Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Ах належыць адмоўнай паўвосі. Калі пункт А ляжыць на восі арды-нат у, то лічым х роўным нулю.
Ардыната (у) пункта А вызна-чаецца аналагічна. Праз пункт A правядзём прамую, паралельную восі абсцыс х (гл. рыс. 171). Яна перасячэ вось ардынат у у некато-рым пункце Ау. Ардынатай пунк-та А мы будзем называць лік у, абсалютная велічыня якога роўна адлегласці ад пункта О да Ау. Гэты лік будзе дадатным, калі Ау нале-жыць дадатнай паўвосі, адмоўным, калі Ау належыць адмоўнай паў-
Р. Дэкарт — фран-цузскі вучоны (1596—1650)
восі. Калі пункт А ляжыць на восі абсцыс х, то лічым у роўным
нулю.
Каардынаты пункта будзем запісваць у дужках побач з лі-тарным абазначэннем пункта, напрыклад: А(х, у) (на першым месцы — абсцыса, на другім — ардыната).
Восі каардынат разбіваюць плоскасць на чатыры часткі — чвэрці: I, II, III, IV (рыс. 172). У межах адной чвэрці знакі абедзвюх каардынат захоўваюцца і маюць значэнні, дадзеныя на рысунку.
Пункты восі х (восі абсцыс) маюць роўныя нулю ардынаты (у = 0), а пункты восі у (восі ардынат) маюць роўныя нулю аб-сцысы (х = 0). У пачатку каарды-нат абсцыса і ардыната роўны нулю.
Плоскасць, на якой уведзены апісаным вышэй спосабам каар-дынаты х і у, будзем называць плоскасцю ху. Адвольны пункт на гэтай плоскасці з каардынатамі х і у будзем часам абазначаць проста (х, у). Уведзеныя на плос-касці каардынаты х, у называюцца дэкартавымі, па імю Р. Дэкарта, які ўпершыню прымяніў іх у сваіх даследаваннях.
122
8 клас
3 а д а ч a (9). Дадзены пункты А( — 3; 2) і В(4, 1). Дака-жыце, што адрэзак АВ перасякае вось у, але не перасякае вось х.
Р а ш э н н е. Вось у разбівае плоскасць ху на дзве паў-плоскасці. У адной паўплоскасці абсцысы пунктаў дадат-ныя, а ў другой адмоўныя. Паколькі ў пунктаў A і В абсцысы процілеглых знакаў, то пункты A і В ляжаць у розных паўплоскасцях. А гэта значыць, што адрэзак АВ перасякае вось у.
Вось х таксама разбівае плоскасць ху на дзве паўплос-касці. У адной паўплоскасці ардынаты пунктаў дадатныя, а Ў другой — адмоўныя. У пунктаў А іВ ардынаты аднаго знака (дадатныя). Значыць, пункты A і В ляжаць у адной паўплоскасці. А такім чынам, адрэзак АВ не перасякаецца з воссю х.
72. КААРДЫНАТЫ СЯРЭДЗІНЫ АДРЭЗКА
Няхай А(хі, у]) і В(х2, у?) — два адвольныя пункты і С(х, у) — сярэдзіна адрэзка АВ. Знойдзем каардынаты х, у пункта С. Разгледзім спачатку выпадак, калі адрэзак АВ не паралельны восі у, г. зн. Xi y=Xj. Правядзём праз пункты А, В, С прамыя, паралельныя восі у (рыс. 173). Яны перасякуць вось х у пунктах А,(хі, 0), В|(х2, 0), СДх, 0). Па тэарэме Фалеса пункт Сі будзе сярэдзінай адрэзка А}В\.
Паколькі пункт С। — сярэдзіна адрэзка A,B|, то А |С, = В । С ।, а значыць, |х — xj = |х — х2|. Адсюль вынікае, што ці х — Хі =
= Х — Х2, ЦІ X — Х| =—(х — х2). Першая роўнасць немагчыма, таму што Х| ^ х2. Таму правільная дру-гая. А з яе атрымліваецца формула
Х| + х2
Калі Х| = х2, г. зн. адрэзак АВ паралельны восі у, то ўсе тры пункты А|, В|, С| маюць адну і тую ж абсцысу. Значыць, формула застаецца правільнай і ў гэтым выпадку.
§ 8. Дэкартавы каардынаты на плоскасці
123
Ардыната пункта С знаходзіцца аналагічна. Праз пункты A, В, С праводзяцца прамыя, паралельныя восі х. Атрымлі-ваецца формула
__У\+Уг
У — 2
Задача (15). Дадзены тры вяршыні паралелаграма ABCD: А(1, 0), В(2, 3), С(3, 2). Знайдзіце каардынаты чацвёртай вяршыні D і пункта перасячэння дыяганалей.
Р а ш э н н е. Пункт перасячэння дыяганалей з’яўляецца сярэдзінай кожнай з іх. Таму ён з’яўляецца сярэдзінай адрэзка AC, a значыць, мае каардынаты
Цяпер, ведаючы каардынаты пункта перасячэння дыяганалей, знаходзім каардынаты х, у чацвёртай вяр-шыні D. Карыстаючыся тым, што пункт перасячэння дыяганалей з’яўляецца сярэдзінай адрэзка BD, маем:
Ц2=2, Ц^=1. Адсюль х = 2, і/=-1.
73. АДЛЕГЛАСЦЬ ПАМІЖ ПУНКТДМІ
Няхай на плоскасці ху дадзены два пункты: А, з каардынатамі Xj, у\ і А2 з каардынатамі х2, У2- Выразім адлегласць паміж пунктамі А| і А2 праз каардынаты гэтых пунктаў.
Разгледзім спачатку выпадак, калі х, #= х2 і yt =А уг- Правя-дзём праз пункты Ai і А2 прамыя, паралельныя восям каарды-нат, і абазначым праз А пункт іх
перасячэння (рыс. 174). Адлегласць паміж пунктамі A і A1 роўна \у\ — У21, а адлегласць паміж пунк-тамі А і А2 роўна |хі —х2|. Пры-мяняючы да прамавугольнага трох-вугольніка АА|А2 тэарэму Піфа-гора, атрымаем:
d2 = (х । — х2)2 + (уі - 1/2)2, (*)
дзе d — адлегласць паміж пункта-мі Аі і А2.
Рыс. 174
124
8 клас
Хоць формула (*) для адлегласці паміж пунктамі выведзена намі ў дапушчэнні Хі#=х2, ўі ^У2, яна застаецца правільнай і ў іншых выпадках. Сапраўды, калі Хі = х2, у\ =# У2, to d роўна \уі—У2\- Той жа рэзультат дае і формула (*). Аналагічна разглядаецца выпадак, калі Хі^х2, уі=у2. Пры х,=х2, у\ = Уі пункты А| і А2 супадаюцць і формула (*) дае d = 0.
3 а д а ч a (19). Знайдзіце на восі х пункт, роўнаадда-лены ад пунктаў (1, 2) і (2, 3).
Рашэнне. Няхай (х, 0) — шукаемы пункт. Прыраў-ноўваючы адлегласць ад яго да дадзеных пунктаў, атры-маем:
(х - I)2 + (0 - 2)2 = (х - 2)2 + (0 - З)2.
Адсюль знаходзім: х = 4. Такім чынам, шукаемы пункт ёсць (4,0).
74. УРАЎНЕННЕ АКРУЖНАСЦІ
Ураўненнем фігуры. ў дэкартавых каардынатах на плоскасці называецца ўраўненне з дзвюма невядомымі х і у, якому зада-вальняюць каардынаты любога пункта фігуры. I наадварот: любыя два лікі, якія задавальняюць гэтаму ўраўненню, з’яўля-юцца каардынатамі некаторага пункта фігуры.
Саставім ураўненне акружнасці з цэнтрам у пункце Ао (а, Ь) і радыусам R (рыс. 175). Возьмем адвольны пункт А(х, у) на акружнасці. Адлегласць ад яго да цэнтра Ао роўна R. Квад-рат адлегласці ад пункта А да Ао роўны (х — а)2 ~^-(у — Ь)2. Такім чынам, каардынаты х, у кожнага пункта А акружнасці задавальняюць ураўненню
(х — а)2 + (у — Ь^ = R2. (*)
Наадварот: любы пункт А, ка-ардынаты якога задавальняюць ураўненню (*), належыць акруж-насці, паколькі адлегласць ад яе да пункта Ао роўна R. Адсюль выні-кае, што ўраўненне (*) сапраўды з’яўляецца ўраўненнем акружнасці з цэнтрам Ао і радыусам R.
§ 8. Дэкартавы каардынаты на плоскасці
125
Заўважым, што калі цэнтрам акружнасці з’яўляецца пача-так каардынат, то ўраўненне акружнасці мае выгляд:
x2 + y2=R2.
3 а д а ч a (30). Якая геаметрычная фігура зададзена ўраўненнем
х2 + у2 + ax + by + с = 0, — с > 0?
Р а ш э н н е. Пераўтворым дадзенае ўраўненне наступ-ным чынам:
Мы бачым, што разглядаемая фігура ёсць акружнасць з
— 4^ 1 Радыусам R =
цэнтрам ( ~ у 5
75. УРАЎНЕННЕ ПРАМОЙ
Дакажам, што любая прамая ў дэкартавыХ каардынатах х, у мае ўраўненне віду
ax + by -і~ с = 0,
(*)
дзе а, Ь, с — некаторыя лікі.
Няхай h — адвольная прамая на плоскасці ху. Правядзём якую-небудзь прамую, перпендыкулярную прамой h, і адкла-
дзём на ёй ад пункта перасячэння С з прамой h роўныя адрэзкі СА, і СА2 (рыс. 176).
Няхай аь ft, — каардынаты пункта А । і а2, Ь2 — каардынаты пункта А 2. Як мы ведаем, любы пункт А(х, у) прамой h роўнаадда-лены ад пунктаў А| і А2. Таму каардынаты яго задавальняюць ураўненню
(х — а^2 + (у — bt)2 =
= (х — а2)2 + (у — Ь2)2. (**)
Рыс. 176
126
8 клас
Наадварот, калі каардынаты х і у якога-небудзь пункта за-давальняюць ураўненню (**), то гэты пункт роўнааддалены ад пунктаў Ai і A2, а значыць, належыць прамой h. Такім чынам, ураўненне (**) з’яўляецца ўраўненнем прамой h. Калі ў гэтым ураўненні раскрыць дужкі і перанесці ўсе члены ўраўнення ў левую яго частку, то яно прыме выгляд (*)
2(а2 — аі)х + 2(Ь2 — Ь,)г/ + (a, + b? — a2 — bi) = 0.
Абазначаючы 2(a2— a^ = a, 2(b2 — bi) = b, af + bi — a2 — — b2 = c, атрымліваем ураўненне (*). Сцверджанне даказана.
Задача (35). Састаўце ўраўненне прамой, якая пра-' ходзіць праз пункты А(— 1, 1), В(1, 0).
Р а ш э н н е. Як мы ведаем, наша прамая мае ўраўненне віду ax -\- by -\- с — 0. Пункты A і В ляжаць на прамой, а значыць, іх каардынаты задавальняюць гэтаму ўраў-ненню.
Падстаўляючы каардынаты пунктаў A і В ва ўраўненне прамой, атрымаем:
— a + b + c = O, a + с = 0.
3 гэтых ураўненняў можна выразіць два каэфіцыенты, напрыклад а і Ь, праз трэці: a — — с, b = — 2с. Падстаў-ляючы гэтыя значэнні a і b ва ўраўненне прамой, атры-маем:
— сх — 2су + с = 0.
На с можна скараціць. Тады атрымаем:
— х —2у + 1 = 0.
Гэта і ёсць ураўненне нашай прамой.
76. КААРДЫНАТЫ ПУНКТА ПЕРАСЯЧЭННЯ ПРАМЫХ
Няхай зададзены ўраўненні дзвюх прамых: ax -\- by + с — ®, (hx + b^y + с\ =0.
Знойдзем каардынаты іх пункта перасячэння.
§ 8. Дэкартавы каардынаты на плоскасці
127
Паколькі пункт перасячэння (х; у) належыць кожнай з пра-мых, то яго каардынаты задавальняюць і першаму і другому ўраўненню. Таму каардынаты пункта перасячэння з’яўляюцца рашэннем сістэмы ўраўненняў, якія задаюць прамыя. Разгле-дзім прыклад.
Няхай ураўненнямі дадзеных прамых будуць:
Зх — у + 2 = 0, 5х — 2г/ + 1 = 0.
Рашаючы гэту сістэму ўраўненняў, знаходзім х = — 3, у = —7. Пункт перасячэння прамых (—3; —7).
3 а д а ч a (43). Дакажыце, што прамыя, якія задаюцца f ўраўненнямі
' 7 y = kx + h, y = kx + l2,
пры Zi ^Z2 паралельныя.
Рашэнне. Дапусцім прамыя не паралельныя, а зна-чыць, перасякаюцца ў некаторым пункце (хй уі). Паколькі пункт перасячэння належыць кожнай з прамых, то для яго
У\ = kx\ + Zi, у> = kx\ -[-12.
Адымаючы гэтыя роўнасці пачленна, атрымаем 0 = Zi — 12. А гэта супярэчыць умове (Z, =#/г). Мы прыйшлі да супя-рэчнасці. Сцверджанне даказана.
77. РАЗМЯШЧЭННЕ ПРАМОЙ АДНОСНА СІСТЭМЫ КААРДЫНАТ
Высветлім, як размешчана прамая адносна восей каарды-нат, калі яе ўраўненне ах + by -^-с = 0 мае той ці іншы пры-ватны выгляд.
1. a = 0, b ^ 0. У гэтым выпадку ўраўненне прамой можна перапісаць так:
с
Такім чынам, усе пункты прамой маюць адну і тую ж арды-нату ( — у); значыць, прамая паралельная восі х (рыс. 177, а).
128
8 клас
У прыватнасці, калі і с = 0, то прамая супадае з воссю х.
2. 6 = 0, а^ 0, Гэты выпадак разглядаецца аналагічна. Прамая паралельная восі у (рыс. 177, 5) і супадае з ёй, калі і с = 0.
3. с = 0. Прамая праходзіць праз пачатак каардынат, па-колькі яго каардынаты (0; 0) задавальняюць ураўненню прамой (рыс. 177, в).
Задача (45). Састаўце ўраўненне прамой, якая пара-лельная восі х і праходзіць праз пункт (2; —3).
КНІГІ ОНЛАЙН
