Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
288
10 клас
5. У плоскасці ху знайдзіце пункт D(x; у; 0), роўнааддалены ад трох дадзеных пунктаў: А(0; 1; —1), В(— 1; 0; 1), С(0; —1; 0).
6. Знайдзіце пункты, якія роўнааддалены ад пунктаў (0; 0; 1), (0; 1; 0), (1; 0; 0) і знаходзяцца ад плоскасці yz на адлег-ласці 2.
7. На восі х знайдзіце пункт С(х; 0; 0), роўнааддалены ад двух пунктаў 4(1; 2; 3), В(— 2; 1; 3).
8. Састаўце ўраўненне геаметрычнага месца пунктаў прасто-ры, роўнааддаленых ад пункта А(1; 2; 3) і пачатку каарды-нат.
9. Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD з вяршынямі ў пунктах 4(1; 2; 3), В(0; 2; 4), С(1; 1; 4), 0(2; 2; 2) ёсць паралелаграм.
10. Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD з’яўляецца пара-лелаграмам, калі: 1) 4(0; 2; —3), В(— 1; 1; 1), С(2; —2; — 1;), 0(3; -1; -5); 2) А<2; 1; 3), В(1; 0; 7), С( —2; 1; 5), D( —1; 2; 1).
11. Дакажыце, што чатырохвугольнік ABCD з’яўляецца ром-бам, калі:
1) 4(6; 7; 8), В(8; 2; 6), С(4; 3; 2), 0(2; 8; 4); 2) А(0; 2; 0), В(1; 0; 0), С(2; 0; 2), 0(1; 2; 2).
12. Дадзены адзін канец адрэзка А(2; 3; — 1) і яго сярэдзіна С(1; 1; 1). Знайдзіце другі канец адрэзка В(х; у, z).
13. Знайдзіце каардынаты вяршыні D паралелаграма ABCD, калі каардынаты трох другіх яго вяршынь вядомыя: 1) А(2; 3; 2),В(0; 2; 4), С(4; 1; 0); 2)4(1; -1; 0),В(0; 1; -1), С(-1; 0; 1); 3) 4(4; 2; 1), В(1; —3; 2), С( —4; 2; 1).
14. Дакажыце, што сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах А(а; с; — Ь) і В( — а; d-, b) ляжыць на восі у.
15. Дакажыце, што сярэдзіна адрэзка з канцамі ў пунктах С(а; b; с) і D(p; q; —с) ляжыць у плоскасці ху.
16. Дакажыце, што пераўтварэнне сіметрыі адносна каарды-натнай плоскасці ху задаецца формуламі х' — х, у' = у, z' = — z.
17. Дадзены пункты (1; 2; 3), (0; —1; 2), (1; 0; —3). Знайдзіце пункты, сіметрычныя дадзеным адносна каардынатных плоскасцей.
18. Дадзены пункты (1; 2; 3), (0; —1; 2), (1; 0; —3). Знайдзіце пункты, сіметрычныя ім адносна пачатку каардынат.
19. Дакажыце, што пераўтварэнне сіметрыі адносна пункта ёсць рух.
20* . Дакажыце, што пераўтварэнне сіметрыі адносна плоскасці ёсць рух.
21. Дакажыце, што пры руху ў прасторы круг пераходзіць у круг таго ж радыуса.
22. Дакажыце, што пры руху ў прасторы тры пункты, якія
§ 18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы 289
ляжаць на прамой, пераходзяць у тры пункты, якія такса-ма ляжаць на адной прамой.
23. Знайдзіце значэнні а, Ь,с у формулах паралельнага перано-су х' = х -}- а, у' = у -\- b, z' = z + с, калі пры гэтым пара-лельным пераносе пункт А(1; 0; 2) пераходзіць у пункт А'(2; 1; 0).
24. Пры паралельным пераносе пункт А(2; 1; —1) пераходзіць у пункт А'(1; — 1; 0). У які пункт пераходзіць пачатак каар-дынат?
25. Ці існуе паралельны перанос, пры якім пункт А пераходзіць у пункт В, а пункт С — у пункт D, калі: 1) А(2; 1; 0), В(1; 0; 1), С(3; —2; 1), 0(2; —3; 0); 2) А( —2; 3; 5), В(1; 2; 4),С(4; -3; 6), 0(7; -2; 5); 3)А(0; 1; 2),В(-1; 0; 1), С(3; -2; 2),О(2; -3; 1); 4)А(1; 1; 0), В(0; 0; 0),С( —2; 2; 1), В(1; 1; 1)?
26. Дакажыцё, што пры паралельным пераносе паралела-грам пераходзіць у роўны яму паралелаграм.
27. Чатыры паралельныя прамыя перасякаюць паралельныя плоскасці ў вяршынях паралелаграмаў ABCD і A\B\C\D\ адпаведна. Дакажыце, што паралелаграмы ABCD і AiB^tDt сумяшчаюцца паралельным пераносам.
28. Дакажыце, што пераўтварэнне гаматэтыі ў прасторы з’яў-ляецца пераўтварэннем падобнасці.
29. Тры прамыя, якія праходзяць праз пункт S, перасякаюць дадзеную плоскасць у пунктах A, В, С, a паралельную ёй плоскасць — у пунктах А|В|С|. Дакажыце, што трохвуголь-нікі ABC і А\В\С\ гаматэтычныя.
30. Прамая а ляжыць у плоскасці a, а прамая Ь перпендыку-лярная гэтай плоскасці. Чаму роўны вугал паміж а і Ь?
31*. Дадзены тры пункты A, В, С, якія не ляжаць на адной пра-мой. Чаму роўны вугал паміж прамымі СА і СВ, калі гэтыя прамыя ствараюць вуглы а і ₽ з прамой AB і a + Р < 90°?
32. Прамыя а, Ь, с паралельныя адной і той жа плоскасці. Чаму роўны вугал паміж прамымі b і с, калі вуглы гэтых прамых з прамой а роўны 60° і 80°?
33. Дакажыце, што любая прамая на плоскасці, перпендыку-лярная праекцыі нахіленай на гэту плоскасць, перпенды-кулярная і нахіленай. I наадварот: калі прамая на плоска-сці перпендыкулярная нахіленай, то яна перпендыкуляр-ная і праекцыі нахіленай.
34. 1) Дакажыце, што прамая, якая перасякае паралельныя плоскасці, перасякае іх пад роўнымі вугламі.
2) Дакажыце, што плоскасць, якая перасякае паралельныя прамыя, перасякае іх пад роўнымі вугламі.
35. Пункт А знаходзіцца на адлегласці h ад плоскасці. Знай-дзіце даўжыні нахіленых, праведзеных з яго пад наступны-мі вугламі да плоскасці: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
10 Геаметрыя, 7 —11 кл.
290
10 клас
36. Нахіленая роўна а. Чаму роўна праекцыя гэтай нахіленай на плоскасць, калі нахіленая складае з плоскасцю вугал, роўны: 1) 45°; 2) 60°; 3) 30°?
37. Адрэзак даўжынёй 10 м перасякае плоскасць. Яго канцы знаходзяцца на адлегласцях 2 м і 3 м ад плоскасці. Знай-дзіце вугал паміж дадзеным адрэзкам і плоскасцю.
38. 3 пункта, які знаходзіцца на адлегласці а ад плоскасці, пра-ведзены дзве нахіленыя, якія ўтвараюць з плоскасцю вуглы 45° і 30°, а паміж сабой прамы вугал. Знайдзіце адлег-ласць паміж канцамі нахіленых (рыс. 396).
Рыс. 396
39. 3 пункта, які знаходзіцца на адлегласці а ад плоскасці, пра-ведзены дзве нахіленыя, якія ўтвараюць з плоскасцю вуглы 45°, а паміж сабой вугал 60°. Знайдзіце адлегласць па-між канцамі нахіленых.
40. 3 пункта, які знаходзіцца ад плоскасці на адлегласці а, праведзены дзве нахіленыя пад вуглом 30° да плоскасці, прычым іх праекцыі ўтвараюць вугал 120°. Знайдзіце ад-легласць паміж канцамі нахіленых.
41. Праз катэт раўнабедранага прамавугольнага трохвугольні-ка праведзена плоскасць пад вуглом 45° да другога катэта. Знайдзіце вугал паміж гіпатэнузай і плоскасцю.
42. Дакажыце, што плоскасць, якая перасякае паралельныя плоскасці, перасякае іх пад роўнымі вугламі.
43. Дзве плоскасці перасякаюцца пад вуглом 30°. Пункт А, які ляжыць у адной з гэтых плоскасцей, знаходзіцца на адлег-ласці а ад другой плоскасці. Знайдзіце адлегласць ад гэтага пункта да прамой перасячэння плоскасцей.
44. Знайдзіце вугал паміж плоскасцямі, калі пункт, узяты на адной з іх, знаходзіцца ад прамой перасячэння плоскасцей у два разы далей, чым ад другой плоскасці.
§18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
291
45. Два раўнабедраныя трохвугольнікі маюць агульную аснову, а іх плоскасці ўтвараюць вугал 60°. Агульная аснова роўна 16 м, бакавая старана аднаго трохвугольніка 17 м, а бакавыя стораны другога перпендыкулярныя. Знайдзіце адлегласць паміж вяршынямі трохвугольнікаў.
46. Раўнабедраныя трохвугольнікі ABC і ABD з агульнай асно-вай АВ ляжаць у розных плоскасцях, вугал паміж якімі роўны а. Знайдзіце cos а, калі: 1) АВ = 24 cm, AC = 13 см, AD = 37 см, СІ) = 35 см; 2) АВ = 32 м, AC = 65 м, AD = = 20 м, CD = 63 м.
47. Катэты прамавугольнага трохвугольніка роўны 7 м і 24 м. Знайдзіце адлегласць ад вяршыні прамога вугла да плоска-сці, якая праходзіць праз гіпатэнузу і складае вугал 30° з плоскасцю трохвугольніка.
48. Дадзен роўнастаронні трохвугольнік са стараной а. Знайдзі-це плошчу яго артаганальнай праекцыі на плоскасць, якая стварае з плоскасцю трохвугольніка вугал, роўны: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
49. 1) Знайдзіце плошчу артаганальнай праекцыі трохвуголь-ніка ABC з задачы 46 на плоскасць трохвугольніка ABD. 2) Знайдзіце плошчу артаганальнай праекцыі трохвуголь-ніка ABD з задачы 46 на плоскасць трохвугольніка ABC.
50. Дадзены чатыры пункты: A (2; 7; —3), В(1; 0; 3), С( —3;
— 4; 5), D(— 2; 3; —1). Назавіце сярод вектараў AB, ВС, DC, AD, AC і BD роўныя вектары.
51. Дадзены тры пункты.А(1; 0; 1), В(-1; 1; 2), С(0; 2; — 1). Знайдзіце пункт D(x; у; z), калі вектары AB і CD роўныя.
52. Знайдзіце пункт D у задачы 51, калі сума вектараў АВ і CD роўна нулю.
53. Дадзены вектары (2; п; 3) і (3; 2; т). Пры якіх т і п гэтыя вектары калінеарныя?
54. Дадзен вектар а(1; 2; 3). Знайдзіце калінеарны яму вектар з пачаткам у пункце А(1; 1; 1) і канцом В на плоскасці ху.
55. Пры якім значэнні п дадзеныя вектары перпендыкуляр-ныя:
1) а(2; —1; 3), 5(1; 3; п); 2) а(п; —2; 1), Ь(п; —п; 1);
3) а(п; —2; 1), Ь(п; 2п; 4); 4) а(4; 2л; —1), b( —1; 1; п)?
56. Дадзены тры пунты: А(1; 0; 1), В( — 1; 1; 2), С(0; 2; —1). Знайдзіце на восі z такі пункт 0(0; 0; с), каб вектары AB і CD былі перпендыкулярныя.
57*. Вектары a і b утвараюць вугал 60°, а вектар с перпенды-кулярны ім. Знайдзіце абсалютную велічыню вектара а -\- Ь -\- с. _ _ _
58*. Вектары а, Ь, с адзінкавай даўжыні ўтвараюць парамі
292
10 клас
вуглы ў 60°. Знайдзіце вугал ф паміж вектарамі: 1)аіЬ + + с; 2) a і b — с.
59. Дадзены чатыры пункты: А(0; 1; —1), В(1; —1; 2), С(3; 1; 0), Di2; —3; 1). Знайдзіце косінус вугла ф паміж вектарамі AB і CD.
60. Дадзены тры пункты: А(0; 1; —1), В(1; —1; 2), С(3; 1; 0). Знайдзіце косінус вугла С трохвугольніка ABC.
61*. Дакажыце, што вугал ф паміж прамымі, якія ўтрымлі-ваюць вектары а і Ь, вызначаецца з ураўнення
|a&| = |а| |д| cos ф.
62*. 3 вяршыні прамога вугла А трохзугольніка ABC узведзе-ны перпендыкуляр AD да плоскасці трохвугольніка. Знай-дзіце косінус вугла ф паміж вектарамі ВС і BD, калі вугал ABD роўны а, а вугал ABC роўны 0 (рыс. 397).
63. Нахіленая ўтварае вугал 45° з плоскасцю. Праз аснову на-хіленай праведзена прамая ў плоскасці пад вуглом 45° да праекцыі нахіленай. Знайдзіце вугал ф паміж гэтай прамой і нахіленай.
64*. 3 пункта па-за плоскасцю праведзены перпендыкуляр і дзве роўныя нахіленыя, якія ўтвараюць вуглы a з перпен-дыкулярам. Знайдзіце вугал ф паміж праекцыямі нахіле-ных, калі вугал паміж нахіленымі р.
11 клас
§ 19. МНАГАГРАННІКІ
166. ДВУХГРАННЫ ВУГАЛ
Двухгранным вуглом называецца фігура, утвораная дзвюма паўплоскасцямі з агульнай прамой, якая іх абмяжоўвае (рыс. 398). Паўплоскасці называюцца гранямі, а прамая, якая іх аб-мяжоўвае,— кантам двухграннага вугла.
Плоскасць, перпендыкулярная канту двухграннага вугла, перася-кае яго грані па дзвюх паўпрамых. Вугал, утвораны гэтымі паўпра-мымі, называецца лінейным вуглом двухграннага вугла. За меру двух-граннага вугла прымаецца мера ад-паведнага яму лінейнага вугла. Усе лінейныя вуглы двухграннага вуг-ла сумяшчаюцца паралельным пе-раносам, а значыць, роўныя. Таму мера двухграннага вугла не зале-жыць ад выбару лінейнага вугла.
КНІГІ ОНЛАЙН
