Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
8*. Дадзены паралелаграм ABCD і плоскасць, якая яго не перасякае. Праз вяршыні паралелаграма праведзены па-ралельныя прамыя, якія перасякаюць дадзеную плос-касць у пунктах Ai, Bi, Ci, D\ (рыс. 341). Знайдзіце даў-жыню адрэзка DD\, калі: 1) ААі = 2 м, ВВ\ = 3 м, ССі = = 8 м; 2) ААі = 4 м, ВВ\ = 3 м, СС, = 1 м; 3) АА, = а, ВВ, = Ь, СС\ = с.
9. Прамыя a і b не ляжаць у адной плоскасці. Ці можна правесці прамую с, паралельную прамым а і Ь?
10. Пункты A, В, С, D не ляжаць у адной плоскасці. Дакажыце, што прамая, якая праходзіць праз сярэдзіны адрэзкаў AB і ВС, паралельная прамой, якая праходзіць праз сярэ-дзіны адрэзкаў AD і CD.
11. Дакажыце, што сярэдзіны старон прасторавага чатырох-вугольніка з’яўляюцца вяршынямі паралелаграма (вяр-шыні прасторавага чатырохвугольніка не ляжаць у адной плоскасці).
12*. Дадзены чатыры пункты A, В, С, D, якія не ляжаць
§16. Паралельнасць прамых і плоскасцей
249
у адной плоскасці. Дакажыце, што прамыя, якія злучаюць сярэдзіны адрэзкаў AB і CD, AC і BD, AD і ВС, перася-каюцца ў адным пункце.
13. Дадзены трохвугольнік ABC. Плоскасць, паралельная пра-мой АВ, перасякае старану AC гэтага трохвугольніка ў пункце Ai, а старану ВС — у пункце В\. Знайдзіце даў-жыню адрэзка АіВі, калі: 1) АВ = 15 cm, A A ।: AC = 2 : 3; 2) AB =8 cm, ААі :А,С = 5:3; 3) BtC = 10 см, АВ:ВС = = 4:5; 4) АА, = a, АВ = Ь, А}С = с.
14. Праз дадзены пункт правядзіце прамую, паралельную кожнай з дзвюх дадзеных плоскасцей, якія перасякаюцца.
15. Дакажыце, што калі плоскасць перасякае адну з дзвюх паралельных прамых, то яна перасякае і другую.
16. Дакажыце, што праз любую з дзвюх прамых, якія скры-жоўваюцца, можна правесці плоскасць, паралельную другой прамой.
17. Дакажыце, што калі дзве плоскасці, якія перасякаюцца па прамой а, перасякаюць плоскасць а па паралельных прамых, то прамая а паралельная плоскасці a (рыс. 342).
18. Дакажыце, што калі прамая перасякае адну з дзвюх пара-лельных плоскасцей, то яна перасякае і другую.
19. Дакажыце, што праз дзве прамыя, якія скрыжоўваюцца, можна правесці паралельныя плоскасці.
20. Праз дадзены пункт прасторы правядзіце прамую, якая перасякае кожную з дзвюх прамых, што скрыжоўваюцца (рыс. 343). Ці заўсёды гэта магчыма?
21*. Дакажыце, што геаметрычнае месца сярэдзін адрэзкаў з канцамі на дзвюх прамых, якія скрыжоўваюцца, ёсць плоскасць, паралельная гэтым прамым (рыс. 344).
22. Дадзены чатыры пункты A, В,С і D, якія не ляжаць у адной плоскасці. Дакажыце, што любая плоскасць, паралельная прамым AB і CD, перасякае прамыя AC, AD, BD і ВС у вяршынях паралелаграма (рыс. 345).
250
10 клас
23. Плоскасці а і (3 паралельныя плоскасці у. Ці могуць плос-касці a і 0 перасякацца?
24. Плоскасці a і Р перасякаюцца. Дакажыце, што любая плоскасць y перасякае хаця б адну з плоскасцей a, (3.
25. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія праходзяць праз дадзены пункт паралельна дадзенай плоскасці, ляжаць у адной плоскасці.
26. Праз дадзены пункт правядзіце плоскасць, паралельную кожнай з дзвюх прамых, якія перасякаюцца. Ці заўсёды гэта магчыма?
27. Паралелаграмы ABCD і ABC\D\ ляжаць у розных плос-касцях. Дакажыце, што чатырохвугольнік CDD\C\ таксама паралелаграм (рыс. 346).
28. Праз вяршыні паралелаграма ABCD, які ляжыць у адной
Рыс. 346
Рыс. 347
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей.
251
з дзвюх паралельных плоскасцей, праведзены паралель-ныя прамыя, якія перасякаюць другую плоскасць у пунк-тах Ai, Bi, Ci, Di. Дакажыце, што чатырохвугольнік A\B\C\D\ таксама паралелаграм.
29. Праз вяршыні трохвугольніка ABC, што ляжыць у адной з дзвюх паралельных плоскасцей, праведзены паралель-ныя прамыя, якія перасякаюць другую плоскасць у пунк-тах Аі, Ві, Сі. Дакажыце роўнасць трохвугольнікаў ABC і A \B\C\.
30. Тры прамыя, якія праходзяць праз адзін пункт, перася-каюць дадзеную плоскасць у пунктах A, В, С, а паралель-ную ёй плоскасць у пунктах Аі, Ві, Сі. Дакажыце падоб-насць трохвугольнікаў ABC і А\В\С\ (рыс. 347).
31. Дакажыце, што калі чатыры прамыя, якія праходзяць праз пункт А, перасякаюць плоскасць а у вяршынях паралелаграма, то яны перасякаюць любую плоскасць, якая паралельная a і не праходзіць праз А, таксама ў вяр-шынях паралелаграма (рыс. 348).
32. Дадзены дзве паралельныя плоскасці. Праз пункты A і В адной з плоскасцей праведзены паралельныя прамыя, якія перасякаюць другую плоскасць у пунктах А\ і В\. Чаму роўны адрэзак АіВі, калі АВ = а?
33*. Дадзены дзве паралельныя плоскасці аі і «2 і пункт А, які не ляжыць ні ў адной з гэтых плоскасцей. Праз пункт А праведзена адвольная прамая. Няхай X, і Хз — пункты перасячэння яе з плоскасцямі a, і as. Дакажыце, што адносіна даўжынь адрэзкаў АХ^-.АХі не залежыць ад узятай прамой.
34*. Пункт А ляжыць па-за плоскасцю a, X — адвольны пункт плоскасці а, X' — пункт адрэзка АХ, які дзеліць яго ў адно-сіне тп: п. Дакажыце, што геаметрычнае месца пунктаў X' ёсць плоскасць, паралельная плоскасці a.
35*. Дадзены тры паралельныя плоскасці аі, аг, аз. Няхай Xi, Х2, Хз — пункты перасячэння гэтых плоскасцей з
252
10 клас
адвольнай прамой. Дакажыце, што адносіна даўжынь адрэзкаў Х1Х2 :Х?ХЛ не залежыць ад прамой, г. зн. адноль-кавая для любых дзвюх прамых.
36. Дадзены чатыры паралельныя прамыя. Дакажыце, што калі якая-небудзь плоскасць перасякае гэтыя прамыя ў вяршынях паралелаграма, то любая плоскасць, не пара-лельная дадзеным прамым, перасякае іх у вяршынях не-каторага паралелаграма.
37. Дадзена паралельная праекцыя трохвугольніка. Як пабу-даваць праекцыі медыян гэтага трохвугольніка?
38. Дадзена паралельная праекцыя трохвугольніка. Які вы-гляд будзе мець праекцыя сярэдняй лініі трохвугольніка?
39. Ці можа пры паралельным праектаванні паралелаграма атрымацца трапецыя? Растлумачце адказ.
40. Ці можа праекцыя паралелаграма пры паралельным пра-ектаванні быць квадратам?
41. Дакажыце, што паралельная праекцыя цэнтральна-сімет-рычнай фігуры таксама з’яўляецца цэнтральна-сіметрыч-най фігурай.
42*. Дадзена паралельная праекцыя акружнасці і яе дыяметра (рыс. 349). Як пабудаваць праекцыю перпендыкулярнага дыяметра?
§ 17. ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНАСЦЬ ПРАМЫХ
I ПЛОСКАСЦЕЙ
143. ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНАСЦЬ ПРАМЫХ У ПРАСТОРЫ
Гэтак жа як і на плоскасці, дзве прамыя называюцца пер-пендыкуля'рнымі, калі яны перасякаюцца пад прамым вуглом.
Тэарэма 17.1. Калі дзве прамыя, якія перасякаюцца, адпаведна паралельныя дзвюм перпендыкулярным прамым, то яны таксама перпендыкулярныя.
Доказ. Няхай a і Ь — перпендыкулярныя прамыя, аі і Ьі — паралельныя ім прамыя, якія перасякаюцца. Дакажам, што прамыя аі і Ьі перпендыкулярныя.
Калі прамыя а, Ь, а\, Ь\ ляжаць у адной плоскасці, то яны валодаюць названай у тэарэме ўласцівасцю, як гэта вядома з планіметрыі.
Дапусцім цяпер, што нашы прамыя не ляжаць у адной плоскасці. Тады прамыя a і b ляжаць у некаторай плоскасці a, а прамыя аі і Ь\ — у некаторай плоскасці аі (рыс. 350). Па тэарэме 16.3 плоскасці а і аі паралельныя. Няхай С — пункт перасячэння прамых a і 5, а Сі — пункт перасячэння прамых аі і 6і. Правядзём у плоскасці паралельных прамых a і аі прамую, паралельную прамой ССі. Яна перасячэ прамыя
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей
253
Рыс. 350
Рыс. 351
а і аі ў пунктах А іАі.У плоскасці прамых bidi правядзём прамую, паралельную прамой СС\ і абазначым праз В і Bt пункты яе перасячэння з прамымі b і Ь<.
Чатырохвугольнікі САА\С\ і СВВ\С\ — паралелаграмы, паколькі ў іх процілеглыя стораны паралельныя. Чатырох-вугольнік АВВ\А\ таксама паралелаграм. У яго стораны АА\, ВВ\ паралельныя, таму што кожная з іх паралельная прамой СС|. Такім чынам, чатырохвугольнік ляжыць у плоскасці, якая праходзіць праз паралельныя прамыя ААі і ВВ\. А яна перасякае паралельныя плоскасці a і аі па паралельных прамых АВ і А\Ві.
Паколькі ў паралелаграма процілеглыя стораны роўныя, то АВ = А\В\, АС = А\С\, ВС = В\С\. Па трэцяму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў трохвугольнікі ABC і А^ВіСі роў-ныя. Значыць, вугал А\С\В\, роўны вуглу АСВ, прамы, г. зн. прамыя a, і Ьі перпендыкулярныя. Тэарэма даказана.
ФЗадача (1). Дакажыце, што праз любы пункт пра-мой у прасторы можна правесці перпендыкулярную да яе прамую.
Р а ш э н н е. Няхай a — дадзеная прамая і A — пункт на ёй (рыс. 351). Возьмем любы пункт X па-за прамой а і правядзём праз гэты пункт і прамую а плоскасць a (тэарэма 15.1). У плоскасці a праз пункт А можна пра-весці прамую Ь, перпендыкулярную прамой а.
144. ПРЫЗНАК ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНАСЦІ ПРАМОЙ
I ПЛОСКАСЦІ
Прамая, якая перасякае плоскасць, называецца перпенды.-кулярнай гэтай плоскасці, калі яна перпендыкулярная любой
254
10 клас
Рыс. 352
прамой, якая ляжыць у дадзенай плоскасці і праходзіць праз пункт перасячэння (рыс. 352).
Тэарэма 17.2. Калі прамая перпендыкулярная дзвюм прамым, якія перасякаюцца і ляжаць у плоскасці, то яна перпендыкулярная дадзенай плоскасці.
Д о к а з. Няхай a — прамая, перпендыкулярная прамым b і с у плоскасці а. Тады прамая а праходзіць праз пункт A перасячэння прамых Ь і с (рыс. 353). Дакажам, што прамая a перпендыкулярная плоскасці а.
Правядзём адвольную прамую х праз пункт А ў плоскасці а і пакажам, што яна перпендыкулярная прамой а. Правядзём у плоскасці а адвольную прамую, якая не праходзіць праз пункт А і перасякае прамыя Ь, с і х. Няхай пунктамі перася-чэння будуць В, С і X.
Адкладзём на прамой а ад пункта А ў розныя бакі роўныя адрэзкі АА\ і АА>. Трохвугольнік А\СА2 раўнабедраны, па-колькі адрэзак AC з’яўляецца вышынёй па ўмове тэарэмы і медыянай па пабудаванню (ААі=АА2). Па гэтай жа пры-чыне трохвугольнік А1ВА2 таксама раўнабедраны. Значыць, трохвугольнікі А]ВС і А >ВС роўныя па трэцяму прызнаку роўнасці трохвугольнікаў.
3 роўнасці трохвугольнікаў АіВС і А >ВС вынікае роўнасць вуглоў А\ВХ, А’ВХ і, значыць, роўнасць трохвугольнікаў А\ВХ і А>ВХ па першаму прызнаку роўнасці трохвуголь-нікаў. 3 роўнасці старон АіХ і А2Х гэтых трохвугольнікаў робім вывад, што трохвугольнік А\ХАі раўнабедраны. Таму яго медыяна ХА з’яўляецца таксама вышынёй. А гэта і зна-чыць, што прамая х перпендыкулярная а. Па азначэнню пра-мая а перпендыкулярная плоскасці а. Тэарэма даказана.
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей 255
145. ПАБУДАВАННЕ ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНЫХ ПРАМОЙ I ПЛОСКАСЦІ
КНІГІ ОНЛАЙН
