Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Правядзём цяпер сярэднюю лінію DF. Яна паралельная старане AC. Чатырохвугольнік AEDF — паралелаграм. Па ўласцівасці паралелаграма ED = AF, а паколькі AF = FB па тэарэме Фалеса, to ED = ^АВ. Тэарэма даказана.
3 а д а ч a (55). Дакажыце, што сярэдзіны старон чаты-рохвугольніка з’яўляюцца вяршынямі паралелаграма.
Р а ш э н н е. Няхай ABCD — дадзены чатырохвуголь-нік iE,F, G,H — сярэдзіны яго старон (рыс. 134). Адрэзак EF — сярэдняя лінія трохвугольніка ABC. Таму EF || AC. Адрэзак GH — сярэдняя лінія трохвугольніка ADC. Таму GH || AC. Такім чынам, EF || GH, г. зн. процілеглыя стораны EF і GH чатырохвугольніка EFGH паралельныя. Зусім гэтак жа даказваецца паралельнасць другой пары проці-леглых старон. Значыць, чатырохвугольнік EFGH — паралелаграм.
/
92
8 клас
59. ТРАПЕЦЫЯ
Трапецыяй называецца чатырохвугольнік, у якога толькі дзве процілеглыя стараны паралельныя. Гэтыя паралельныя стораны называюцца асновамі трапецыі. Дзве другія стараны называюцца бакавымі старанамі.
На рысунку 135 вы бачыце трапецыю ABCD з асновамі АВ і CD і бакавымі старанамі ВС і AD.
Трапецыя, у якой бакавыя стораны роўныя, называецца раўнабокай. Адрэзак, які злучае сярэдзіны бакавых старон, называецца сярэдняй лініяй трапецыі.
CD В
Рыс. 135 Рыс. 136
Т э а р э м a 6.8. Сярэдняя лінія трапецыі паралельная асно-вам і роўная іх паўсуме.
Доказ. Няхай ABCD — дадзеная трапецыя (рыс. 136). Правядзём праз вяршыню В і сярэдзіну Р бакавой стара-ны CD прамую. Яна перасякае прамую AD у некаторым пункце Е.
Трохвугольнікі РВС і PED роўныя па другому прызнаку роў-насці трохвугольнікаў. У іх CP = DP па пабудаванню, вуглы пры вяршыні Р роўныя як вертыкальныя, а вуглы РСВ і PDE роўныя як унутраныя накрыж ляжачыя пры паралельных прамых ВС і AD і сякучай CD. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае роўнасць старон: РВ — РЕ, BC = ED.
Значыць, сярэдняя лінія PQ трапецыі з’яўляецца сярэдняй лініяй трохвугольніка АВЕ. Па ўласцівасці сярэдняй лініі трохвугольніка PQ || АЕ і адрэзак
PQ = ^AE^ ^(AD + ВС).
Тэарэма даказана.
\
§ 6. Чатырохвугольнікі 93
Задача (60). Дакажыце, што ў раўнабокай трапецыі вуглы пры аснове роўныя.
Рашэнне. Няхай ABCD — раўнабокая трапецыя (рыс. 137). Дакажам, што вуглы трапецыі пры аснове CD роўныя.
Рыс. 137
Правядзём праз вяршыню В прамую, паралельную ста-ране AD. Яна перасячэ прамень CD у некаторым пункце Е. Чатырохвугольнік ABED — паралелаграм. Па ўласцівасці паралелаграма BE = AD. Па ўмове AD = ВС (трапецыя раўнабокая), значыць, трохвугольнік ВСЕ раўнабедраны з асновай EC. Вуглы трохвугольніка і трапецыі пры вяршы-ні С супадаюць, а вуглы пры вяршынях Е і D роўныя як адпаведныя вуглы пры перасячэнні паралельных прамых сякучай. Таму AADC = ABCD. Сцверджанне даказана.
60. ТЭАРЭМА АБ ПРАПАРЦЫЯНАЛЬНЫХ АДРЭЗКАХ
Т э а р э м a 6.9. Паралельныя прамыя, якія перасякаюць сто-раны вугла, адсякаюць ад старон вугла прапарцыянальныя адрэзкі.
Доказ. Няхай стораны вугла А перасякаюцца паралель-нымі прамымі ў пунктах В, С і В\, Ct адпаведна (рыс. 138). Тэарэмай сцвярджаецца, што
АСХ _ АВ, ~АС~ ~АВ'
(*)
Дакажам спачатку роўнасць (*) у выпадку, калі існуе адрэ-зак такой даўжыні ё, які ўкладваецца цэлы лік разоў і на ад-рэзку AC, і на адрэзку АС\. Няхай AC = nb, АС\ — mb і n> m. Разаб’ём адрэзак AC на п роўных частак (даўжыні 6). Пры гэ-
94
8 клас
тым пункт Сі будзе адным з пунктаў дзялення. Правядзём праз пункты дзялення прамыя, паралельныя прамой ВС. Па тэарэме Фалеса гэтыя прамыя разбіваюць адрэзак АВ на роўныя адрэзкі некаторай даўжыні 6і. Маем:
АВ = nb\, АВ\ — тб|.
Мы бачым, што
AC, т АВ, т
~АС — ~п ' АВ ~ ~п~'
Значыць,
AC, АВ, AC ~АВ’
што і трэба было даказаць.
Дакажам тэарэму ў агульным выпадку (не для запамінан-
, „ . AC, ; AB, AC, АВ,
ня). Дапусцім, што напрыклад, што
AC Адкладзём на прамені AC адрэзак АС2 = ——-АВ\
АВ
(рыс. 139). Пры гэтым АСі <АС,. Разаб’ём адрэзак AC на вялі-кі лік п роўных частак і правядзём праз пункты дзялення прамыя, паралельныя ВС.
Пры дастаткова вялікім п на адрэзку С,С2 будуць пункты дзялення. Абазначым адзін з іх праз Y, а адпаведны пункт на адрэзку АВ\ праз X. Па даказанаму
AY _ АХ AC ~ АВ'
§ 6. Чатырохвугольнікі 95
Заменім у гэтай роўнасці велічыню АУ меншай велічынёй АС2, а велічыню АХ большай велічынёй АВ\. Атрымаем:
АС2 АВ\ ~АС~<' ~АВ'
AC AC
Адсюль АС2 < • АВ\. Але АС2 = ——- • АВ\. Мы прыйшлі да
Ad Ad
супярэчнасці. Тэарэма даказана.
61. ПАБУДАВАННЕ ЧАЦВЕРТАГА ПРАПАРЦЫЯНАЛЬНАГА АДРЭЗКА
Задача 6.1. Дадзены адрэзкі а, Ь, с. Пабудаваць адрэзак
Ьс х = —. a
Р а ш э н н е. Будуем любы неразгорнуты вугал з вяршыняй 0 (рыс. 140). Адкладваем на адной старане вугла адрэзкі ОА = а і ОВ = b, а на другой старане — адрэзак ОС = с. Злучаем пункты A і С прамой і праводзім паралельную ёй прамую BD праз пункт В. Адрэзак OD = х.
Сапраўды, па тэарэме аб прапарцыянальных адрэзках
ОА _ ос ОВ ~ OD"
Адсюль
_ ов • ОС Ь ■ с
ОА a
Такім чынам, адрэзак OD ёсць шукаемы адрэзак х.
3 а ў в а г а. Пабудаваны адрэзак х называецца чацвёртым прапарцыянальным. Гэта назва звязана з тым, што ён з’яўляец-ца чацвёртым членам прапорцыі a: b = с •. х.
96
8 клас
ф КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1. Якая фігура называецца чатырохвугольнікам?
2. Якія вяршыні чатырохвугольніка называюцца суседнімі, якія — процілеглымі?
3. Што такое дыяганалі чатырохвугольніка?
4. Якія стораны чатырохвугольніка называюцца суседнімі? Якія называюцца процілеглымі?
5. Як абазначаецца чатырохвугольнік?
6. Што такое паралелаграм?
7. Дакажыце, што калі дыяганалі чатырохвугольніка перася-каюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам, то ён з’яўляецца паралелаграмам.
8. Дакажыце, што дыяганалі паралелаграма перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам.
9. Дакажыце, што ў паралелаграма процілеглыя стораны роў-ныя, процілеглыя вуглы роўныя.
10. Што такое прамавугольнік?
11. Дакажыце, што дыяганалі прамавугольніка роўныя.
12. Што такое ромб?
13. Дакажыце, што дыяганалі ромба перасякаюцца пад пра-мым вуглом; дыяганалі ромба з’яўляюцца бісектрысамі яго вуглоў.
14. Што такое квадрат? Пералічыце ўласцівасці квадрата.
15. Дакажыце тэарэму Фалеса.
16. Дакажыце, што сярэдняя лінія трохвугольніка роўная па-лавіне адпаведнай стараны.
17. Які чатырохвугольнік называецца трапецыяй?
18. Якая трапецыя называецца раўнабокай?
19. Дакажыце, што сярэдняя лінія трапецыі роўна паўсуме асноў.
20. Дакажыце тэарэму аб прапарцыянальных адрэзках.
^ЗАДАЧЫ
1. На рысунках 114—116 дадзены тры фігуры, кожная з якіх складаецца з чатырох пунктаў і чатырох адрэзкаў, што паслядоўна злучаюць іх. Якая з гэтых фігур з’яўля-ецца чатырохвугольнікам?
2. Пабудуйце які-небудзь чатырохвугольнік PQRS. Пакажы-це яго процілеглыя стораны і вяршыні.
3. Колькі можна пабудаваць паралелаграмаў з вяршынямі ў трох зададзеных пунктах, якія не ляжаць на адной прамой? Пабудуйце іх.
§ 6. Чатырохвугольнікі
97
4. Бакавая старана раўнабедранага трохвугольніка роўна 5 м. 3 пункта, узятага на аснове гэтага трохвугольніка, праведзены дзве прамыя, паралельныя бакавым старанам. Знайдзіце перыметр паралелаграма, які атрымаўся.
5. Адлегласці ад пункта перасячэння дыяганалей паралела-грама да дзвюх яго вяршынь роўны 3 см і 4 см. Чаму роўныя адлегласці ад яе да дзвюх другіх вяршынь? Растлу-мачце адказ.
6. Праз пункт перасячэння дыяганалей паралелаграма пра-ведзена прамая. Дакажыце, што адрэзак яе, заключаны паміж паралельнымі старанамі, дзеліцца гэтым пунктам папалам.
7. У паралелаграме ABCD праз пункт перасячэння дыяга-налей праведзена прамая, якая адсякае на старанах ВС і AD адрэзкі BE = 2 м і AF = 2,8 м. Знайдзіце стораны ВС і AD.
8. У паралелаграма ABCD АВ = 10 см, ВС = 15 см. Чаму роў-ныя стораны AD і CD? Растлумачце адказ.
9. У паралелаграма ABCD АА = 30°. Чаму роўныя вуглы В, С, D? Растлумачце адказ.
10. Перыметр паралелаграма ABCD роўны 10 см. Знайдзіце даўжыню дыяганалі BD, ведаючы, што перыметр трохву-гольніка ABD роўны 8 см.
11. Адзін з вуглоў паралелаграма роўны 40°. Знайдзіце астат-нія вуглы.
12. Знайдзіце вуглы паралелаграма, ведаючы, што адзін з іх большы за другі на 50°.
13. Ці можа адзін вугал паралелаграма быць роўны 40°, а дру-гі — 50°?
14. Дыяганаль паралелаграма ўтварае з дзвюма яго старанамі вуглы 25° і 35°. Знайдзіце вуглы паралелаграма.
15. Знайдзіце ўсе вуглы паралелаграма, калі сума двух з іх роў-на: 1) 80°; 2) 100°; 3) 160°.
16. Знайдзіце ўсе вуглы паралелаграма, калі рознасць двух з іх роўна: 1) 70°; 2) 110°; 3) 140°.
17. У паралелаграме ABCD пункт Е — сярэдзіна стараны ВС, a F — сярэдзіна стараны AD. Дакажыце, што чатырохву-гольнік BEDF — паралелаграм.
18. Дакажыце, што калі ў чатырохвугольніка дзве стара-ны паралельныя і роўныя, то ён з’яўляецца паралела-грамам.
19. У паралелаграме ABCD праведзена бісектрыса вугла А, якая перасякае старану ВС у пункце Е. Чаму роўны адрэзкі BE і EC, калі АВ — 9 cm, AD — 15 см?
20. Дзве стараны паралелаграма адносяцца як 3:4, а перы-метр яго роўны 2,8 м. Знайдзіце стораны.
4 Геаметрыя, 7—11 кл.
98
8 клас
21. У паралелаграме ABCD перпендыкуляр, апушчаны з вяр-шыні В на старану AD, дзеліць яе папалам. Знайдзіце дыя-ганаль BD і стораны паралелаграма, калі вядома, што пе-рыметр паралелаграма роўны 3,8 м, а перыметр трохвуголь-ніка ABD роўны 3 м.
22. Пабудуйце паралелаграм: 1) па дзвюх старанах і дыягана-лі; 2) па старане і дзвюх дыяганалях.
23. Пабудуйце паралелаграм: 1) па дзвюх старанах і вуглу; 2) па дыяганалях і вуглу паміж імі.
24. Дакажыце, што калі ў паралелаграма ўсе вуглы роўныя, то ён з’яўляецца прамавугольнікам.
25. Дакажыце, што калі ў паралелаграма хаця б адзін вугал прамы, то ён з’яўляецца прамавугольнікам.
26. Дакажыце, што калі ў паралелаграма дыяганалі роўныя, то ён з’яўляецца прамавугольнікам.
27. Бетонная пліта з прамалінейнымі краямі павінна мець форму прамавугольніка. Як пры дапамозе вяроўкі праве-рыць правільнасць формы пліты?
28. Бісектрыса аднаго з вуглоў прамавугольніка дзеліць ста-рану прамавугольніка папалам. Знайдзіце перыметр пра-мавугольніка, калі яго меншая старана роўна 10 см.
29. У прамавугольніку пункт перасячэння дыяганалей знахо-дзіцца на адлегласці ад меншай стараны на 4 см далей, чым ад большай стараны. Перыметр прамавугольніка роўны 56 см. Знайдзіце стораны прамавугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
