Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Такім чынам, для любога вектара a = (a,; а^ атрымліваецца раскладанне
a = aiei + «262.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Што такое вектар? Як абазначаюцца вектары?
2. Якія вектары называюцца аднолькава накіраванымі (проці-легла накіраванымі)?
3. Што такое абсалютная велічыня вектара?
4. Што такое нулявы вектар?
5. Якія вектары называюцца роўнымі?
6. Дакажыце, што роўныя вектары аднолькава накіраваныя і роўныя па абсалютнай велічыні. I наадварот; аднолькава накіраваныя вектары, роўныя па абсалютнай велічыні, роўныя.
7. Дакажыце, што ад любога пункта можна адкласці вектар, роўны дадзенаму вектару, і толькі адзін.
168
8 клас
8. Што такое каардынаты вектара? Чаму роўна абсалютная велічыня вектара з каардынатамі аі, а^
9. Дакажыце, што роўныя вектары маюць адпаведныя роўныя каардынаты, а вектары з адпаведна роўнымі каардынатамі роўныя.
10. Дайце азначэнне сумы вектараў.
11. Дакажыце, што для любых вектараў a і b
a ~|“ b = b 4“ а.
12. Дакажыце, што для любых трох вектараў а, Ь, с a + (Ь + с) = (а -\-Ь) + с.
13. Дакажыце вектарную роўнасць AB -\- ВС = AC.
14. Дакажыце, што для атрымання сумы вектараў аі b трэба ад канца вектара а адкласці вектар Ь', роўны Ь. Тады вектар, пачатак якога супадае з пачаткам вектара a, а канец — з канцом вектара Ь', роўны а -\- Ь.
15. Сфармулюйце «правіла паралелаграма» складання векта-раў.
16. Дайце азначэнне рознасці вектараў.
17. Дайце азначэнне множання вектара на лік.
18. Дакажыце, што абсалютная велічыня вектара Ха роўна |Х| |а|, напрамак вектара Ка пры а=#0 супадае з ‘напрам-кам вектара а, калі X > 0, і процілеглы напрамку вектара а, калі X < 0.
19. Якія вектары называюцца калінеарнымі?
20. Дакажыце, што калі вектары a і b адрозныя ад нулявога вектара і не калінеарныя, то любы вектар с можна запісаць у выглядзе с = ла + цЬ.
21. Дайце азначэнне скалярнага здабытку вектараў.
22. Дакажыце, што для любых трох вектараў а, Ь, с (a + b)c = ас -j- be.
23. Як вызначаецца вугал паміж вектарамі?
24. Чаму роўны вугал паміж аднолькава накіраванымі векта-рамі?
25. Дакажыце, што скалярны здабытак вектараў роўны зда-бытку іх абсалютных велічынь на косінус вугла паміж імі.
26. Дакажыце, што калі вектары перпендыкулярныя, то іх ска-лярны здабытак роўны нулю. I наадварот: калі скалярны здабытак адрозных ад нуля вектараў роўны нулю, то векта-ры перпендыкулярныя.
§10. Вектары 169
^ЗАДАЧЫ
1. На прамой дадзены тры пункты: A, В, С, прычым пункт В ляжыць паміж пунктамі A і С. Сярод вектараў AB, AC, BA і ВС назавіце аднолькава накіраваныя і процілегла накіраваныя.
2. Чатырохвугольнік ABCD — паралелаграм. Дакажыце роў-насць вектараў AB і DC.
3. Дадзены вектар АВ і пункт С. Адкладзіце ад пункта С век-тар, роўны вектару АВ, калі: 1) пункт С ляжыць на прамой АВ; 2) пункт С не ляжыць на прамой АВ.
4. Вектары a (2; 4), Ь( —1; 2) і с(сі; с2) адкладзены ад пачатку каардынат. Чаму роўны каардынаты іх канцоў?
5. Абсалютная велічыня вектара a(5; m) роўна 13, а вектара Ь{п; 24) роўна 25. Знайдзіце пг і п.
6. Дадзены пункты А(0; 1), В(1; 0), С(1; 2), D(2; 1). Дакажыце роўнасць вектараў AB і CD.
7. Дадзены тры пункты: А(1; 1), В(— 1; 0), С(0; 1). Знайдзі-це такі пункт D(x; у), каб вектары AB і CD былі роў-нымі.
8. Знайдзіце вектар с, роўны суме вектараў a і 5, і абсалютную велічыню вектара с, калі: 1) а(1; —4), Ь( — 4; 8); 2) а(2; 5), 5(4; 3).
9. Дадзены трохвугольнік ABC. Знайдзіце суму вектараў: 1) AC і СВ; 2) AB і СВ; 3) AC і АВ; 4) СА і СВ.
10. Знайдзіце вектар с = а — b і яго абсалютную велічыню, калі: 1) а(1; —4), 5( —4; 8); 2) а( — 2; 7), 5(4; —1).
11. Дадзены вектары з агульным пачаткам: AB і AC. Дакажы-це, што AC — AB = ВС.
12. У паралелаграме ABCD дыяганалі перасякаюцца ў пункце М. Выразіце вектары AB і CD праз вектары a = AM, Ь = ВМ (рыс. 228).
Rue. 228
Рм. 229
Рыс. 230
170
8 клас
13. Начарціце тры адвольныя вектары а, Ь, с, як на рысунку 229. А цяпер пабудуйце вектары, роўныя: 1) a-f-b-j-c; 2) а — b -\- с\ 3) — a -}- b + с.
14. 1) Дакажыце, што для вектараў AB, ВС і AC мае месца няроўнасць АСі ^ \АВ\ + \ВС\.
2) Дакажыце, што для любых вектараў a і b мае месца няроўнасць |а+&| О |а| + \Ь\.
15. Да гарызантальнай бэлькі на дзвюх роўных нітках падве-шаны груз вагой Р. Вызначце сілы нацяжэння нітак (рыс. 230).
16. 3 якой сілай F трэба ўтрымліваць груз вагой Р на нахіленай плоскасці, каб ён не спаўзаў уніз?
17. Дадзены пункты: А(хі; у\) і В(х2; уі\ Дакажыце, што век-тары AB і ВА процілегла накіраваныя.
18. Дакажыце, што вектары а(1; 2) і b(0,5; 1) аднолькава накіраваныя, а вектары с(— 1; 2) і d(0,5; —1) процілегла накіраваныя.
19. Дадзены вектары а(3; 2) і b(0; —1). Знайдзіце вектар с = -2а-\-АЬ і яго абсалютную велічыню.
20. Абсалютная велічыня вектара La роўна 5. Знайдзіце X, калі: 1) а( —6; 8); 2) а(3; —4); 3) а(5; 12).
21. У трохвугольніку ABC праведзена медыяна AM. Дакажыце, што AM = -^(^^ + AC).
22. Пункты М і N з’яўляюцца сярэдзінамі адрэзкаў AB і CD адпаведна. Дакажыце вектарную роўнасць MN = ±-(АС +
A BD } (рыс. 231). . _ _
23. Дадзены паралелаграм ABCD, АС = а, DB=b (рыс. 232). Выразіце вектары AB, СВ, CD і AD праз а і Ь.
24*. Дакажыце, што ў калінеарных вектараў адпаведныя каар-дынаты прапарцыянальныя. I наадварот: калі ў двух нену-
Рыс. 231
Рыс. 232
§10. Вектары
171
лявых вектараў адпаведныя каардынаты прапарцыяналь-ныя, то гэтыя вектары калінеарныя.
25. Дадзены вектары a = (2; —4), &(1; 1), с(1; —2), d( — 2; —4). Знайдзіце пары калінеарных вектраў. Якія з дадзеных век-тараў аднолькава накіраваныя, а якія — процілегла накі-раваныя?
26. Вядома, што вектары а(1; —1) і Ь( — 2; ш) калінеарныя. Знайдзіце, чаму роўна т.
27. Дадзены вектары а(1; 0), й(1; 1) і с(— 1; 0). Знайдзіце Ta-Kia лікі Н ц, каб мела месца вектарная роўнасць с = іа + + Н^ _ ____, ___
28. Дакажыце, што для любых вектараў a і b (abf^a2b2.
29. Знайдзіце вугал паміж вектарамі а(1; 2) і 6р; —^.
30*. Дадзены вектары а і Ь. Знайдзіце абсалютную велічыню вектара а-{- Ь, калі вядома, што абсалютная велічыня вектараў a і b роўна 1, а вугал паміж імі 60°.
31. Знайдзіце вугал паміж вектарамі а і а-|-і> папярэдняй задачы.
32. Дадзены вяршыні трохвугольніка А(1; 1), В(4; 1), С(4; 5). Знайдзіце косінусы вуглоў трохвугольніка.
33. Знайдзіце вуглы трохвугольніка з вяршынямі А(0; ^З), В(2; v3), С(|; ^.
34. Дакажыце, што вектары а(т; п) і Ь{ — п; т) перпендыкуляр-ныя ці роўныя нулю.
35. Дадзены вектары а(3; 4) і Ь(т; 2). Пры якім значэнні т гэтыя вектары перпендыкулярныя?
36. Дадзены вектары а(1; 0) і 5(1; 1). Знайдзіце такі лік Z, каб вектар а -}-ХЬ быў перпендыкулярны вектару а.
37. Дакажыце, што калі a 1 b — адзінкавыя некалінеарныя вектары, то вектары a -j- b і a — b адрозныя ад нуля і пер-пендыкулярныя.
38*. Дакажыце, што сума квадратаў дыяганалей паралелагра-ма роўна суме квадратаў яго старон.
39*. Дадзены стораны трохвугольніка а, Ь, с. Знайдзіце яго медыяны та, ть, тс.
40. Дакажыце, што геаметрычнае месца пунктаў, сума квадра-таў адлегласцей ад якіх да двух дадзеных пунктаў пастаян-ная, ёсць акружнасць з цэнтрам у сярэдзіне адрэзка, што злучае дадзеныя пункты.
41. Вектары a-\- b і а-—Ь перпендыкулярныя. Дакажыце, што \а\ = \Ь\.
172
8 клас
42. Дакажыце з дапамогай вектараў, што дыяганалі ромба пер-пендыкулярныя.
43. Дадзены чатыры пункты: А(1; 1), В(2; 3), С(0; 4), D( — 1; 2). Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD — прамавуголь-нік.
44. Дадзены чатыры пункты: А(0; 0), В(1; 1), С(0; 2), О( — 1; 1). Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD — квадрат.
45. Сярод вектараў а( — 4; Ь(^' 4)’ с(0; — 1)’ — 4)
знайдзіце адзінкавыя і адзначце, якія з іх некалінеарныя.
46. Знайдзіце адзінкавы вектар е, калінеарны вектару а(6; 8) і аднолькава з ім накіраваны.
47. Дадзены каардынатныя вектары ві(1; 0) і е2(0; 1). Чаму роў-ны каардынаты вектара 2еі — Зе2?
48*. 1) Дадзены тры пункты: О, A, В. Пункт X дзеліць адрэзак АВ у адносіне Х:р, лічачы ад пункта А. Выразіце вектар ОХ праз вектары ОА = а і ОВ = Ь. 2) Дакажыце, што медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які дзеліць іх у адносіне 2:1, лічачы ад адпаведных вяршынь.
49. Дакажыце, што праекцыя а вектара с на вось абсцыс з каар-дынатным вектарам Рі(1; 0) задаецца формулай
a — kei, дзе k = с et.
50. Дакажыце, што праекцыя сумы вектараў на вось роўна суме праекцый складаемых на тую ж вось.
9 клас
§ 11. ПАДОБНАСЦЬ ФІГУР
100. ПЕРАЎТВАРЭННЕ ПАДОБНАСЦІ
Пераўтварэнне фігуры F у фігуру F' называецца пераўгва-рэннем падобнасці, калі пры гэтым пераўтварэнні адлегласці паміж пунктамі змяняюцца ў адзін і той жа лік разоў (рыс. 233). Гэта значыць, што калі адвольныя пункты X, Y фігу-ры F пры пераўтварэнні падобнасці пераходзяць у пункты X', Y' фігуры F', to X'Y' = k • XY, прычым лік k — адзін і той жа для ўсіх пунктаў X, Y. Лік k называецца каэфіцыентам падобнасці. Пры k = 1 пераўтварэнне падобнасці, відавочна, з’яўляецца рухам.
174
9 клас
Няхай F — дадзеная фігура і О — фіксаваны пункт (рыс. 234). Правядзём праз адвольны пункт X фігуры F прамень ОХ і адкладзём на ім адрэзак ОХ', роўны k • OX, дзе k — да-датны лік. Пераўтварэнне фігуры F, пры якім кожны яе пункт X пераходзіць у пункт Х', пабудаваны дадзеным спосабам, назы-ваецца гаматэтыяй адносна цэнтра О. Лік k называецца каэфіцыентам гаматэтыі фігуры, F і F' называюцца гаматэты.ч-нымі.
Тэарэма 11.1. Гаматэтыя ёсць пераўтварэнне падобнасці.
Д о к а з. Няхай О — цэнтр гаматэтыі, k — каэфіцыент гама-тэтыі, X і Y — два адвольныя пункты фігуры (рыс. 235).
Пры гаматэтыі пунктыХіУ пераходзяць у пункты X' і Y' на праменях OX і OY адпаведна, прычым OX' = k • OX, OY' = = k • OY. Адсюль вынікаюць вектарныя роўнасці
OX' = k- OX, OY' = k- OY.
Адымаючы гэтыя роўнасці пачленна, атрымаем: OY' — OX' = k(OY —OX).
Паколькі OY' - OX' X'Y', OY - OX = XY, to X'Y' kXY. Значыць, \X'Y'\ = k\XY\, г. зн. X'Y' = kXY. Такім чынам, гаматэтыя ёсць пераўтварэнне падобнасці. Тэарэма даказана.
Пераўтварэнне падобнасці шырока прымяняецца на практы-цы пры выкананні чарцяжоў дэталей машын, збудаванняў, планаў мясцовасці і інш. Гэтыя відарысы ўяўляюць сабой падобныя пераўтварэнні ўяўных відарысаў у натуральную велічыню. Каэфіцыент падобнасці пры гэтым называецца маштабам. Напрыклад, калі ўчастак мясцовасці паказваецца ў маштабе 1:100, то гэта значыць, што аднаму сантыметру на плане адпавядае 1 м на мясцовасці.
КНІГІ ОНЛАЙН
