Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
198
9 клас
^ ЗАДАЧЫ
1. Стораны трохвугольніка 5 м, 6 м, 7 м. Знайдзіце косінусы вуглоў трохвугольніка.
2. У трохвугольніка дзве стараны роўны 5 м і 6 м, а сінус вугла паміж імі роўны 0,6. Знайдзіце трэцюю старану.
3. Стораны трохвугольніка а, Ь, с. Дакажыце, што калі aS + b2 > с2, то вугал, процілеглы старане с, востры. Калі а2-\-Ь2 <_ с2, то вугал, процілеглы старане с, тупы.
4. Дадзены дыяганалі паралелаграма с і d і вугал паміж імі а. Знайдзіце стораны паралелаграма.
5. Дадзены стораны паралелаграма а і 5 і адзін з вуглоў a. Знайдзіце дыяганалі паралелаграма.
6. Стораны трохвугольніка 4 м, 5 м і 6 м. Знайдзіце праекцыі старон 4 м і 5 м на прамую, якая змяшчае старану 6 м.
7. Дадзены стораны трохвугольніка а, Ь, с. Знайдзіце вы-шыню трохвугольніка, апушчаную на старану с.
8. Знайдзіце вышыні трохвугольніка ў задачы 1.
9. Знайдзіце медыяны трохвугольніка ў задачы 1.
10*. Знайдзіце бісектрысы трохвугольніка ў задачы 1.
11*. Як зменіцца старана АВ трохвугольніка ABC, калі вугал С узрастае, а даўжыні старон AC і ВС застаюцца без змен (рыс. 270)?
12. У трохвугольніка ABC АВ = 15см, AC = 10 см. Ці можа sin 3 = -|- ?
13. Дакажыце, што ў тэарэме сінусаў кожная з трох адносін
—, —роўна 2R, дзе R — радыус акружнасці, sin a sin р sin у
апісанай каля трохвугольніка.
14. Як знайсці радыус акружнасці, апісанай каля трохвуголь-ніка, ведаючы яго стораны? Знайдзіце радыус акружнасці, апісанай каля трохвугольніка са старанамі 5 м, 6 м, 7 м.
15. Растлумачце, як знайсці адлегласць ад пункта А да неда-ступнага пункта В (рыс. 271), ведаючы адлегласць AC і вуглы a і р.
16. Растлумачце, як знайсці вышыню х будынка (рыс. 272) па вуглах a і р і адлегласці а.
17. Дакажыце, што калі ў трохвугольніку ёсць тупы вугал, то процілеглая яму старана найбольшая.
18. У трохвугольніку ABC АА = 40°, АВ = 60°, AC = 80°. Якая са старон трохвугольніка найбольшая, якая — най-меншая?
19. У трохвугольніка ABC стораны АВ = 5,1 м, ВС = 6,2 м, AC = 7,3 м. Які з вуглоў трохвугольніка найбольшы, які — найменшы?
§ 12. Рашэнне трохвугольнікаў
199
Рыс. 271
20. Што больш: аснова ці бакавая старана раўнабедранага трохвугольніка, калі прылеглы да асновы вугал большы за 60°?
21. У трохвугольніка ABC вугал С тупы. Дакажыце, што калі пункт X ляжыць на старане AC, to ВХ ВС, то вугал ACD меншы за вугал BCD.
25*. Дакажыце, што бісектрыса трохвугольніка не меншая за
вышыню і не большая за медыяну, праведзеныя з гэтай жа вяршыні.
26. Дадзены старана і два вуглы трохвугольніка. Знайдзіце трэці вугал і астатнія дзве стараны, калі: 1) а = 5, 3 = 30°, у = 45°; 2) а = 20, а = 75°, 3 = 60°; 3) а = 35, ₽ = 40°, 7 = 120°; 4) 5 = 12, а = 36°, 3 = 25°; 5) с = 14, а = 64°, 3 = 48°.
27. Дадзены дзве стараны і вугал паміж імі. Знайдзіце астатнія два вуглы і трэцюю старану, калі: 1)а=12, 5 = 8, 7 = 60°; 2) а = 7, 5 = 23, 7 = 130°; 3) 5 = 9, с = 17, а = 95°; 4) 5 = 14, с = 10, а = 145°; 5) а = 32, с = 23, 3 = 152°; 6) а = 24, с=18, 3 = 15°.
28. У трохвугольніка зададзены дзве стараны і вугал, проці-леглы адной са старон. Знайдзіце астатнія вуглы і старану трохвугольніка, калі: 1)а=12, 5 = 5, а = 120°; 2) а = 27, 5 = 9, а = 138°; 3) а = 34, 5 = 12, а = 164°; 4) а = 2, 5 = 4, а = 60°; 5) а = 6, 5 = 8, а = 30°.
29. Дадзены тры стараны трохвугольніка. Знайдзіце яго вуглы, калі: 1) а = 2, 5 = 3, с = 4; 2) a = 7, 5 = 2, с = 8; 3) а = 4, 5 = 5, с = 7; 4) a = 15, 5 = 24, с = 18; 5) a = 23, 5 = 17, с = 39; 6) a = 55, 5 = 21, с = 38.
§ 13. МНОГАВУГОЛЬНІКІ
113. ЛОМАНАЯ
Ломанай Л|А2А3...АЛ называецца фігура, якая складаецца з пунктаў Аь А2,.... Ап із адрэзкаў А,А2, А2А3, .....A^An, якія іх злучаюць. Пункты А|, А2, ..., Ап называюцца вяршынямі лома-най, а адрэзкі А|А2, А2А3,.... Ап-\Ап — звёнамі ломанай. Лома-
§13. Многавугольнікі
201
Рыс. 273
ная называецца простай, калі яна не мае самаперасячэнняў. На рысунку 273, а па-казана простая ломаная, а на рысунку 273, б — ломаная з самаперасячэннем (у пункце В). Даўжынёй ломанай называецца сума даўжынь яе звёнаў.
Тэарэма 13.1. Даўжыня ломанай не меншая за даўжыню адрэзка, які злучае яе канцы.
Д о к а з. Няхай А іА2А3...Ап — дадзеная ломаная (рыс. 274).
Заменім звёны А|А2 і А2Аз адным звя-ном АіА3. Атрымаем ломаную А|АзА4...А„. Паколькі па няроўнасці трохвугольніка
4|Аз < А\А2 + А24з,
то ломаная АіА3А4...А„ мае даўжыню, не большую, чым зыход-ная ломаная.
Замяняючы такім жа чынам звёны 4|А3 і А3А4 звяном АіА4, пераходзім да ломанай А|А4А5...А„, якая таксама мае даўжыню, не большую, чым зыходная ломаная. I гэтак далей. У рэшце рэшт мы прыйдзем да адрэзка А|АЛ, які злучае канцы ломанай. Адсюль вынікае, што зыходная ломаная мела даў-жыню, не меншую за даўжыню адрэзка А|А„. Тэарэма дака-зана.
3 а д а ч a (1). Дадзены дзве акружнасці з радыусамі R\ М і Я2 і адлегласцю паміж цэнтрамі d> Ri + Я2. Чаму роўны найбольшая і найменшая адлегласці паміж пунктамі X і У гэтых акружнасцей?
202
9 клас
Рыс. 275
Рашэнне. Для ломанай ОХХО2 па тэарэме 13.1 О,О2 ^ О|Х + XY-|-УО2 (рыс. 275). Значыць, 3 (рыс. 279). Правядзём п — 3 дыяганалі: АіА3, А|А4, ..., АіАп_|. Паколькі многавугольнік выпуклы, то гэтыя дыяганалі раз-біваюць яго на п — 2 трохвугольнікі: дАДгАз, ДАіАзА^ ..., △ А|АЯ_|А„. Сума вуглоў многавугольніка А|А2...АЛ супадае з сумай вуглоў усіх гэтых трохвугольнікаў. Сума вуглоў кожнага трохвугольніка роўна 180°, а лік гэтых трохвугольнікаў ёсць л — 2. Таму сума вуглоў выпуклага n-вугольніка А|А2...А„ роў-на 180° (п— 2). Тэарэма даказана.
Знешнім вуглом выпуклага многавугольніка пры дадзенай вяршыні называецца вугал, сумежны ўнутранаму вуглу многа-вугольніка пры гэтай вяршыні.
3 а д а ч a (9). Чаму роўна сума знешніх вуглоў вы-пуклага n-вугольніка, узятых па аднаму пры кожнай вяршыні?
Р а ш э н н е. Сума ўнутранага вугла многавугольніка і сумежнага з ім знешняга роўна 180°. Таму сума ўсіх унутраных і знешніх вуглоў роўна 180° • п. Але сума ўсіх унутраных вуглоў роўна 180°'jn — 2). Значыць, сума знешніх вуглоў, узятых па аднаму пры кожнай вяршыні роўна 180° • п - 180° • (п - 2) = 360°.
204
9 клас
115. ПРАВІЛЬНЫЯ МНОГАВУГОЛЬНІКІ
Выпуклы многавугольнік называецца правільным, калі ў яго ўсе стораны роўныя і ўсе вуглы роўныя.
Многавугольнік называецца ўпісаным у акружнасць, калі ўсе яго вяршыні ляжаць на некаторай акружнасці. Многа-вугольнік называецца апісаным каля акружнасці, калі ўсе яго стораны датыкаюцца да некаторай акружнасці.
Тэарэма 13.3. Правільны выпуклы многавугольнік з’яў-ляецца ўпісаным у акружнасць і апісаным каля акруж-насці.
Д о к а з. Няхай A і В — дзве суседнія вяршыні правіль-нага многавугольніка (рыс. 280). Правядзём бісектрысы вуглоў многавугольніка з вяршыняў A і В. Няхай О — пункт іх пера-сячэння. Трохвугольнік АОВ раўнабедраны з асновай АВ і вугламі пры аснове, роўнымі дзе a — вугал многавуголь-ніка.
Злучым пункт О з вяршыняй С, суседняй з В. Трохвугольнікі ABO і СВО роўныя па першаму прызнаку роўнасці трохвуголь-нікаў. У іх старана ОВ агульная, стораны AB і ВС роўныя як стораны многавугольніка, а вуглы пры вяршыні В роўны у. 3 роўнасці трохвугольнікаў вынікае, што трохвугольнік ОВС раўнабедраны з вуглом пры вяршыні С, роўным
у, а значыць, CO ёсць бісектрыса вугла С.
Цяпер злучаем пункт О з вяршыняй D, суседняй з С, і да-казваем, што трохвугольнік COD раўнабедраны і DO — бісект-рыса вугла D многавугольніка. I гэтак далей.
У выніку атрымліваем, што кожны трохвугольнік, у якога адной стараной з’яўляецца старана многавугольніка, а процілеглай вяршыняй — пункт О, з’яўляецца раўнабедра-ным. Усе гэтыя трохвугольнікі маюць роўныя бакавыя стороны і роўныя вышыні, апушчаныя на іх асновы. Адсюль вынікае, што ўсе вяршыні многавугольніка знаходзяцца на акружнасці з цэнтрам О і радыусам, роўным бакавым старанам трохвуголь-нікаў, а ўсе стораны многавугольніка датыкаюцца да акруж-
А В
Рыс. 280
насці з цэнтрам О і радыусам, роўным вышыням трохвугольнікаў, праведзе-ным з вяршыні О. Тэарэма даказана.
Упісаная і апісаная акружнасці пра-вільнага многавугольніка маюць адзін і той жа цэнтр. Яго называюць цэнтрам многавугольніка. Вугал, пад якім бачна старана правільнага многавугольніка з яго цэнтра, называецца цэнтральным вуглом многавугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
