Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Д, Задача (9). Дакажыце, што праз дадзены пункт f А прамой можна правесці адну, і толькі адну перпендыку-лярную ёй плоскасць.
Р а ш э н н е. Няхай a — дадзеная прамая і A — пункт на ёй (рыс. 354). Правядзём праз яе дзве плоскасці і пра-вядзём у іх праз пункт А прамыя b і с, перпендыкуляр-ныя прамой а. Плоскасць а, якая праходзіць праз гэтыя прамыя, перпендыкулярная прамой а па тэарэме 17.2.
Дакажам, што гэта плоскасць адзіная. Дапусцім, што акрамя плоскасці а, існуе іншая плоскасць а', якая пра-ходзіць праз пункт А і перпендыкулярная прамой a (рыс. 355). Няхай В — пункт плоскасці а', які не ляжыць у плоскасці а. Правядзём праз пункт В і прамую а плос-касць. Яна перасячэ плоскасці a і a' па розных прамых b і Ь', перпендыкулярных прамой a. А гэта, як мы ведаем, немагчыма, паколькі на плоскасці праз дадзены пункт прамой праходзіць толькі адна перпендыкулярная ёй пра-мая. Такім чынам, плоскасць, якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная прамой а, адзіная.
Рыс. 354 Рыс. 355
ж Задача (11). Дакажыце, што праз дадзены пункт q A ■ плоскасці можна правесці адну, і толькі адну перпенды-кулярную ёй прамую.
Рашэнне. Няхай a—дадзеная плоскасць і A — пункт на ёй (рыс. 356). Правядзём у плоскасці a праз пункт А дзве прамыя b і с. Правядзём праз пункт A пер-
256
10 клас
пендыкулярныя ім плоскасці. Яны перасякуцца па нека-торай прамой а, перпендыкулярнай прамым b і с. Зна-чыць, прамая а перпендыкулярная плоскасці а.
Дакажам, што гэта прамая адзіная. Дапусцім, што, акрамя прамой а, існуе іншая прамая а', якая праходзіць праз пункт А і перпендыкулярная плоскасці а (рыс. 357). Правядзём праз прамыя а і а' плоскасць. Яна перасячэ плоскасць a па некаторай прамой Ь, перпендыкулярнай прамым a і a'. А гэта, як мы ведаем, немагчыма. Такім чынам, прамая, якая праходзіць праз дадзены пункт плоскасці і перпендыкулярная гэтай плоскасці, адзіная.
146. УЛАСЦІВАСЦІ ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНЫХ ПРАМОЙ I ПЛОСКАСЦІ
Тэарэма 17.3. Калі ллоскасць перпендыкулярная адной з дзвюх паралельных прамых, то яна перпендыкулярная і другой
Доказ. Няхай аі і а? — дзве паралельныя прамыя і a — плоскасць, перпендыкулярная прамой а\ (рыс. 358). Дакажам, што гэта плоскасць перпендыкулярная і прамой ач.
Правядзём праз пункт A2 перасячэння прамой ач з плос-касцю a адвольную прамую Х2 у плоскасці а. Правядзём у плос-касці a праз пункт Аі перасячэння прамой а, з a прамую Хі, паралельную прамой Хг. Паколькі прамая аі перпендыкуляр-ная плоскасці a, то прамыя аі і хі перпендыкулярныя. А па тэарэме 17.1 паралельныя ім прамыя «2 і Х2, якія перасякаюцца, таксама перпендыкулярныя. Такім чынам, прамая ач перпен-дыкулярная любой прамой Х2 у плоскасці a. А гэта значыць,
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей
257
што прамая а^ перпендыкулярная плоскасці а. Тэарэма да-казана.
Задача (12). Дакажыце, што праз любы пункт A можна правесці прамую, перпендыкулярную дадзенай плоскасці а.
Р а ш э н н е. Правядзём у плоскасці а дзве прамыя b і с, якія перасякаюцца (рыс. 359). Праз пункт іх пера-сячэння правядзём плоскасці 0 і у, перпендыкулярныя прамым b і с адпаведна. Яны перасякаюцца па некато-рай прамой а. Прамая а перпендыкулярная прамым b і с, а значыць, і плоскасці а. Правядзём цяпер праз пункт А прамую d, паралельную а. Па тэарэме 17.3 яна перпендыкулярная плоскасці а.
Тэарэма 17.4. Дзве прамыя, перпендыкулярныя адной і той жа плоскасці, паралельныя.
Доказ. Няхай a і b — дзве прамыя, перпендыкулярныя
плоскасці а (рыс. 360). Дапусцім, што прамыя a і b не паралельныя.
Выберам на прамой b пункт С, які не ляжыць у плоскасці а. Пра-вядзём праз пункт С прамую Ь', паралельную прамой а. Прамая Ь' перпендыкулярная тоскасці a (тэарэма 17.3). Няхай В і В' — пункты перасячэння прамых bib' з плоскасцю а. Тады прамая ВВ' перпендыкулярная прамым b і Ь', якія перасякаюцца. А гэта немаг-чыма. Мы прыйшлі да супярэчнас-ці. Тэарэма даказана.
9 Геаметрыя, 7 —11 кл.
258
10 клас
147. ПЕРПЕНДЫКУЛЯР I НАХІЛЕНАЯ
Няхай дадзены плоскасць і пункт, які не ляжыць на ёй.
Перпендыкулярам, апушчаным з дадзенага пункта на да-дзеную плоскасць, называецца адрэзак, які злучае дадзены пункт з пунктам плоскасці і ляжыць на прамой, перпенды-кулярнай плоскасці. Канец гэтага адрэзка, які ляжыць у плос-касці, называецца асновай перпендыкуляра. Адлегласцю ад пункта да плоскасці называецца даўжыня перпендыкуля-ра, апушчанага з гэтага пункта на плоскасць.
Нахіленай, праведзенай з дадзенага пункта да дадзенай плоскасці, называецца любы адрэзак, што злучае дадзены пункт з пунктам на плоскасці, які не з’яўляецца перпенды-кулярам да плоскасці. Канец адрэзка, які ляжыць у плос-касці, называецца асновай нахіленай. Адрэзак, які злучае асновы перпендыкуляра і нахіленай, праведзеных з аднаго і таго ж пункта, называецца праекцыяй нахіленай.
На рысунку 361 з пункта А праведзены да плоскасці a перпендыкуляр АВ і нахіленая AC. Пункт В — аснова пер-пендыкуляра, пункт С — аснова нахіленай, ВС — праекцыя нахіленай AC на плоскасць a.
Задача (26). Дакажыце, што калі прамая паралель-0 ) ная плоскасці, то ўсе яе пункты знаходзяцца на адноль-__f кавай адлегласці ад плоскасці.
Р а ш э н н е. Няхай a — дадзеная прамая і a — дадзе-ная плоскасць (рыс. 362). Возьмем на прамой а два адволь-ныя пункты X і У. Іх адлегласці да плоскасці a — гэта даўжыні перпендыкуляраў XX' і YY', апушчаных на гэту плоскасць. Па тэарэме 17.4 прамыя XX' і YY' пара-лельныя, значыць, ляжаць у адной плоскасці. Гэта плос-касць перасякае плоскасць a па прамой X'Y'. Прамая a
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей 259
паралельная прамой X'Y', таму што не перасякае плос-касць а, у якой яна ляжыць. Такім чынам, у чатырох-вугольніка XX'Y'Y процілеглыя стораны паралельныя. Значыць, ён паралелаграм, а значыць XX' = YY'.
Адлегласцю ад прамой да паралельнай ёй плоскасці назы-ваецца адлегласць ад любога пункта гэтай прамой да плоскасці.
Дакладна гэтак жа, як у рашэнні задачы (26), даказваецца, што адлегласці ад любых двух пунктаў плоскасці да пара-лельнай плоскасці роўныя. У сувязі з гэтым адлегласцю паміж паралельнымі плоскасцямі называецца адлегласць ад любога пункта адной плоскасці да другой плоскасці.
148. ТЭАРЭМА АБ ТРОХ ПЕРПЕНДЫКУЛЯРАХ
Тэарэма 17.5. Калі прамая, праведзеная на плоскасці праз аснову нахіленай, перпендыкулярная яе праекцыі, то яна перпендыкулярная і нахіленай. I наадварот, калі прамая на плоскасці перпендыкулярная нахіленай, то яна перпендыку-лярная і праекцыі нахіленай.
Д о к а з. Няхай АВ — перпендыкуляр да плоскасці a, AC — нахіленая і с — прамая ў плоскасці а, якая праходзіць праз аснову С нахіленай (рыс. 363). Правядзём прамую СА', пара-лельную прамой АВ. Яна перпендыкулярная плоскасці а. Правядзём праз прамыя АВ і А'С плоскасць 0. Прамая с перпендыкулярная прамой СА'. Калі яна перпендыкулярная прамой СВ, то яна перпендыкулярная плоскасці (3, а значыць, і прамой AC.
Аналагічна, калі прамая с перпендыкулярная нахіленай СА, то яна, з’яўляючыся перпендыкулярнай і прамой СА', перпендыкулярная плоскасці 0, а значыць, і праекцыі нахіле-най ВС. Тэарэма даказана.
Рыс. 363
260
10 клас
Ж Задача (45). Праз цэнтр упісанай у трохвугольнік ( 4 ) акружнасці праведзена прамая, перпендыкулярная плос-касці трохвугольніка. Дакажыце, што кожны пункт гэтай прамой роўнааддалены ад старон трохвугольніка. Рашэнне. Няхай A, В, С — пункты дотыку старон
трохвугольніка з акружнасцю, О — цэнтр акружнасці і S — пункт на перпендыкуляры (рыс. 364). Па-колькі радыус ОА перпендыкуляр-ны старане трохвугольніка, то па тэарэме аб трох перпендыкулярах адрэзак SA ёсць перпендыкуляр да гэтай стараны, а яго даўжыня — адлегласць ад пункта S да стараны трохвугольніка. Па тэарэме Піфа-гора SA =\АО2 + OS2=^ r2 + OS2, дзе г — радыус упісанай акруж-насці. Аналагічна знаходзім: SB = = ^r2 + OS2, SC =^r2 + OS2, г. зн. усе адлегласці ад пункта S да ста-рон трохвугольніка роўныя.
149. ПРЫЗНАК ПЕРПЕНДЫКУЛЯРНАСЦІ ПЛОСКАСЦЕЙ
Дзве плоскасці, якія перасякаюцца, называюцца перпен-дыкулярнымі, калі трэцяя плоскасць, перпендыкулярная прамой перасячэння гэтых плоскасцей, перасякае іх па пер-
пендыкулярных прамых.
На рысунку 365, а вы бачыце дзве перпендыкулярныя плоскасці а і р, якія перасякаюцца па прамой с. Плоскасць у, перпендыкулярная прамой с, перасякае плоскасці a і 0 па перпендыкулярных прамых а і Ь.
Рыс. 365
§17. Перпендыкулярнасць прамых і плоскасцей
261
Любая плоскасць, перпендыкулярная лініі перасячэння перпендыкулярных плоскасцей, перасякае іх па перпенды-кулярных прамых.
Сапраўды, калі ўзяць другую плоскасць у', перпендыкуляр-ную прамой с (рыс. 365, б), то яна перасячэ плоскасць а па прамой а', перпендыкулярнай с, а значыць, паралельнай пра-мой a, а плоскасць (3 — па прамой Ь', перпендыкулярнай с, а значыць, паралельнай прамой Ь. Па тэарэме 17.1 з перпен-дыкулярнасці прамых a і b вынікае перпендыкулярнасць прамых а' і Ь', што і трэба было даказаць.
Тэарэма 17.6. Калі плоскасць праходзіць праз прамую, перпендыкулярную другой плоскасці, то гэтыя плоскасці перпендыкулярныя.
Д о к а з. Няхай a — плоскасць, Ь — перпендыкулярная ёй прамая, [3 — плоскасць, якая праходзіць праз прамую Ь, і с — прамая, па якой перасякаюцца плоскасці a і (3 (рыс. 366). Да-кажам, што плоскасці a і р перпендыкулярныя.
Правядзём у плоскасці a прамую а праз пункт перася-чэння прамой b з плоскасцю а, перпендыкулярн-ую прамой с. Правядзём праз прамыя a і b плоскасць у. Яна перпендыку-лярная прамой с, таму што прамая с перпендыкулярная пра-мым а і Ь. Паколькі прамыя a і b перпендыкулярныя, то плос-касці a і [3 перпендыкулярныя. Тэарэма даказана.
Задача (54). Дадзены прамая а і плоскасць а. Пра-вядзіце праз прамую а плоскасць, перпендыкулярную \ J плоскасці a.
Р а ш э н н е. Праз адвольны пункт прамой а праводзім прамую b (рыс. 367), перпендыкулярную плоскасці a (задача 12). Праз прамыя a і b праводзім плоскасць р. Плоскасць Р перпендыкулярная плоскасці a па тэарэ-ме 17.6.
Рыс. 366
Рыс. 367
262
10 клас
150. АДЛЕГЛАСЦЬ ПАМІЖ ПРАМЫМІ,
ЯКІЯ СКРЫЖОЎВАЮЦЦА
Агульным перпендыкулярам дзвюх прамых, якія скрыжоўва-юцца, называецца адрэзак з кан-цамі на гэтых прамых, які з’яўля-ецца перпендыкулярам да кож-най з іх.
КНІГІ ОНЛАЙН
