Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
39*. Праз аснову трапецыі праведзена плоскасць, якая знахо-дзіцца ад другой асновы на адлегласці а. Знайдзіце адлег-ласць ад пункта перасячэння дыяганалей трапецыі да
гэтай плоскасці, калі асновы трапецыі адносяцца як т: п
Рыс. 373
Рыс. 374
Рыс. 375
268
10 клас
40. Праз старану паралелаграма праведзена плоскасць на адлегласці а ад процілеглай стараны. Знайдзіце адлег-ласць ад пункта перасячэння дыяганалей паралелаграма да гэтай плоскасці.
41. 3 вяршыні квадрата ўзведзены перпендыкуляр да яго плоскасці. Адлегласць ад канца гэтага перпендыкуляра да іншых вяршынь квадрата a і b (а < Ь). Знайдзіце даў-жыню перпендыкуляра і старану квадрата (рыс. 375).
42. 3 вяршыні прамавугольніка ўзведзены перпендыкуляр да яго плоскасці. Адлегласці ад канца гэтага перпендыкуляра да іншых вяршынь прамавугольніка роўны a, b, с (a вылічваец-ца па формуле
А\А2 =л!(Х2 — X')'1 + (У2 — Уі)- + (z2 — zj2.
ФЗадача (5). У плоскасці ху знайсці пункт О(х; у; 0), роўнааддалены ад трох пунктаў: А(0; 1; —1), В( —1; 0; 1), С(0; -1; 0).
Р а ш э н н е. Маем:
AD2 = (х- 0)2 + (у- I)2 + (0 + I)2, BD2 = (х + I)2 + (у~ 0)2 + (0 - I)2, CD2 = (х - 0)2 + (ў + I)2 + (0 - 0)2.
Прыраўноўваючы першыя дзве адлегласці да трэцяй, атрымаем два ўраўненні для вызначэння х і z/:
— 4z/+l=0, 2х —2z/ + l = 0.
Адсюль у = х =----------Шукаемы пункт D( — ; 0V
4 4 \ 4 4 /
154. КААРДЫНАТЫ СЯРЭДЗІНЫ АДРЭЗКА
Няхай Аі(хі; уі; 2|) і А2(х2; у2\ 22)—два адвольныя пункты. Выразім каардынаты х, у, z сярэдзіны С адрэзка А|А2 праз каардынаты яго канцоў At і А2 (рыс. 381). Для гэтага правядзём праз пункты Ai, А2 і С прамыя, паралельныя восі 2. Яны перасякуць плоскасць ху у пунктах A^xr, у\-, 0), А2(х2; у2', 0) і С'(х; у; 0). Па тэарэме Фалеса пункт С з’яўляецца сярэдзінай адрэзка А(А2. А мы ведаем, што на плоскасці ху каардынаты
§ 18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
273
сярэдзіны адрэзка выражаюцца праз каардынаты яго канцоў па формулах
х,+х2 ,._у< + у^
х 2 ’ 2 ’
Для таго каб знайсці выраз для z, дастаткова замест плоскасці ху узяць плоскасць xz або yz. Пры гэ-тым для z атрымліваецца аналагіч-ная формула:
Z| + 22
2 = —•
ФЗ а д а ч a (9). Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD з вяршынямі ў пунктах А(1; 3; 2), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4), D(2; 2; 2) — паралелаграм.
Р а ш э н н е. Як мы ведаем, чатырохвугольнік, у якога дыяганалі перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам, ёсць паралелаграм. Выкарыстаем гэта для ра-шэння задачы. Каардынатамі сярэдзіны адрэзка AC будуць:
l + 1-i 3 + 1 „ 2 + 4 „
х = 4-=1, // = -+-=2, г = -І_=3.
Каардынатамі сярэдзіны адрэзка BD будуць:
х = ^=1, , = ^=2. z = ^8.
Мы бачым, што каардынаты сярэдзін адрэзкаў AC і BD аднолькавыя. Значыць, гэтыя адрэзкі перасякаюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам. Такім чынам, чатырохвугольнік ABCD — паралелаграм.
КНІГІ ОНЛАЙН
