Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Дакажам, што плоскасць а, якая праходзіць праз пункты A, В, С, адзіная. Сапраўды, плоскасць, што праходзіць праз пункты A, В, С, па тэарэме 15.2 змяшчае прамыя AB і AC. А па аксіёме Сз такая плоскасць адзіная.
Задача (13). Ці можна правесці плоскасць праз тры пункты, калі яны ляжаць на адной прамой? Растлу-мачце адказ.
Р а ш э н н е. Няхай А,В,С — тры пункты, якія ляжаць на прамой а. Возьмем пункт D, што не ляжыць на прамой а (аксіёма I). Праз пункты A, В, D можна правесці плос-касць (тэарэма 15.3). Гэта плоскасць змяшчае два пункты прамой a — пункты A і В, а значыць, змяшчае і пункт С гэтай прамой (тэарэма 15.2). Значыць, праз тры пункты, якія ляжаць на адной прамой, заўсёды можна правесці плоскасць.
236
10 клас
134. ЗАЎВАГА ДА АКСІЁМЫ I
Аксіёма I у спіску аксіём стэрэаметрыі набывае новы сэнс у параўнанні з тым, які яна мела ў планіметрыі. У планімет-рыі гэта аксіёма сцвярджае існаванне пунктаў па-за дадзенай прамой на плоскасці, у якой ляжыць прамая. Менавіта ў такім сэнсе гэта аксіёма прымянялася пры пабудаванні геаметрыі на плоскасці. Цяпер гэта аксіёма сцвярджае наогул існаванне пунктаў, якія не ляжаць на дадзенай прамой. 3 яе непасрэдна
не вынікае, што існуюць пункты па-за дадзенай прамой на
плоскасці, у якой ляжыць прамая. Гэта патрабуе спецыяль-нага доказу. Дадзім такі доказ.
Няхай a — плоскасць і a — прамая ў гэтай плоскасці (рыс. 318). Дакажам існаванне пунктаў у плоскасці а, якія не
ляжаць на прамой а.
Адзначым пункт А на прамой a і пункт А' па-за плоскасцю a. Правядзём плоскасць а' праз пра-мую а і пункт А'. Возьмем пункт В па-за плоскасцю а' і правядзём праз прамую АА' і пункт В плос-касць р. Плоскасці a і 0 перася-каюцца па прамой Ь, якая прахо-дзіць праз пункт А і адрозніваецца ад прамой а. Пункты гэтай прамой, адрозныя ад А, ляжаць у плоскасці a па-за прамой а, што і трэба было даказаць.
135. РАЗБІЎКА ПРАСТОРЫ ПЛОСКАСЦЮ
НА ДЗВЕ ПАЎПРАСТОРЫ
Тэарэма 15.4. Плоскасць разбівае прастору на дзве паў-прасторы. Калі пункты X і Y належаць адной паўпрасторы, то адрззак XY не перасякае плоскасць. Калі ж пункгы X і Y належаць розным паўпрасторам, то адрэзак XY перасякае плоскасць.
Д о к а з (не для запамінання). Няхай a — дадзеная плос-касць. Адзначым пункт А, які не ляжыць у плоскасці а. Такі пункт існуе па аксіёме С|. Разаб’ём усе пункты прасторы, якія не ляжаць у плоскасці а, на дзве паўпрасторы наступ-ным чынам. Пункт X аднясём да першай паўпрасторы, калі адрэзак АХ не перасякае плоскасць а, і да другой паўпра-сторы, калі адрэзак АХ перасякае плоскасць а. Пакажам, што гэта разбіўка прасторы валодае ўласцівасцямі, адзна-чанымі ў тэарэме.
§ 15. Аксіёмы стэрэаметрыі і іх найпрасцейшыя вынікі
237
Няхай пункты X і Y належаць першай паўпрасторы. Правядзём праз пункты A, X і Y плоскасць а'. Калі плоскасць а' не перасякае плоскасць а, то адрэзак ХУ так-сама не перасякае гэту плоскасць. Дапусцім, што плоскасць а' пера-сякае плоскасць а (рыс. 319). Па-колькі плоскасці розныя, то іх пера-сячэнне адбываецца па некаторай прамой а. Прамая а разбівае плос-касць а' на дзве паўплоскасці. Пункты X і У належаць адной паўплоскасці, менавіта той, у якой ляжыць пункт А. Таму адрэзак XY не перасякае прамую a, а значыць, і плоскасць а.
Калі пункты X і У належаць другой паўпрасторы, то плос-касць а' заведама перасякае плоскасць а, паколькі адрэзак АХ перасякае плоскасць а. Пункты X і У належаць адной паў-плоскасці разбіўкі плоскасці а' прамой а. Значыць, адрэзак ХУ не перасякае прамую a, а значыць, і плоскасць а.
Калі, нарэшце, пункт X належыць адной паўпрасторы, а пункт У другой, то плоскасць а' перасякае плоскасць а, а пункты X і У ляжаць у розных паўплоскасцях плоскасці а' адносна прамой а. Таму адрэзак ХУ перасякае прамую а, а значыць, і плоскасць а. Тэарэма даказана.
Q КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
f. Што такое стэрэаметрыя?
2. Сфармулюйце аксіёмы групы С.
3. Дакажыце, што праз прамую і пункт, які не ляжыць на ёй, можна правесці плоскасць, і прытым толькі адну.
4. Дакажыце, што калі два пункты прамой належаць плос-касці, то ўся прамая належыць плоскасці.
5. Дакажыце, што праз тры пункты, якія не ляжаць на адной прамой, можна правесці плоскасць, і прытым толь-кі адну.
^ ЗАДАЧЫ
1. Пункты A, В, С і D не ляжаць у адной плоскасці. Дака-жыце, што прамыя AB і CD не перасякаюцца.
2. Ці можна праз пункт перасячэння дзвюх дадзеных пра-мых правесці трэцюю прамую, якая не ляжыць з імі ў адной плоскасці? Растлумачце адказ.
3. Пункты A, В, С ляжаць у кожнай з дзвюх розных плос-касцей. Дакажыце, што гэтыя пункты ляжаць на адной прамой.
238
10 клае
4. Дадзены тры розныя плоскасці, якія парамі перасякаюцца. Дакажыце, што калі дзве з прамых перасячэння гэтых плоскасцей перасякаюцца, то трэцяя прамая праходзіць праз пункт іх перасячэння (рыс. 320).
5. Дадзены дзве плоскасці, якія перасякаюцца па прамой а, і прамая Ь, што ляжыць у адной з гэтых плоскасцей і пе-расякае другую. Дакажыце, што прамыя a і b перасяка-юцца.
6. Чатыры пункты не ляжаць у адной плоскасці. Ці могуць якія-небудзь тры з іх ляжаць на адной прамой? Растлу-мачце адказ.
7. Дакажыце, што праз прамую можна правесці дзве розныя плоскасці.
8*. Дадзены дзве плоскасці, якія не перасякаюцца. Дака-жыце, што прамая, якая перасякае адну з гэтых плоска-сцей, перасякае і другую (рыс. 321).
9. Дадзены дзве розныя прамыя, якія перасякаюцца ў пунк-це А. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія перасякаюць абе-дзве дадзеныя прамыя і не праходзяць праз пункт А, ляжаць у адной плоскасці.
10. Дакажыце, што ўсе прамыя, якія перасякаюць дадзеную прамую і праходзяць праз дадзены пункт па-за прамой, ляжаць у адной плоскасці.
11. Дакажыце, што калі прамыя AB і CD не ляжаць у адной плоскасці, то прамыя AC і BD таксама не ляжаць у адной плоскасці.
12. Дадзены чатыры пункты, якія не ляжаць у адной плоскасці. Колькі можна правесці розных плоскасцей, якія прахо-дзяць праз тры з гэтых пунктаў? Растлумачце адказ.
13. Ці можна правесці плоскасць праз тры пункты, калі яны ляжаць на адной прамой? Растлумачце адказ.
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей
239
14*. Дадзены чатыры пункты. Вядома, што прамая, якая пра-ходзіць праз любыя два з гэтых пунктаў, не перасякаецца з прамой, якая праходзіць праз другія два пункты. Дака-жыце, што дадзеныя чатыры пункты не ляжаць у адной плоскасці.
§ 16. ПАРАЛЕЛЬНАСЦЬ ПРАМЫХ
I ПЛОСКАСЦЕЙ
136. ПАРАЛЕЛЬНЫЯ ПРАМЫЯ Ў ПРАСТОРЫ
Дзве прамыя ў прасторы называюцца паралельнымі, калі яны ляжаць у адной плоскасці і не перасякаюцца. Прамыя, якія не перасякаюцца і не ляжаць у адной плоскасці, назы-ваюцца прамымі, якія скрыжоўваюцца (рыс. 322).
, ■ . Задача (3). Дакажыце, што ўсе прамыя, якія пера-С G сякаюць дзве дадзеныя паралельныя прамыя, ляжаць у адной плоскасці.
Рашэнне. Паколькі дадзеныя прамыя alb пара-лельныя, то праз іх можна правесці плоскасць (рыс. 323). Абазначым яе а. Прамая с, якая перасякае дадзеныя паралельныя прамыя, мае з плоскасцю а два агульныя пункты — пункты перасячэння з дадзенымі прамымі. Па тэарэме 15.2 гэта прамая ляжыць у плоскасці а. Такім чынам, усе прамыя, якія перасякаюць дзве дадзеныя паралельныя прамыя, ляжаць у адной плоскасці — плоскасці a.
Тэарэма 16.1. Праз пункт па-за дадзенай прамой можна правесці прамую, паралельную гэтай прамой, і прытым толь-кі адну.
Заўвага. Сцверджанне адзінасці ў тэарэме 16.1 не з’яў-ляецца простым вынікам аксіёмы паралельных, паколькі гэтай аксіёмай сцвярджаецца адзінасць прамой, паралельнай дадзенай у дадзенай плоскасці. Таму яна патрабуе доказу.
Доказ. Няхай a — дадзеная прамая і A —пункт, які
240
10 клас
Рыс. 324
не ляжыць на гэтай прамой (рыс. 324). Правядзём праз прамую а і пункт А плоскасць а. Правя-дзём праз пункт А ў плоскасці a прамую а\, паралельную а. Дака-жам, што прамая аі, паралельная а, адзіная.
Дапусцім, што існуе другая пра-мая as, якая праходзіць праз пункт А і паралельная прамой а. Праз прамыя а і аг можна правесці
плоскасць а2. Плоскасць «2 праходзіць праз прамую а і пункт А; значыць, па тэарэме 15.1 яна супадае з а. Цяпер па аксіёме паралельных прамыя сп і аг супадаюць. Тэарэма даказана.
137. ПРЫЗНАК ПАРАЛЕЛЬНАСЦІ ПРАМЫХ
Т э а р э м а 16.2. Дзве прамыя, паралельныя трэцяй прамой, паралельныя.
Доказ. Няхай прамыя b і с паралельныя прамой а. Дака-жам, што прамыя b і с паралельныя.
Выпадак, калі прамыя а, Ь, с ляжаць у адной плоскасці, быў разгледжаны ў планіметрыі. Таму дапусцім, што нашы прамыя не ляжаць у адной плоскасці. Няхай 0 — плоскасць, у якой ляжаць прамыя a і 5, а у — плоскасць, у якой ляжаць прамыя а і с. Плоскасці 0 і у розныя (рыс. 325). Адзначым на прамой b які-небудзь пункт В і правядзём плоскасць уі праз прамую с і пункт В. Яна перасячэ плоскасць 0 па пра-МОЙ &|.
Прамая Ь\ не перасякае плоскасць у. Сапраўды, пункт перасячэння павінен належаць прамой а, паколькі прамая Ь\ ляжыць у плоскасці 0. 3 другога боку, яна павінна ляжаць і на прамой с, паколькі прамая Ь\ ляжыць у плоскасці уі. Але прамыя a і с як паралельныя не перасякаюцца.
Паколькі прамая Ь\ ляжыць у плоскасці 0 і не перасякае прамую а, то яна паралельная а, а значыць, супадае з b па аксіёме паралельных. Такім чынам, прамая Ь, супадаючы з прамой Ь\, ляжыць у адной плоскасці з прамой с (у плос-касці уі) і не перасякае яе. Значыць, прамыя b іс паралельныя. Тэарэма даказана.
Задача (11). Дакажыце, што сярэдзіны старон пра-сторавага чатырохвугольніка з’яўляюцца вяршынямі паралелаграма (вяршыні прасторавага чатырохвугольні-ка не ляжаць у адной плоскасці).
Рашэнне. Няхай ABCD — дадзены прасторавы чатырохвугольнік (рыс. 326). Няхай Ai, Bi, Ci, Dt —
§ 16. Паралельнасць прамых і плоскасцей
241
сярэдзіны яго старон. Тады А\В\ — сярэдняя лінія трох-вугольніка ABC, паралельная старане AC, C\D\ - сярэд-няя лінія трохвугольніка ACD, таксама паралельная старане AC. Па тэарэме 16.2 прамыя АіВ\ і C\D\ пара-лельныя, а значыць, ляжаць у адной плоскасці. Зусім гэтак жа даказваецца паралельнасць прамых A\D\ \ В\С\. Такім чынам, чатырохвугольнік A\B\C\D\ ляжыць у адной плоскасці і яго процілеглыя стораны паралельныя. Зна чыць, ён — паралелаграм.
138. ПРЫЗНАК ПАРАЛЕЛЬНАСЦІ ПРАМОЙ I ГІЛОСКАСЦІ
Прамая і плоскасць называюцца паралельнымі, калі яны
КНІГІ ОНЛАЙН
