Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Няхай a — плоскасць і a — прамая, якая яе перасякае і не перпендыкулярная плоскасці a (рыс. 390). Асновы перпендыку-ляраў, якія апушчаны з пунктаў прамой а на плоскасць а, ля-жаць на прамой а'. Гэта прамая называецца праекцыяй прамой а на плоскасць а. Вуглом паміж прамой і плоскасцю называец-ца вугал паміж гэтай прамой і яе праекцыяй на плоскасць.
Калі прамая перпендыкулярная плоскасці, то вугал лічыцца роў-ным 90°, калі паралельная,— то 0°. Паколькі прамая а, яе праекцыя а' на плоскасць a і перпендыкуляр да плоскасці a у пункце яе перасячэн-ня з прамой а ляжаць у адной плоскасці, то вугал паміж прамой і плоскасцю дапаўняе да 90° вугал паміж гэтай прамой і перпендыку-
лярам да плоскасці. Рыс 390
282
10 клас
Задача (35). Пункт А знаходзіцца ад плоскасці на адлегласці h. Знайдзіце даўжыні нахіленых, якія праве-дзены з гэтага пункта пад наступнымі вугламі да плоска-сці: 1) 30°; 2) 45°; 3) 60°.
Р а ш э н н е. Апусцім перпенды-куляр АА' на плоскасць (рыс. 391). Трохвугольнік АА'В — прамаву-гольны з прамым вуглом пры вяр-шыні А'. Востры вугал гэтага трохвугольніка, процілеглы катэту АА', роўны 30° (адпаведна 45°, 60°). Таму ў першым выпадку на-АА'
хіленая АВ = ———= 2h. У другім sin
выпадку
AB = h^2, у трэцім —
AB — 2h .
162. ВУГАЛ ПАМІЖ ПЛОСКАСЦЯМІ
Вызначым паняцце вугла паміж плоскасцямі. Вугал гіаміж паралельнымі плоскасцямі лічыцца роўным нулю.
Няхай дадзеныя плоскасці перасякаюцца. Правядзём плоскасць, перпендыкулярную прамой іх перасячэння. Яна перасякае дадзеныя плоскасці па дзвюх прамых. Вугал паміж гэтымі прамымі называецца вуглом паміж дадзенымі плоска-сцямі (рыс. 392).
Вызначаемы так вугал паміж плоскасцямі не залежыць ад выбару сякучай плоскасці. Дакажам гэта.
Няхай а і р — дадзеныя плоскасці, якія перасякаюцца па прамой с. Правядзём плоскасць, перпендыкулярную прамой с. Яна перасячэ плоскасці a і р па прамых а і Ь. Вугал паміж плоскасцямі a і р роўны вуглу паміж прамымі а і Ь. Возьмем другую сякучую плоскасць у', перпендыкулярную прамой с. Няхай а' і Ь' — прамыя перасячэння гэтай плоскасці з плоскасцямі a і р. Выканаем паралельны перанос, пры якім пункт перасячэння плоскасці у з прамой с пераходзіць у пункт перасячэння плоскасці у' з прамой с. Пры гэтым па ўласцівасці паралельнага пераносу прамая а пераходзіць у пра-мую а', а прамая b — у прамую Ь'. Гэта значыць, што вуглы паміж прамымі а і Ь, а' і Ь' роўныя, што і трэба было даказаць.
§ 18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
283
jr Задача (43). Дзве плоскасці перасякаюцца пад СI j вуглом 30°. Пункт А, які ляжыць у адной з гэтых плоскасцей, знаходзіцца на адлегласці а ад другой плоска-сці. Знайдзіце адлегласць ад гэтага пункта да прамой перасячэння плоскасцей.
Р а ш э н н е. Няхай а і р — дадзеныя плоскасці і A — пункт, які ляжыць у плоскасці a (рыс. 393). Апусцім перпендыкуляр АА' на плоскасць р і перпендыкуляр АВ на прамую с,па якой перасякаюцца плоскасці. Па тэарэме аб трох перпендыкулярах А'В J_c. Плоскасць ЛАВА' пер-пендыкулярная прамой с і таму вугал пры вяршыні В прамавугольнага трохвугольніка АВА' роўны 30°. Маем:
Адлегласць ад пункта А да прамой с роўна 2a.
163. ПЛОШЧА АРТАГАНАЛЬНАЙ ПРАЕКЦЫІ МНОГАВУГОЛЬНІКА
Т э а р э м а 18.1. Плошча артаганальнай праекцыі многаву-гольніка на плоскасць роўна здабытку яго плошчы на косі-нус вугла паміж плоскасцю многавугольніка і плоскасцю пра-екцыі.
Д о к а з. Разгледзім спачатку трохвугольнік і яго праекцыю на плоскасць, якая праходзіць праз адну з яго старон (рыс. 394). Праекцыяй трохвугольніка ABC з’яўляецца трохвугольнік АВСі у плоскасці а. Правядзём вышыню CD трохвугольніка
284
10 клас
ABC. Па тэарэме аб трох перпендыкулярах адрэзак C,D — вышыня трохвугольніка АВС\. Вугал CDC\ роўны вуглу ф па-між плоскасцю трохвугольніка ABC і плоскасцю праекцыі а. Маем:
C\D = CD cos ф, Sabc=±AB-CD, Sabc^^AB-C^.
Адсюль
S ABC, = S ABC cos cp.
Такім чынам, y разглядаемым выпадку тэарэма правільная. Тэарэма правільная і ў выпадку, калі замест плоскасці а узята любая паралельная ёй плоскасць. Сапраўды, пры праектаванні фігуры на паралельныя плоскасці яе праекцыі сумяшчаюцца паралельным пераносам у напрамку праектавання. А сумя-шчаемыя паралельным пераносам фігуры роўныя.
Разгледзім цяпер агульны выпадак. Разаб’ём дадзены мно-гавугольнік на трохвугольнікі. Кожны трохвугольнік, у якога няма стараны, паралельнай плоскасці праекцыі, мы разаб’ём на два трохвугольнікі з агульнай стараной, паралельнай плоскасці праекцыі, як гэта паказана для чатырохвугольніка ABCD на рысунку 395.
Цяпер для кожнага трохвугольніка Д нашай разбіўкі і яго праекцыі Д' запішам роўнасць S'\ = S^ cos <р. Складзём усе гэтыя роўнасці пачленна. Тады атрымаем злева плошчу праекцыі многавугольніка, а справа — плошчу самога многа-вугольніка, памножаную на cos q. Тэарэма даказана.
§18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасгоры
285
164. ВЕКТАРЫ Ў ПРАСТОРЫ
У прасторы гэта жа, як і на плоскасці, векгарам называецца накіраваны адрэзак. Літаральна гэтак жа, як і на плоскасці, вызначаюцца асноўныя паняцці для вектараў у прасторы: абса-лютная велічыня вектара, напрамак вектара, роўнасць век-тараў.
Каардынатамі вектара з пачаткам у пункце Аі(хі; ур, z,) і канцом у пункце А2(х2; у2', z^ называюцца лікі х2 — Хі, у2 — у\, з2 — Zi. Гэтак жа, як і на плоскасці, даказваецца, што роўныя вектары маюць адпаведна роўныя каардынаты, і, наадварот, вектары з адпаведна роўнымі каардынатамі роўныя. Гэта дае падставу для абазначэння вектара яго каардынатамі: а(а\-, а2; а3) або проста (а,; а2; а3).
7k Задача (50). Дадзены чатыры пункты A(2; 7; — 3), В! 1; 0; 3), С( — 3; — 4; 5), 7>( —2; 3; —1). Пакажыце сярод A—/ вектараў AB, ВС, DC, AD, AC і BD роўныя вектары.
Р а ш э н н е. Трэба знайсці каардынаты дадзеных век-тараў AB, ВС, ... і параўнаць адпаведныя каардынаты. У роўных вектараў адпаведныя каардынаты роўныя. Напрыклад, у вектара АВ каардынаты: 1—2=—1, 0 — 7 = — 7, 3 — (— 3) = 6. У вектара DC такія ж каарды-наты: — 3 — ( — 2) = — 1, — 4 — 3= — 7, 5 — ( —1) = 6. Та-кім чынам, вектары AB і DC роўныя. Другой парай роўных вектараў будуць ВС і AD.
165. ДЗЕЯННІ НАД ВЕКТАРАМІ Ў ПРАСТОРЫ
Гэтак жа, як і на плоскасці, вызначаюцца дзеянні над векта-рамі: складанне, множанне на лік і скалярны здабытак.
Сумай вектараў a(at; а2; а3) і b(bt; b2; Ь^ называецца век-тар с(аі + &і; а2 + Ь>; а3 + Ь3).
Гэтак жа, як і на плоскасці, даказваецца вектарная роў-насць
АВ + ВС = АС.
Здабыткам вектара а(а\; а2; а3) на лік X называецца вектар Ха — ^ад }м2; Ха3). Гэтак жа, як і на плоскасці, даказваецца, што абсалютная велічыня вектара Ха роўна |і| |а|, а напрамак супадае з напрамкам вектара а, калі X > 0, і процілеглы на-прамку вектара а, калі Z < 0.
286
10 клас
А Задача (54). Дадзен вектар а(1; 2; 3). Знайдзіце калі-( ° неарны яму вектар з пачаткам у пункце А(1; 1; 1) і канцом В на плоскасці ху.
Р а ш э н н е. Каардыната z пункта В роўна нулю. Каар-дынаты вектара AB: х — 1, у — 1,0 — 1= —1.3 калінеар-насці вектараў a і АВ атрымліваем прапорцыю
x-l j/-l -1
1 2 3 '
Адсюль знаходзім каардынаты х, у пункта В:
2 1
Х=Г У = ^'
Скалярным здабыткам вектараў (a,; а2; аз) і (&і5 Ь^; Ьз) называецца лік аі b\. + a2bo + азЬз. Літаральна гэтак жа, як і на плоскасці, даказваецца, што скалярны здабытак вектараў роўны здабытку іх абсалютных велічынь на косінус вугла паміж вектарамі.
Л\ Задача (59). Дадзены чатыры пункты: А(0; 1; — 1), В(1; —1; 2), С(3; 1; 0), 0(2; — 3; 1). Знайдзіце косінус вугла ф паміж вектарамі AB і CD.
Рашэнне. Каардынатамі вектара АВ будуць:
1-0=1, —1 - 1 =-2, 2 —(—1)=3;
\АВ\= V14(-2)2+,32 = д/14.
Каардынатамі вектара CD будуць:
2-3 = -1, —3 —1=—4, 1-0 = 1;
Значыць,
I CD | = ^ — I)2 + ( —4)2 + I2 = v 18.
ABCD 1-(-1) + (-2)-(-4) + 3-1 COS ф = ---------= —-----■—=^——-------------=
\АВ\ |CD| \14- \1.8
5
^КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ •
1. Растлумачце, як вызначаюцца каардынаты пункта ў прасторы.
2. Выразіце адлегласць паміж двума пунктамі праз каарды-наты гэтых пунктаў.
3. Выведзіце формулы для каардынат сярэдзіны адрэзка праз каардынаты яго канцоў.
§ 18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы 287
4. Што такое пераўтварэнне сіметрыі адносна пункта? Якая фігура называецца цэнтральна-сіметрычнай?
5. Растлумачце, што такое пераўтварэнне сіметрыі адносна плоскасці. Што такое плоскасць сіметрыі фігуры?
6. Якое пераўтварэнне фігуры называецца рухам?
7. Дакажыце, што рух у прасторы пераводзіць плоскасць у плоскасць.
8. Якія фігуры ў прасторы называюцца роўнымі?
9. Дайце азначэнне паралельнага пераносу.
10. Пералічыце ўласцівасці паралельнага пераносу.
11. Дакажыце, што пры паралельным пераносе ў прасторы кожная плоскасць пераходзіць або ў сябе, або ў паралель-ную плоскасць.
12. Што такое пераўтварэнне падобнасці? Пералічыце яго ўласцівасці.
13. Якое пераўтварэнне называецца гаматэтыяй? Дакажыце, што пераўтварэнне гаматэтыі ў прасторы пераводзіць любую плоскасць, якая не праходзіць праз цэнтр гаматэ-тыі, у паралельную плоскасць (або ў сябе).
14. Дайце азначэнне вугла паміж прамымі, якія скрыжоў-ваюцца.
15. Дайце азначэнне вугла паміж прамой і плоскасцю.
16. Дайце азначэнне вугла паміж плоскасцямі.
17. Дакажыце, што плошча артаганальнай праекцыі многаву-гольніка на плоскасць роўна здабытку яго плошчы на косі-нус вугла паміж плоскасцю многавугольніка і плоскасцю яго праекцыі.
18. Што такое абсалютная велічыня вектара? Якія вектары на-зываюцца аднолькава накіраванымі?
19. Дайце азначэнне каардынат вектара з пачаткам у пункце А|(хі; yr, Z|) і канцом у пункце Я2(х2; у2', z2).
20. Дайце азначэнні дзеянняў над вектарамі: складання, мно-жання на лік, скалярнага здабытку.
^ ЗАДАЧЫ
1. Дзе ляжаць тыя пункты прасторы, для якіх каардынаты х і у роўны нулю?
2. Дадзены пункты А(1; 2; 3), В(0; 1; 2), С(0; 0; 3), 0(1; 2; 0). Якія з гэтых пунктаў ляжаць: 1) у плоскасці ху, 2) на восі z; 3) у плоскасці yz?
3. Дадзен пункт А(1; 2; 3). Знайдзіце асновы перпендыкуля-раў, апушчаных з гэтага пункта на каардынатныя восі і ка-ардынатныя плоскасці.
4. Знайдзіце адлегласці ад пункта (1; 2; — 3) да: 1) каарды-натных плоскасцей; 2) восей каардынат; 3) пачатку каар-дынат.
КНІГІ ОНЛАЙН
