае ўласцівасцямі прамавуголь-ніка і ромба:
1. У квадрата ўсе вуглы праліыя.
2. Дыяганалі квадрата роўныя.
3. Дыяганалі квадрата перасякаюцца пад прамым вуглом і з'яўляюцца бісектрысамі яго вуглоў.
Рыс. 129
Рыс. 130
§ 6. Чатырохвугольнікі
89
A
3 а д а ч a (40). Дакажыце, што калі дыяганалі прама-вугольніка перасякаюцца пад прамым вуглом, то ён ёсць квадрат.
Р а ш э н н е. Паколькі прамавугольнік ёсць паралела-
грам, а паралелаграм з перпендыкулярнымі дыяганаля-мі ёсць ромб (задача 33), то ў разглядаемага прама-вугольніка ўсе стораны роўныя (рыс. 130). Па азначэнню такі прамавугольнік ёсць квадрат.
57. ТЭАРЭМА ФАЛЕСА
Тэарэма 6.6 (тэарэма Фалеса). Калі паралельныя пра-мыя, якія перасякаюць стораны вугла, адсякаюць на адной яго старане роўныя адрэзкі, то яны адсякаюць роўныя адрэзкі і на другой яго старане (рыс. 131).
Д о к а з. Няхай А ь А2, А3 — пункты перасячэння паралель-ных прамых з адной са старон вугла і А2 ляжыць паміж А । і А3 (рыс. 131). Няхай В^, В>, В3 — адпаведныя пункты перасячэн-ня гэтых прамых з другой стараной вугла. Дакажам, што калі А|А2 = А2А3, to В\В2 — В2В3.
Правядзём праз пункт В2 прамую EF, паралельную прамой А|А3. Па ўласцівасці паралелаграма AtA2 = FB>, А2А3 = В2Е. I паколькі А|А2 = А2А3, to FB2= В2Е.
Трохвугольнікі B>BtF і В2ВіЕ роўныя па другому прызнаку. У іх B>F = BE па даказанаму. Вуглы пры вяршыні В2 роўныя як вертыкальныя, а вуглы B2FB\ і ВЕВ3 роўныя як унутраныя накрыж ляжачыя пры паралельных АВі і А3В3 і сякучай EF.
90
8 клас
Фалес Мілецкі — ста-ражытнагрэчаскі ву-чоны (VI ст. да н. э.)
3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роў-насць старон: В\В> = В>ВЛ. Тэарэма да-казана.
3 а ў в а г а. Ва ўмове тэарэмы Фалеса замест старон вугла можна ўзяць любыя дзве прамыя, пры гэтым заключэнне тэа-рэмы будзе тое ж:
паралельныя прамыя, якія перася-каюць дзве дадзеныя прамыя і адся-каюць на адной прамой роўныя адрэзкі, адсякаюць роўныя адрэзкі і на другой прамой.
Часам тэарэма Фалеса будзе прымя-няцца і ў такой форме.
3 а д а ч a (48). Падзяліце дадзены адрэзак АВ на п роў-ных частак.
Рашэнне. Правядзём з пункта А паўпрамую а, якая не ляжыць на прамой АВ (рыс. 132). Адкладзём на паўпрамой а роўныя адрэзкі: АА\, AfA2, А2А3, ...,
А„^іАп. Злучым пункты Ап і В. Правядзём праз пункты Ai, A2, ...» Ац^{ прамыя, паралельныя прамой А„В. Яны перасякаюць адрэзак АВ у пунктах В\, В2, .... В,,-\, якія дзеляць адрэзак АВ на п роўных адрэзкаў (па тэарэме Фалеса).
Рыс. 132
§ 6. Чатырохвугольнікі
91
58. СЯРЭДНЯЯ ЛІНІЯ ТРОХВУГОЛЬНІКА
Сярэдняй лініяй трохвугольніка называецца адрэзак, які злучае сярэдзіны дзвюх яго старон.
Т э а р э м a 6.7. Сярэдняя лінія трохвугольніка, якая злучае сярэдзіны дзвюх дадзеных старон, паралельная трэцяй старане і роўная яе палавіне.
Д о к а з. Няхай DE — сярэдняя лінія трохвугольніка ABC (рыс. 133). Правядзём праз пункт D прамую, паралельную старане АВ. Па тэарэме Фалеса яна перасякае адрэзак AC у яго сярэдзіне, г. зн. змяшчае сярэднюю лінію DE. Значыць, сярэдняя лінія DE паралельная старане АВ.
КНІГІ ОНЛАЙН
