Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
10. Якія пункты называюцца сіметрычнымі адносна дадзенай прамой?
11. Якое пераўтварэнне называецца сіметрыяй адносна дадзе-най прамой?
12. Якая фігура называецца сіметрычнай адносна дадзенай прамой?
13. Што такое вось сіметрыі фігуры? Прывядзіце прыклад.
14. Дакажыце, што сіметрыя адносна прамой ёсць рух.
15. Які рух называецца паваротам?
16. Што такое паралельны перанос?
17. Якія вы ведаеце ўласцівасці паралельнага пераносу?
18. Дакажыце існаванне і адзінасць паралельнага пераносу, які пераводзіць пункт у другі дадзены пункт.
19. Якія паўпрамыя называюцца аднолькава накіраванымі?
152
8 клас
20. Дакажыце, што калі паўпрамыя a і b аднолькава накірава-ныя і паўпрамыя b і с аднолькава накіраваныя, то паўпра-мыя а і с таксама аднолькава накіраваныя.
21. Якія паўпрамыя называюцца процілегла накіраванымі?
22. Якія фігуры называюцца роўнымі?
0
W ЗАДАЧЫ
1. Дакажыце, што пры руху паралелаграм пераходзіць у паралелаграм.
2. У якую фігуру пераходзіць пры руху квадрат? Растлумачце адказ.
3. Дадзены пункты A і В. Пабудуйце пункт В', сіметрычны пункту В адносна пункта А.
4. Рашыце папярэднюю задачу, карыстаючыся толькі цыр-кулем.
5. Дакажыце, што цэнтр акружнасці з’яўляецца яе цэнтрам сіметрыі.
6. Пры сіметрыі адносна некаторага пункта пункт X перахо-дзіць у пункт X'. Пабудуйце пункт, у які пры гэтай сіметрыі пераходзіць пункт У.
7. Ці можа ў трохвугольніка быць цэнтр сіметрыі?
8. Дакажыце, што ў паралелаграма пункты перасячэння дыяганалей з’яўляюцца цэнтрам сіметрыі.
9. Дакажыце, што чатырохвугольнік, у якога ёсць цэнтр сіметрыі, з’яўляецца паралелаграмам.
10*. Дадзены прамыя, якія перасякаюцца, і пункт, што не ляжыць на гэтых прамых. Пабудуйце адрэзак з канцамі на дадзеных прамых і сярэдзінай у дадзеным пункце (рыс. 207).
11. Што ўяўляе сабой фігура, сіметрычная адносна дадзенага пункта: 1) адрэзку; 2) вуглу; 3) трохвугольніку?
12. Дадзены пункты A, В, С. Пабудуйце пункт С', сіметрычны пункту С адносна прамой АВ.
13. Рашыце задачу 12, карыстаючыся толькі цыркулем.
14. Чаму роўны каардынаты пункта, сіметрычнага пунк-ту ( — 3; 4) адносна 1) восі х; 2) восі у; 3) пачатку каар-дынат?
15. Пры сіметрыі адносна некаторай прамой пункт X перахо-дзіць у пункт X'. Пабудуйце пункт, у які пры гэтай сімет-рыі пераходзіць пункт У.
16. Дакажыце, што прамая, якая змяшчае бісектрысу вугла, з’яўляецца яго воссю сіметрыі.
§ 9. Pyx
153
17. Дакажыце, што прамая, якая змяшчае медыяну раўнабед-ранага трохвугольніка, праведзеную да асновы, з’яўляецца воссю сіметрыі трохвугольніка.
18. Дакажыце, што калі ў трохвугольніка ёсць вось сіметрыі, то 1) яна праходзіць праз адну з яго вяршынь; 2) трохву-гольнік раўнабедраны.
19. Колькі восей сіметрыі ў роўнастаронняга трохвугольніка?
20. Дакажыце, што прамыя, якія праходзяць праз пункт пера-сячэння дыяганалей прамавугольніка паралельна яго ста-ранам, з’яўляюцца яго восямі сіметрыі (рыс. 208).
21. Дакажыце, што дыяганалі ромба з’яўляюцца яго восямі сіметрыі.
22. Дакажыце, што дыяганалі квадрата і прамыя, якія прахо-дзяць праз пункт іх перасячэння паралельна яго старанам, з’яўляюцца восямі сіметрыі квадрата (рыс. 209).
23. Дакажыце, што прамая, якая праходзіць праз цэнтр акруж-насці, з’яўляецца яго воссю сіметрыі.
24*. Дадзены тры прамыя, якія перасякаюцца парамі, а, Ь, с. Як пабудаваць адрэзак, перпендыкулярны прамой Ь, з ся-рэдзінай на прамой b і канцамі на прамых а і с (рыс. 210). Ці заўсёды задача мае рашэнне?
Рыс. 209
Рыс. 210
154
8 клас
25. 1) Пабудуйце пункт А|, у які пераходзіць пункт А пры павароце каля пункта 0 на вугал 60° па гадзіннікавай стрэлцы.
2) Пабудуйце фігуру, у якую пераходзіць адрэзак АВ пры павароце каля пункта О на вугал 60° па гадзіннікавай стрэлцы.
26. Пабудуйце фігуру, у якую пераходзіць трохвугольнік ABC пры павароце яго каля вяршыні С на вугал 60°.
27. Дадзены пункты A, В, С. Пабудуйце пункт С', у які перахо-дзіць пункт С пры паралельным пераносе, што пераводзіць пункт А ў В.
28. Паралельны перанос задаецца формуламі х' = х + 1, у' = у — 1. У якія пункты пры гэтым паралельным пера-носе пераходзяць пункты (0; 0), (1; 0), (0; 2)?
29. Знайдзіце велічыні a і b у формулах паралельнага пераносу х'= х-\-а, у' = у-\-Ь, калі вядома, што: 1) пункт (1; 2) пераходзіць у пункт (3; 4); 2) пункт (2; —3) — у пункт (—1; 5); 3) пункт (—1; —3) — у пункт (0; 2).
30. Пры паралельным пераносе пункт (1; 1) пераходзіць у пункт (—1; 0). У які пункт пераходзіць пачатак каардынат?
31. Ці існуе паралельны перанос, пры якім: 1) пункт (1; 2) пера-ходзіць у пункт (3; 4), а пункт (0; 1) — у пункт (— 1; 0); 2) пункт (2; —1) пераходзіць у пункт (1; 0), а пункт (— 1; 3) — у пункт (0; 4)?
32. Прамыя AB і CD — паралельныя. Пункты A і D ляжаць па адзін бок ад сякучай ВС. Дакажыце, што прамені BA і CD аднолькава накіраваныя.
33. Дакажыце, што ў задачы 32 прамені BA і CD процілегла накіраваныя, калі пункты A і D ляжаць па розныя бакі ад сякучай ВС.
34. Чатырохвугольнік ABCD — паралелаграм. Сярод праменяў AB, BA, ВС, СВ, DC, AD, DA назавіце пары аднолькава накіраваных і процілегла накіраваных праменяў.
35. Дакажыце, што адрэзкі роўнай даўжыні і вуглы з роўнай градуснай мерай сумяшчаюцца рухам.
36*. У паралелаграмаў ABCD і A\B\C\D\ AB = А\В\, AD = = A}D\ і АА = АА]. Дакажыце, што паралелаграмы роў-ныя, г. зн. сумяшчаюцца рухам.
37*. Дакажыце, што ромбы роўныя, калі ў іх роўныя дьіяга-налі.
38. Дакажыце, што дзве акружнасці аднолькавага радыуса роўныя, г. зн. сумяшчаюцца рухам.
§10. Вектары
155
§ 10. ВЕКТАРЫ
91. АБСАЛЮТНАЯ ВЕЛІЧЫНЯ I НАПРАМАК ВЕКТАРА
Вектарам мы будзем называць накіраваны адрэзак (рыс. 211). Напрамак вектара вызначаецца ўказаннем яго пачатку і канца. На чарцяжы напрамак вектара адзначаецца стрэлкай. Для абазначэння вектараў будзем карыстацца малы-мі лацінскімі літарамі а, Ь, с, ... . Можна таксама абазначыць вектар паказам яго пачатку і канца. Пры гэтым пачатак вектара ставіцца на першае месца. Замест слова «вектар» над літарным абазначэннем вектара часам ставіцца стрэлка ці рыска. Вектар на рысунку 211 можна абазначыць так:
— --- —►■
a, а ці AB, АВ.
Рыс. 211 Рыс. 212
Вектары AB і CD называюцца аднолькава накіраванымі, калі паўпрамыя AB і CD аднолькава накіраваныя. Вектары АВ і CD называюцца процілегла накіраванымі, калі паўпрамыя AB і CD процілегла накіраваныя. На рысунку 212 вектары a і b аднолькава накіраваныя, а вектары а і с процілегла накіраваныя.
Абсалютнай велічынёй (ці модулем) вектара называецца даўжыня адрэзка, які паказвае вектар. Абсалютная велічьшя вектара а абазначаецца |а|.
Пачатак вектара можа супадаць з яго канцом. Такі вектар будзем называць нулявым вектарам. Нулявы вектар абазна-чаецца нулём, з рыскай (0). Аб напрамку нулявога вектара не гавораць. Абсалютная велічыня нулявога вектара лічыцца роў-най нулю.
156 8 клас
92. РОЎНАСЦЬ ВЕКТАРАЎ
Два вектары называюцца роўнымі, калі яны сумяшчаюцца паралельным пераносам. Гэта азначае, што існуе паралельны перанос, які пераводзіць пачатак і канец аднаго вектара адпа-ведна ў пачатак і канец другога вектара.
3 дадзенага азначэння роўнасці вектараў вынікае, што роўныя вектары аднолькава накіраваныя і роўныя па абсалют-най велічыні.
Наадварот: калі вектары аднолькава накіраваныя і роўныя па абсалютнай велічыні, то яны роўныя.
Сапраўды, няхай AB і CD — аднолькава накіраваныя век-тары, роўныя па абсалютнай велічыні (рыс. 213). Паралельны перанос, які пераводзіць пункт С у пункт А, сумяшчае паўпра-мую CD з паўпрамой АВ, таму што яны аднолькава накірава-ныя. А паколькі адрэзкі AB і CD роўныя, то пры гэтым пункт D сумяшчаецца з пунктам В, г. зн. паралельны перанос пераво-дзіць вектар CD у вектар АВ. Значыць, вектары AB і CD роўныя, што і трэба было даказаць.
Задача (2). Чатырохвугольнік ABCD — паралела-грам. Дакажыце роўнасць вектараў AB і DC.
Р а ш э н н е. Падвергнем вектар АВ паралельнаму пе-раносу, пры якім пункт А пераходзіць у пункт D (рыс. 214). Пры гэтым пераносе пункт А зрушваецца па прамой AD, а значыць, пункт В зрушваецца па паралельнай пра-мой ВС. Прамая АВ пераходзіць у паралельную прамую, а значыць, у прамую DC. Значыць, пункт В пераходзіць
§10. Вектары
157
у пункт С. Такім чынам, наш паралельны перанос пераво-дзіць вектар АВ у вектар DC, а значыць, гэтыя вектары роўныя.
Няхай a — вектар і A — адвольны пункт. Тады ад пункта A можна адкласці адзін і толькі адзін вектар а', роўны вектару а.
Сапраўды, існуе адзіны паралельны перанос, пры якім пача-так вектара а пераходзіць у пункт А. Вектар, у які пераходзіць пры гэтым вектар а, і ёсць вектар а'.
Для практычнага адкладвання ад дадзенага пункта (D) вектара, роўнага дадзенаму (АВ), можна выкарыстаць задачу 2.
93. КААРДЫНАТЫ ВЕКТАРА
Няхай вектар а мае пачаткам пункт А|(хй у\), а канцом — пункт А2(х2; у2). Каардынатамі вектара а будзем называць лікі Ді = х2— хь а2 = у2 — у\. Каардынаты вектара будзем ставіць побач з літарным абазначэннем вектара, у дадзеным выпадку а(аі; а2), ці проста (а,; а2). Каардынаты нулявога вектара роўны нулю.
3 формулы, якая выражае адлегласць паміж двума пункта-мі праз іх каардынаты, вынікае, што абсалютная велічыня вектара з каардынатамі а}, а2 роўна д/яі+а2.
Роўныя вектары маюць роўныя адпаведныя каардынаты. I наадварот: калі ў вектараў адпаведныя каардынаты роўныя, то вектары роўныя.
Сапраўды, няхай Аі(хі; yt) і А2(х2; у2)— пачатак і канец вектара а. Паколькі роўны яму вектар а' атрымліваецца з век-тара а паралельным пераносам, то яго пачаткам і канцом бу-дуць адпаведна: A\(xt+c; уі + d}, А2(х2 + с; y2 + d). Адсюль відаць, што абодва вектары а і а' маюць адны і тыя ж каарды-наты: х2 —хі, у2— у\-
Дакажам цяпер адваротнае сцверджанне. Няхай адпавед-ныя каардынаты вектараў АіА2 і AU2 роўныя. Дакажам, што вектары роўныя.
Няхай х'\і у\ — каардынаты пункта А\, а х2 і у2 — каарды-наты пункта А2. Па ўмове тэарэмы х2 — Хі = х2 — х'і, у2 — уі =
158
8 клас
= у2 — у\. Адсюль Х2 = х2 + хі—хь У2 = Уі +у'і — Уі. Пара-лельны перанос, зададзены формуламі
х' = х + хі—хі, у' = у + у'і—уі, пераводзіць пункт Аі ў пункт А\, a пункт А2 ў пункт A2, г. зн. вектары А,А2 і А\А’2 роўныя, што і трэба было даказаць.
КНІГІ ОНЛАЙН
