Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Дакажам, што дзве прамыя, якія скрыжоўваюцца, маюць агуль-ны перпендыкуляр, і прытым толь-кі адзін. Ён з'яўляецца агульным
перпендыкулярам паралельных плоскасцей, якія праходзяць
праз гэтыя прамыя.
Сапраўды, няхай a і b — дадзеныя прамыя, якія скры-жоўваюцца (рыс. 368). Правядзём праз іх паралельныя плос-касці а і р. Прамыя, якія перасякаюць прамую а і перпенды-кулярныя плоскаці а, ляжаць у адной плоскасці (у). Гэта плос-касць перасякае плоскасць р па прамой а', паралельнай а. Няхай В — пункт перасячэння прамых а’ і Ь. Тады прамая АВ, якая перпендыкулярная плоскасці а, перпендыкулярная і плоскасці р, таму што р паралельная а. Адрэзак АВ — агульны перпендыкуляр плоскасцей a і р, а значыць, і пра-мых а і Ь.
Дакажам, што гэты агульны перпендыкуляр адзіны. Да-пусцім, што прамыя a і b маюць другі агульны перпендыкуляр CD. Правядзём праз пункт С прамую Ь', паралельную Ь. Пра-мая CD перпендыкулярная прамой Ь, а значыць, і Ь'. Паколькі яна перпендыкулярная прамой а, то яна перпендыкулярная плоскасці а, а значыць, паралельная прамой АВ. Выходзіць, што праз прамыя AB і CD, як праз паралельныя, можна пра-весці плоскасць. У гэтай плоскасці павінны ляжаць нашы прамыя AC і BD, якія скрыжоўваюцца, а гэта немагчыма. Што і трэба было даказаць.
Адлегласцю паміж прамымі, якія скрыжоўваюцца, назы-ваецца даўжыня іх агульнага перпендыкуляра. Яна роўна адлегласці паміж паралельнымі плоскасцямі, якія праходзяць праз гэтыя прамыя.
151. ПРЫМЯНЕННЕ АРТАГАНАЛЬНАГА
ПРАЕКТАВАННЯ Ў ТЭХНіЧНЫМ ЧАРЧЭННІ
У чарчэнні прымяняецца артаганальнае праектаванне, г. зн. паралельнае праектаванне прамымі, перпендыкуляр-нымі плоскасці праекцыі. Чарцяжы дэталей машын атрым-
§ 17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей 263
ліваюцца шляхам артаганальнага праектавання на адну, дзве ці тры ўзаемна перпендыкулярныя плоскасці. Гэтыя плоскасці называюцца плоскасцямі праекцый. Плоскасці праекцый з праекцыямі праектуемай дэталі на іх сумяшчаюцца пава-ротам каля прамых, па якіх яны перасякаюцца.
На рысунку 369 паказана выкананне чарцяжа балта шля-хам праектавання на дзве плоскасці: гарызантальную Н і вер-тыкальную V. Чарцёж балта ў дзвюх праекцыях паказаны на рысунку 370.
Рыс. 369 Рыс. 370
Пры выкананні чарцяжоў дэталей машын карыстаюцца рознымі ўмоўнасцямі, якія прадугледжаны стандартам. У пры-ватнасці, разьба ўмоўна паказваецца суцэльнай тонкай лі-ніяй, а цэнтравыя і восевыя — штрыхпункцірнымі лініямі. Гэтыя ўмоўнасці паказу прыменены на чарцяжы балта (рыс. 370).
Q КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1. Якія прамыя ў прасторы называюцца перпендыкулярнымі?
2. Дакажыце, што прамыя, якія перасякаюцца і адпаведна паралельныя перпендыкулярным прамым, самі перпенды-кулярныя.
264
10 клас
3. Дайце азначэнне перпендыкулярнасці прамой і плоскасці.
4. Дакажыце прызнак перпендыкулярнасці прамой і плос-касці.
5. Дакажыце, што калі плоскасць перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных прамых, то яна перпендыкулярная і другой.
6. Дакажыце, што дзве прамыя, якія перпендыкулярныя адной і той жа плоскасці, паралельныя.
7. Што такое перпендыкуляр, апушчаны з дадзенага пункта на плоскасць?
8. Што называецца адлегласцю ад пункта да плоскасці?
9. Што такое нахіленая, якая праведзена з дадзенага пунк-та да плоскасці? Што такое праекцыя нахіленай?
10. Дакажыце тэарэму аб трох перпендыкулярах.
11. Якія плоскасці называюцца перпендыкулярнымі?
12. Дакажыце прызнак перпендыкулярнасці плоскасцей.
13. Што такое агульны перпендыкуляр прамых, якія скры-жоўваюцца?
14. Дакажыце, што прамыя, якія скрыжоўваюцца, маюць агульны перпендыкуляр, і прытым толькі адзін. Ен з’яў-ляецца агульным перпендыкулярам паралельных плос-касцей, якія праходзяць праз гэтыя прамыя.
15. Што называецца адлегласцю паміж прамымі, якія скры-жоўваюцца?
1. Дакажыце, што праз любы пункт прамой у прасторы можна правесці перпендыкулярную ёй прамую.
2. Дакажыце, што праз любы пункт прамой у прасторы можна правесці дзве розныя перпендыкулярныя да яе прамыя.
3. Прамыя AB, AC і AD парамі перпендыкулярныя (рыс. 371). Знайдзіце адрэзак CD, калі: 1) АВ = 3 см, ВС = 7 см, AD = 1,5 см; 2) BD = 9 см, ВС = 16 cm, AD = 5 см; 3) АВ = = b, ВС = a, AD = d; 4) BD = с, ВС = a, AD = d.
4*. Стораны чатырохвугольніка ABCD і прамавугольніка A\B\C\D\ адпаведна паралельныя. Дакажыце, што A BCD — прамавугольнік.
5. Дакажыце, што праз пункт, які не ляжыць у дадзенай плоскасці, нельга правесці больш за адну прамую, пер-пендыкулярную плоскасці.
6. Праз цэнтр апісанай каля трохвугольніка акружнасці праведзена прамая, перпендыкулярная плоскасці трох-вугольніка. Дакажыце, што кожны пункт гэтай прамой роўнааддалены ад вяршынь трохвугольніка (рыс. 372).
§ 17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей
265
Рыс. 371 Рыс. 372
7. Праз вяршыню А прамавугольніка ABCD праведзена пра-мая АК, перпендыкулярная яго плоскасці. Адлегласці ад пункта К да іншых вяршынь прамавугольніка роўны 6 м, 7 м і 9 м. Знайдзіце адрэзак АК.
8. Праз вяршыню вострага вугла прамавугольнага трохву-гольніка ABC з прамым вуглом С праведзена прамая AD, перпендыкулярная плоскасці трохвугольніка. Знай-дзіце адлегласць ад пункта D да вяршынь В і С, калі АС = а, BC = b, AD = c.
9. Дакажыце, што праз дадзены пункт прамой можна пра-весці адну, і толькі адну перпендыкулярную ёй плоскасць.
10. Праз пункт А прамой а праведзены перпендыкулярныя ёй плоскасць (3 і прамая Ь. Дакажыце, што прамая b ля-жыць у плоскасці р.
11. Дакажыце, што праз дадзены пункт плоскасці можна пра-весці адну, і толькі адну перпендыкулярную ёй прамую.
12. Дакажыце, што праз любы пункт А можна правесці пра-мую, перпендыкулярную дадзенай плоскасці а.
13. Праз вяршыню квадрата ABCD праведзена прамая ВМ, перпендыкулярная яго плоскасці. Дакажыце, што: 1) пра-мая AD перпендыкулярная плоскасці прамых AB і ВМ;
2) прамая CD перпендыкулярная плоскасці прамых ВС і ВМ.
14. Праз пункты A і В праведзены прамыя, перпендыкуляр-ныя плоскасці а, якія перасякаюць яе ў пунктах С і D адпаведна. Знайдзіце адлегласць паміж пунктамі A і В, калі AC = 3 м, BD = 2 м, CD = 2,4 м і адрэзак АВ не пера-сякае плоскасць а.
15. Верхнія канцы двух слупоў, якія стаяць вертыкальна, аддаленыя на адлегласць 3,4 м, злучаны перакладзінай.
266
10 клас
Вышыня аднаго слупа 5,8 м, а другога — 3,9 м. Знайдзіце даўжыню перакладзіны.
16. Тэлефонны дрот даўжынёй 15 м працягнуты ад тэлефон-нага слупа, дзе ён прымацаваны на вышыні 8 м ад паверх-ні зямлі, да дома, дзе яго прымацавалі на вышыні 20 м. Знайдзіце адлегласць паміж домам і слупам, дапускаючы, што дрот не правісае.
17. Пункт А знаходзіцца на адлегласці а ад вяршынь роўна-старонняга трохвугольніка са стараной а. Знайдзіце адлег-ласць ад пункта А да плоскасці трохвугольніка.
18. 3 пункта S па-за плоскасцю а праведзены да яе тры роў-ныя нахіленыя SA, SB, SC і перпендыкуляр SO. Дакажыце, што аснова перпендыкуляра О з’яўляецца цэнтрам акруж-насці, апісанай каля трохвугольніка ABC.
19. Стораны роўнастаронняга трохвугольніка роўны 3 м. Знай-дзіце адлегласць да плоскасці трохвугольніка ад пункта, які знаходзіцца на адлегласці 2 м ад кожнай з яго вяршынь.
20*. У раўнабедраным трохвугольніку аснова і вышыня роў-ны 4 м. Дадзены пункт знаходзіцца на адлегласці 6 м ад плоскасці трохвугольніка і на роўнай адлегласці ад яго вяршынь. Знайдзіце гэту адлегласць.
21. Адлегласці ад пункта А да вяршынь квадрата роўны а. Знайдзіце адлегласць ад пункта А да плоскасці квадрата, калі старана квадрата роўна Ь.
22. Знайдзіце геаметрычнае месца асноў нахіленых дадзенай даўжыні, праведзеных з дадзенага пункта да плоскасці.
23. 3 пункта да плоскасці праведзены дзве нахіленыя, роўныя 10 см і 17 см. Рознасць праекцый гэтых нахіленых роўна 9 см. Знайдзіце праекцыі нахіленых.
24. 3 пункта да плоскасці праведзены дзве нахіленыя. Знай-дзіце даўжыні нахіленых, калі: 1) адна з іх на 26 см боль-шая за другую, а праекцыі нахіленых роўны 12 см і 40 см; 2) нахіленыя адносяцца як 1:2, а праекцыі нахіленых роўны 1 см і 7 см.
25. 3 пункта да плоскасці праведзены дзве нахіленыя, роў-% ныя 23 см і 33 см. Знайдзіце адлегласць ад гэтага пункта да плоскасці, калі праекцыі нахіленых адносяцца як 2:3.
26. Дакажыце, што калі прамая паралельная плоскасці, то ўсе яе пункты знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад плоскасці.
27. Праз вяршыню прамога вугла С прамавугольнага трох-вугольніка ABC праведзена плоскасць, паралельная гіпа-тэнузе, на адлеі’ласці 1 м ад яе. Праекцыі катэтаў на гэту плоскасць роўны 3 м і 5 м. Знайдзіце гіпатзнузу.
28. Праз адну старану ромба іграведзена плоскасць на адлег-ласці 4 м ад процілеглай стараны. Праекцыі дыяганалей
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей 267
на гэту плоскасць роўны 8 м і 2 м. Знайдзіце праекцыі старон.
29. 3 канцоў адрэзка АВ, паралельнага плоскасці, праведзены перпендыкуляр AC і нахіленая BD, перпендыкулярная адрэзку АВ (рыс. 373). Чаму роўна адлегласць CD, калі: AB = a, AC = b, BD = с?
30. Дакажыце, што адлегласці ад усіх пунктаў плоскасці да паралельнай плоскасці аднолькавыя.
31. Адлегласць паміж дзвюма паралельнымі плоскасцямі роўна а. Адрэзак даўжыні b сваімі канцамі ўпіраецца ў гэтыя плоскасці. Знайдзіце праекцыю адрэзка на кожную з плоскасцей.
32. Два адрэзкі даўжынь a і b упіраюцца канцамі ў дзве пара-лельныя плоскасці. Праекцыя першага адрэзка (даўжы-ні а) на плоскасць роўна с. Знайдзіце праекцыю другога адрэзка.
33. Канцы дадзенага адрэзка, які не перасякае плоскасць, аддалены ад яе на 0,3 м і 0,5 м. Як аддалены ад плоскасці пункт, што дзеліць дадзены адрэзак у адносіне 3:7?
34. Праз сярэдзіну адрэзка праведзена плоскасць. Дакажыце, што канцы адрэзка знаходзяцца на аднолькавай адлег-ласці ад гэтай плоскасці.
35. Праз дыяганаль паралелаграма праведзена плоскасць. Дакажыце, што канцы другой дыяганалі знаходзяцца на аднолькавай адлегласці ад гэтай плоскасці.
36. Знайдзіце адлегласць ад сярэдзіны адрэзка АВ да плос-касці, якая не перасякае гэты адрэзак, калі адлегласці ад пунктаў A і В да плоскасці роўны: 1) 3,2 см і 5,3 см; 2) 7,4 см і 6,1 см; 3) а і 5.
37*. Рашыце папярэднюю задачу, лічачы, што адрэзак АВ перасякае плоскасць.
38. Адрэзак даўжынёй 1 м перасякае плоскасць, канцы яго аддалены ад плоскасці на 0,5 м і 0,3 м. Знайдзіце даўжы-ню праекцыі адрэзка на плоскасць.
КНІГІ ОНЛАЙН
