Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
не перасякаюцца.
Т э а р э м a 16.3. Калі прамая, якая не належыць плоскасці,
паралельная якой-небудзь прамой у гэтай плоскасці, то яна
паралельная і самой плоскасці.
Д о к а з. Няхай a — плоскасць, a — прамая, якая ў ёй не
ляжыць, і аі — прамая ў плоскасці а, паралельная прамой а. Правя-дзём плоскасць аі праз прамыя a і а, (рыс. 327). Плоскасці a і аі перасякаюцца па прамой а\. Калі б прамая а перасякала плоскасць a, то пункт перасячэння належаў бы прамой а\. Але гэта немагчыма, таму што прамыя a і аі паралель-ныя. Такім чынам, прамая а не
перасякае плоскасць а, а значыць, паралельная плоскасці а. Тэарэма даказана.
Рыс. 327
242
10 клас
ZA Задача (15). Дакажыце, што калі плоскасць пера-сякае адну з дзвюх паралельных прамых, то яна перася-кае і другую.
Р а ш э н н е. Няхай a і Ь — дзве паралельныя прамыя і a — плос-касць, якая перасякае прамую a ў пункце А (рыс. 328). Правядзём праз прамыя a і b плоскасць. Яна перасякае плоскасць a па некато-рай прамой с. Прамая с перасякае прамую а (у пункце А), а значыць, перасякае паралельную ёй прамую Ь. Паколькі прамая с ляжыць у плоскасці a, то плоскасць a перасякае прамую Ь.
139. ПРЫЗНАК ПАРАЛЕЛЬНАСЦІ ПЛОСКАСЦЕЙ
Дзве плоскасці называюцца паралельнымі, калі яны не перасяка юцца.
Тэарэма 16.4. Калі дзве прамыя, якія перасякаюцца, адной плоскасці адпаведна паралельныя дзвюм прамым дру-гой плоскасці, то гэтыя плоскасці паралельныя.
Доказ. Няхай a і 0 — дадзеныя плоскасці, аі і аі — прамыя ў плоскасці а, якія перасякаюцца ў пункце A, bt і Ь> — адпаведна паралельныя ім прамыя ў плоскасці 0 (рыс. 329). Дапусцім, што плоскасці a і 0 не паралельныя, г. зн. перасякаюцца на некаторай прамой с. Па тэарэме 16.3. пра-мыя аі і аг, як паралельныя прамым Ь\ і Ь>, паралельныя плоскасці 0 і таму яны не перасякаюць прамую с, што ляжыць у гэтай плоскасці. Такім чынам, у плоскасці a праз пункт A праходзяць дзве прамыя (а, і аі), паралельныя прамой с. Але гэта немагчыма па аксіёме паралельных. Мы прыйшлі да супярэчнасці. Тэарэма даказана.
Рыс. 329
Рыс. 330
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей 243
Задача (19). Дакажыце, што праз дзве прамыя, якія скрыжоўваюцца, можна правесці паралельныя плоскасці.
Р а ш э н н е. Няхай a і b — дадзеныя прамыя, якія скрыжоўваюцца (рыс. 330). Праз адвольны пункт прамой а правядзём прамую Ь', паралельную b, а праз адвольны пункт прамой b правядзём прамую а', паралельную а. Цяпер правядзём дзве плоскасці — адну праз прамыя a і Ь', а другую праз прамыя b і а'. Па тэарэме 16.4 гэтыя плоскасці паралельныя. У першай з іх ляжыць прамая a, а ў другой — прамая Ь.
140. ІСНАВАННЕ ПЛОСКАСЦІ, ПАРАЛЕЛЬНАЙ ДАДЗЕНАЙ ПЛОСКАСЦІ
Тэарэма 16.5. Праз пункт па-за дадзенай плоскасцю можна правесці плоскасць, паралельную дадзенай, і прытым толькі адну.
Д о к а з. Правядзём у дадзенай плоскасці а якія-небудзь дзве прамыя а і Ь, якія перасякаюцца (рыс. 331). Праз дадзены пункт А правядзём паралельныя ім прамыя аі і Ь\. Плоскасць Р, якая праходзіць праз прамыя аі і Ь\, па тэарэме 16.4 пара-лельная плоскасці a.
Дапусцім, што праз пункт А праходзіць другая плоскасць 0і, таксама паралельная плоскасці a (рыс. 332). Адзначым на плоскасці 0і які-небудзь пункт С, які не ляжыць у плос-касці 0. Правядзём плоскасць у праз пункты A, С і які-не-будзь пункт В плоскасці а. Гэта плоскасць перасячэ плоскасці a, 0 і 0і па прамых b, а і с. Прамыя a і с не перасякаюць прамую Ь, таму што не перасякаюць плоскасць а. Значыць,
Рыс. 331
Рыс. 332
244
10 клас
яны паралельныя прамой Ь. Але ў плоскасці у праз пункт A можа праходзіць толькі адна прамая, паралельная прамой Ь. Мы прыйшлі да супярэчнасці. Тэарэма даказана поўнасцю.
Задача (23). Плоскасці а і р паралельныя плоскасці ( б ' у. Ці могуць плоскасці a і Р перасякацца?
\__/ Р а ш э н н е. Плоскасці a і р не могуць перасякацца. Калі б плоскасці a і ₽ мелі агульны пункт, то праз гэты пункт праходзілі б дзве плоскасці (a і Р), паралельныя плбскасці у. А гэта супярэчыць тэарэме 16.5.
141. УЛАСЦІВАСЦ! ПАРАЛЕЛЬНЫХ ПЛОСКАСЦЕЙ
Калі дзве паралельныя плоскас-ці перасякаюцца трэцяй, то прамыя перасячэння паралельныя (рыс. 333).
Сапраўды, згодна з азначэннем паралельныя прамыя — гэта пра-мыя, якія ляжаць у адной плос-касці і не перасякаюцца. Нашы прамыя ляжаць у адной плоскас-ці — сякучай плоскасці. Яны не перасякаюцца, паколькі не пера-сякаюцца паралельныя прамыя, што іх змяшчаюць. Значыць, пра-мыя паралельныя, што і трэба было даказаць.
Задача (33). Дадзены дзве паралельныя плоскасці (6 ) а, і аг і пункт А, які не ляжыць ні ў адной з гэтых плос-касцей. Праз пункт А праведзена адвольная прамая. Цяхай Aj і А2 — пункты перасячэння яе з плоскасцямі
a, і а2- Дакажыце, што адносіна даўжынь адрэзкаў АХ\ іАХо не залежыць ад узятай прамой.
Р а ш э н н е. Правядзём праз пункт А другую прамую і абазначым праз Уі і У2 пункты перасячэння яе з плос-касцямі ai і а2 (рыс. 334). Правядзём праз прамыя ААі і AYt плоскасць. Яна перасячэ плоскасці ai і аг па пара-лельных прамых АіУі і Х2У2. Адсюль вынікае падоб-насць трохвугольнікаў AX1Y1 і AX2Y2. A з падобнасці трохвугольнікаў вынікае прапорцыя
AXt _ AY, AX, — AY,’
г. зн. адносіны АХ\:АХ2 і АУііАУг аднолькавыя для абедзвюх прамых.
Адрэзкі паралельных прамых, змешчаныя памі дзвю-
ма паралельнымі плоскасцямі, роуныя.
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей
245
Рыс. 335
Сапраўды, няхай а । і а2 — паралельныя плоскасці, a і b — паралельныя прамыя, якія іх перасякаюць. Аі, А2 і Ві, В2 — пункты перасячэння прамых з плоскасцямі (рыс. 335). Пра-вядзём праз прамыя a і b плоскасць. Яна перасякае плоскасці ai і а2 па паралельных прамых А|В| і А>В>. Чатырохвугольнік A1B1B2A2 — паралелаграм, паколькі ў яго процілеглыя сто-раны паралельныя. А ў паралелаграма процілеглыя стораны роўныя. Значыць, АіА2 = В|В2, што і трэба было даказаць.
142. ПАКАЗ ПРАСТОРАВЫХ ФІГУР НА ПЛОСКАСЦІ
Для паказу прасторавых фігур на плоскасці звычайна карыстаюцца паралельным праектаваннем. Гэты спосаб пака-зу фігуры заключаецца ў наступным. Бяром адвольную пра-мую h, якая перасякае плоскасць чарцяжа а, праводзім праз адвольны пункт А фігуры прамую, паралельную h. Пункт Аі
перасячэння гэтай прамой з плос-касцю чарцяжа будзе відарысам пункта А (рыс. 336). Пабудаваўшы такім чынам відарыс кожнага пункта фігуры, атрымаем відарыс самой фігуры. Такі спосаб паказу прасторавай фігуры на плоска-сці адпавядае зрокаваму ўспры-манню фігуры пры разглядзе яе здалёк.
Адзначым некаторыя ўласці-васці паказу фігуры на плоскасці, якія вынікаюць з апісанага яе пабудавання.
246
10 клас
Прамалінейныя адрэзкі фігуры паказваюцца на плоскасці чарцязка адрэзкамі (рыс. 337).
Сапраўды, усе прамыя, якія праектуюць пункты адрэзка AC, ляжаць у адной плоскасці, што перасякае плоскасць чарцяжа а па прамой А|С|. Адвольны пункт В адрэзка AC паказваецца пунктам В\ адрэзка АіСі.
Заўвага. У толькі што даказа-най уласцівасці і далей мяркуец-ца, безумоўна, што праектуемыя адрэзкі не паралельныя з напрам-
Рыс. 337 кам праектавання.
Паралельныя адрэзкі фігуры паказваюцца на плоскасці чарцяжа паралельнымі адрэзкамі (рыс. 338).
Сапраўды, няхай AC і А'С' — паралельныя адрэзкі фігуры. Прамыя АіСі і А'іС'] паралельныя, паколькі яны атрым-ліваюцца пры перасячэнні паралельных плоскасцей з плос-касцю а. Першая з гэтых плоскасцей праходзіць праз пра-мыя AC і АА\, а другая — праз прамыя А'С' і А'А'\.
Адносіна адрэзкаў адной прамой або паралельных прамых захоўваецца пры паралельным праектаванні.
Пакажам, напрыклад, што (рыс. 339)
АВ
AM
ВС В,Сі
(*)
Правядзём праз пункт В прамую А2С2, паралельную АіСі. Трохвугольнікі ВАА2 і ВСС2 падобныя. 3 падобнасці трох-вугольнікаў і роўнасцей A\B\ = AiB і В\С\=ВСі вынікае прапорцыя (*).
Рыс. 338
Рыс. 339
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей
247
Лк Задача (37). Дадзена паралельная праекцыя трох-( “ вугольніка. Як пабудаваць праекцыі медыян гэтага трох-(—г вугольніка?
Р а ш э н н е. Пры паралельным праектаванні захоў-ваецца адносіна адрэзкаў прамой. Таму сярэдзіна стара-ны трохвугольніка праектуецца ў сярэдзіну праекцыі гэтай стараны. Значыць, праекцыі медыян трохвуголь-ніка будуць медыянамі яго праекцыі.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Якія прамыя ў прасторы называюцца паралельнымі?
2. Якія прамыя называюцца прамымі, што скрыжоўваюцца?
3. Дакажыце, што праз пункт па-за дадзенай прамой можна правесці прамую, паралельную гэтай прамой, і прытым толькі адну.
4. Дакажыце прызнак паралельнасці прамых.
5. Што значыць: прамая і плоскасць паралельныя?
6. Дакажыце прызнак паралельнасці прамой і плоскасці.
7. Якія плоскасці называюцца паралельнымі?
8. Дакажыце прызнак паралельнасці плоскасцей.
9. Дакажыце, што праз пункт па-за дадзенай плоскасцю можна правесці плоскасць, паралельную дадзенай, і пры-тым толькі адну.
10. Дакажыце, што калі дзве паралельныя плоскасці перася-каюцца трэцяй, то прамыя перасячэння паралельныя.
11. Дакажыце, што адрэзкі паралельных прамых, якія зна-ходзяцца паміж дзвюма паралельнымі плоскасцямі, роўныя.
12. Пералічыце ўласцівасці паралельнага праектавання.
^ ЗАДАЧЫ
1. Дакажыце, што калі прамыя AB і CD скрыжоўваюцца, то прамыя AC і BD таксама скрыжоўваюцца.
2. Ці можна праз пункт С, які не належыць прамым а і Ь, што скрыжоўваюцца, правесці дзве розныя прамыя, кожная з якіх перасякае прамыя а і Ь? Растлумачце адказ.
3. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія перасякаюць дзве дадзе-ныя паралельныя прамыя, ляжаць у адной плоскасці.
4. Прамыя a і Ь перасякаюцца. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія паралельныя прамой b і перасякаюць прамую а, ля-жаць у адной плоскасці.
5. Праз канцы адрэзка АВ і яго сярэдзіну М праведзены
248
10 клас
0
паралельныя прамыя, якія перасякаюць некаторую плос-касць у пунктах Аі, В\ і М\. Знайдзіце даўжыню адрэзка ММ\, калі адрэзак АВ не перасякае плоскасць (рыс. 340) і калі:
1) АА । = 5 м, BB] =7 м; 2) АА, = 3,6 дм, ВВ\ = 4,8 дм; 3) АА \ = 8,3 см, ВВі = 4,1 см; 4) АА\ = а, ВВ\ = Ь.
6*. Рашыце папярэднюю задачу пры ўмове, што адрэзак АВ перасякае плоскасць.
7. Праз канец А адрэзка АВ праведзена плоскасць. Праз канец В і пункт С гэтага адрэзка праведзены паралель-ныя прамыя, якія перасякаюць плоскасць у пунктах В\ і С|. Знайдзіце даўжыню адрэзка ВВ\, калі: 1) ССі =15 см, АС:ВС = 2:3; 2) СС! = 8,1 cm, AB: AC = 11:9; 3) АВ = = 6 cm, AC: СС, = 2: 5; 4) AC = a, ВС = b, СС, = с.
КНІГІ ОНЛАЙН
