Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
33. Перыметр раўнабедранага трохвугольніка 64 см, а яго бакавая старана на 11 см большая за аснову. Знайдзіце вышыню трохвугольніка, апушчаную на бакавую старану.
34. Знайдзіце вышыні трохвугольніка, у якога стораны роўны 13 см, 14 см і 15 см.
35. Знайдзіце вышыню трохвугольніка са старанамі 2^, 3—, 1,83, праведзеную да стараны 2^.
36. Знайдзіце найменшую вышыню трохвугольніка са стара-намі: 1) 5, 5, 6; 2) 17, 65, 80 і найбольшую вышыню
25 29 12
трохвугольніка са старанамі: 3) —, 6; 4) 13, 37
і о о Id
47Д-
37. Знайдзіце плошчу трапецыі, у якой паралельныя стораны 60 см і 20 см, а непаралельныя — 13 см і 37 см.
38. У раўнабокай трапецыі асновы роўны 10 см і 24 см, бакавая старана 25 см. Знайдзіце плошчу трапецыі.
39. У раўнабокай трапецыі большая аснова роўна 44 м, бакавая старана 17 м і дыяганаль 39 м. Знайдзіце плошчу трапецыі.
40. Дакажыце, што калі дыяганалі чатырохвугольніка перася-каюцца, то плошча чатырохвугольніка роўна палавіне здабытку яго дыяганалей на сінус вугла паміж імі.
41*. Дакажыце, што сярод усіх паралелаграмаў з дадзенымі дыяганалямі найбольшую плошчу мае ромб.
42. Выведзіце наступныя формулы для радыусаў апісанай (7?) і ўпісанай (г) акружнасцей трохвугольніка:
р___abc ___ 2S
4S ’ Г a -\- Ь -\- с'
дзе а, Ь, с — стораны трохвугольніка, aS — яго плошча.
§ 14. Плошчы фігур
229
43. Знайдзіце радыусы апісанай (Я) і ўпісанай (г) акружнасцей для трохвугольніка са старанамі: 1) 13, 14, 15; 2) 15, 13, 4; 3) 35, 29, 8; 4) 4, 5, 7.
44. Бакавая старана раўнабедранага трохвугольніка 6 см, вы-шыня, праведзеная да асновы, 4 см. Знайдзіце радыус апісанай акружнасці.
45. Знайдзіце радыус акружнасцей, апісанай каля раўнабедра-нага трохвугольніка з асновай а і бакавой стараной b і ўпісанай у яго.
46. Знайдзіце радыус г упісанай і радыус R апісанай акруж-насцей для раўнабедранага трохвугольніка з асновай 10 см і бакавой стараной 13 см.
47. Дакажыце, што ў прамавугольным трохвугольніку радыус упісанай акружнасці роўны палавіне рознасці паміж сумай катэтаў і гіпатэнузай.
48. Катэты прамавугольнага трохвугольніка роўны 40 см і 42 см. Знайдзіце радыусы апісанай і ўпісанай акружнасцей.
49. Дакажыце, што плошча многавугольніка, апісанага каля акружнасці, роўна палавіне здабытку перыметра многа-вугольніка на радыус акружнасці.
50. Праз сярэдзіну вышыні трохвугольніка праведзена перпен-дыкулярная да яе прамая. У якой адносіне яна дзеліць плошчу трохвугольніка?
51. Прамая, перпендыкулярная вышыні трохвугольніка, дзе-ліць яго плошчу папалам. Знайдзіце адлегласць ад гэтай прамой да вяршыні трохвугольніка, з якой праведзена вышыня, калі яна роўна h.
52. Перыметры правільных n-вугольнікаў адносяцца як а:Ь. Як адносяцца іх плошчы?
53. Знайдзіце плошчу круга, калі даўжыня акружнасці I.
54. Знайдзіце плошчу кругавога кольца (рыс. 309), якое знахо-дзіцца паміж дзвюма акружнасцямі з адным і тым жа цэнт-рам і радыусамі: 1) 4 см і 6 см; 2) 5,5 м і 6,5 м; 3) a і b (а > Ь).
Рыс. 309
230
9 клас
55. У колькі разоў павялічыцца плошча круга, калі яго дыя-метр павялічыць: 1) у 2 разы; 2) у 5 разоў; 3) у zn разоў?
56. Знайдзіце адносіну плошчы круга да плошчы ўпісанага ў яго: 1) квадрата; 2) правільнага трохвугольніка; 3) пра-вільнага шасцівугольніка.
57. Знайдзіце адносіну плошчы круга, упісанага ў правільны трохвугольнік, да плошчы круга, апісанага каля яго.
58. Знайдзіце адносіну плошчы круга, апісанага каля квадра-та, да плошчы круга, упісанага ў яго.
59. Знайдзіце плошчу сектара круга радыуса R, калі адпаведны гэтаму сектару цэнтральны вугал роўны: 1) 40°; 2) 90°; 3) 150°; 4) 240°; 5) 300°; 6) 330°.
60. Дадзена акружнасць радыуса R. Знайдзіце плошчу сектара, які адпавядае дузе з даўжынёй, роўнай: 1) Я; 2) I.
61*. Знайдзіце плошчу кругавога сегмента з асновай ад/з • СІ
і вышынен —.
62. Знайдзіце плошчу той часткі круга, якая размешчана па-за ўпісаным у яго: 1) квадратам; 2) правільным трохвуголь-нікам; 3) правільным шасцівугольнікам. Радыус круга R (рыс. 310).
Рыс. 310
10 клас
СТЭРЭАМЕТРЫЯ
§ 15. АКСІЕМЫ СТЭРЭАМЕТРЫІ I IX НАЙПРАСЦЕЙШЫЯ ВЫНІКІ
130. АКСІЁМЫ СТЭРЭАМЕТРЫІ
Стэрэаметрыя — гэта раздзел геаметрыі, у якім вывучаюцца фігуры ў прасторы. У стэрэаметрыі, як і ў планіметрыі, улас-цівасці геаметрычных фігур устацаўліваюцца шляхам доказу адпаведных тэарэм. Пры гэтым зыходнымі з’яўляюцца ўласці-васці асноўных геаметрычных фігур, якія выражаюцца аксіё-мамі. Асноўнымі фігурамі ў прасторы з’яўляюцца пункт, прамая і плоскасць.
Плоскасць мы ўяўляем сабе як роўную паверхню стала (рыс. 311, а) і таму будзем паказваць яе ў выглядзе парале-лаграма (рыс. 311,6). Плоскасць, як і прамая, бесканечная. На рысунку мы паказваем толькі частку плоскасці, але ўяўляем яе неабмежавана працягнутай ва ўсе бакі. Плоскасці абазначаюцца грэчаскімі літарамі а, |3, у, ... .
Увядзенне новага геаметрычнага вобраза — плоскасці —
Рыс. 311
232
10 клас
прымушае пашырыць сістэму аксіём. Таму мы ўводзім групу аксіём С, якая выражае асноўныя ўласцівасці плоскасцей у прасторы. Гэта група складаецца з наступных трох аксіём:
С|. Якая б ні была плоскасць, існуюць пункты, якія нале-жаць гэтай плоскасці, і пункты, якія не належаць ёй.
С2. Калі дзве розныя плоскасці маюць агульны пункт, то яны перасякаюцца па прамой, якая праходзіць праз гэты пункт.
Гэтай аксіёмай сцвярджаецца, што калі дзве розныя плос-касці a і р маюць агульны пункт, то існуе прамая с, якая нале-жыць кожнай з гэтых плоскасцей. Пры гэтым, калі пункт С належыць абедзвюм плоскасцям, то ён належыць прамой с.
Сз. Калі дзве розныя прамыя маюць агульны пункт, то праз іх можна правесці плоскасць, і прытым толькі адну.
Гэта значыць, што калі дзве розныя прамыя a і Ь маюць агульны пункт С, то існуе плоскасць у, якая змяшчае прамыя а і Ь. Плоскасць, якая валодае гэтай уласцівасцю, адзіная.
Такім чынам, сістэма аксіём стэрэаметрыі складаецца з аксіём I — IX планіметрыі і групы аксіём С.
Заўвага. У планіметрыі мы мелі адну плоскасць, на якой размяшчаліся ўсе фігуры, што намі разглядаліся. У стэ-рэаметрыі многа, нават бесканечна многа плоскасцей. У сувязі з гэтым фармулёўкі некаторых аксіём планіметрыі, як аксіём стэрэаметрыі, патрабуюць удакладнення. Гэта датычыцца аксіём IV, VII, VIII, IX. Прывядзём гэтыя ўдакладненыя фармулёўкі.
IV. Прамая, якая належыць плоскасці, разбівае гэту плос-касць на дзве паўплоскасці.
VII. Ад паўпрамой на плоскасці, якая яе змяшчае, у зада-дзеную паўплоскасць можна адкласці вугал з зададзенай градуснай мерай, меншай за 180°, і толькі адзін.
VIII. Які б ні быў трохвугольнік, існуе роўны яму трох-вугольнік у дадзенай плоскасці ў зададзеным размяшчэнні адносна дадзенай паўпрамой у гэтай плоскасці.
IX. На плоскасці праз дадзены пункт, які не ляжыць на дадзенай прамой, можна правесці не больш за адну прамую, паралельную дадзенай.
Для зручнасці выкладання напомнім аксіёму I.
I. Якая б ні была прамая, існуюць пункты, што належаць гэтай прамой, і пункты, якія не належаць ёй. Праз любыя два пункты можна правесці прамую, і толькі адну.
§ 15. Аксіёмы стэрэаметрыі і іх най.прасцейшыя вынікі
233
131. ІСНАВАННЕ ПЛОСКАСЦІ,
ЯКАЯ ПРАХОДЗІЦЬ ПРАЗ ДАДЗЕНУЮ ПРАМУЮ
I ДАДЗЕНЫ ПУНКТ
Тэарэма 15.1. Праз прамую і пункт, які не ляжыць на ёй, можна правесці плоскасць, і прытым толькі адну.
Д о к а з. Няхай АВ дадзеная прамая і С — пункт, які не ляжыць на ёй (рыс. 312). Правядзём праз пункты A і С пра-мую (аксіёма I). Прамыя AB і AC розныя, паколькі пункт С не ляжыць на прамой АВ. Правядзём праз прамыя AB і AC плоскасць а (аксіёма С3). Яна праходзіць праз прамую АВ і пункт С.
Дакажам, што плоскасць а, якая праходзіць праз прамую АВ і пункт С, адзіная.
Дапусцім, існуе другая плоскасць а', якая праходзіць праз прамую АВ і пункт С. Па аксіёме Сг плоскасці a і а' перася-каюцца па прамой. Гэта прамая павінна змяшчаць пункты A, В, С. Але яны не ляжаць на адной прамой. Мы прыйшлі да супярэчнасці. Тэарэма даказана.
Рыс. 313
Задача (7). Дакажыце, што праз прамую можна правесці дзве розныя плоскасці.
Рашэнне. Няхай a — дадзеная прамая (рыс. 313).
Па аксіёме I існуе пункт А, які не ляжыць на прамой а. Па тэарэме 15.1 праз прамую а і пункт А можна правесці плоскасць, абазначым яе аі. Па аксіёме Сі існуе пункт
В, які не ляжыць у плоскасці аі. Правядзём праз пра-мую а і пункт В плоскасць аг. Плоскасці аі і «2 розныя, таму што пункт В плоскасці аг не ляжыць на плоска-
сці a,.
132. ПЕРАСЯЧЭННЕ ПРАМОЙ 3 ПЛОСКАСЦЮ
супадае з а, то плоскасць джаецца тэарэмай. Калі
Тэарэма 15.2. Калі два пунк-ты прамой належаць плоскасці, то ўся прамая належыць гэтай плоскасці.
Д о к а з. Няхай а — дадзеная прамая і a — дадзеная плоскасць (рыс. 314). Па аксіёме I існуе пункт А, які не ляжыць на прамой а. Правядзём праз прамую а і пункт А плоскасць а'. Калі плоскасць a' a змяшчае прамую а, што і сцвяр-плоскасць а' адрозніваецца ад a,
то гэтыя плоскасці перасякаюцца па прамой а', якая змяшчае
два пункты прамой а. Па аксіёме I прамая а' супадае з a і, зна-чыць, прамая а ляжыць у плоскасці а. Тэарэма даказана.
3 тэарэмы 15.2 вынікае, што плоскасць і прамая, якая на ёй не ляжыць, або не перасякаюцца, або перасякаюцца ў адным пункце (рыс. 315).
z\ Задача (9). Дадзены дзве розныя прамыя, якія пе-f ° расякаюцца ў пункце А. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія перасякаюць абедзве дадзеныя прамыя і не прахо-дзяць праз пункт А, ляжаць у адной плоскасці.
Рыс. 316
§ 15. Аксіёмы стэрэаметрыі і іх найпрасцейшыя вынікі
235
Рашэнне. Правядзём праз дадзеныя прамыя a і b плоскасць а (рыс. 316). Гэта можна зрабіць па аксіёме С3. Прамая с, якая перасякае дадзеныя прамыя, мае з плоскасцю a два агульныя пункты М і N (пункты пера-сячэння з дадзенымі прамымі). Па тэарэме 15.2 гэта прамая павінна ляжаць у плоскасці a.
133. ІСНАВАННЕ ПЛОСКАСЦІ, ЯКАЯ ПРАХОДЗІЦЬ
ПРАЗ ТРЫ ДАДЗЕНЫЯ ПУНКТЫ
Т э а р э м а 15.3. Праз тры пункты, якія не ляжаць на адной прамой, можна правесці плоскасць, і прытым толькі адну.
Доказ. Няхай A, В, С — тры дадзеныя пункты, якія не ляжаць на адной прамой (рыс. 317). Правядзём прамыя АВ і AC; яны розныя, таму што пункты А,В,С^ ляжаць на адной прамой. Па аксіёме С3 праз прамыя AB і AC можна правесці плоскасць а. Гэта плоскасць змяшчае пункты A, В, С.
КНІГІ ОНЛАЙН
