Геаметрыя

7-11 клас

Выдавец: Народная асвета

Памер: 383с.

Мінск 1995

209.59 МБ

§13. Многавугольнікі
205
116. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДЫУСАЎ УПІСАНЫХ I АПІСАНЫХ АКРУЖНАСЦЕЙ ПРАВІЛЬНЫХ МНОГАВУГОЛЬНІКАЎ
Знойдзем радыус R апісанай акружнасці і радыус г упіса-най акружнасці для правільнага многавугольніка са стараной а і лікам старон п (рыс. 281).
Для правільнага (роўнастаронняга) трохвугольніка п = 3,
р = = 60
R = °
2 sin 60
Г 2 tg 60°
a
2^3
Для правільнага чатырохвугольніка (квадрата) п = 4, р = = ^ = 45», 4 „___ a ______ a _____ a _____ a
K ~ 2 sin 45° — 2 ^ 450 2 '
180°
Для правільнага шасцівугольніка n = 6, p = ——- = 30°,
R
—---------= a, 2 sin 30Q
a _____a \ 3
2 tg 30° 2~'
ФЗадача (16). Знайдзіце выразы для стараны ап пра-вільнага n-вугольніка праз радыус R апісанай каля яго акружнасці і радыус г упісанай акружнасці. Вылічыце ап пры п = 3, 4, 6.
Р а ш э н н е. Паколькі R = —°" , то адсюль вы-
2 sin -- п
нікае: • 180° ап = 2R sin----------------------------. п
У прыватнасці,
а3 = R^/з, а4 = R^[2, а6 = R.
206
9 клас
Паколькі г = —^^, то адсюль вынікае 2tg~
180° ап = 2r tg------- п
У прыватнасці,
117. ПАБУДАВАННЕ НЕКАТОРЫХ ПРАВІЛЬНЫХ
МНОГАВУГОЛЬНІКАЎ
Для пабудавання правільнага многавугольніка, упісанага ў акружнасць, дастаткова пабудаваць яго цэнтральны вугал.
360°
У правільнага шасцівугольніка такі вугал роўны —— = 60°.
Таму для пабудавання правільнага шасцівугольніка адну вяр-шыню (Аі) на акружнасці бяром адвольна. 3 яе як з цэнтра ра-дыусам, роўным радыусу акружнасці, робім засечку і атрымлі-ваем вяршыню Д2 (рыс. 282). Затым аналагічна будуем астат-нія вяршыні А3, A,, А5, А6 і злучаем іх адрэзкамі.
Для пабудавання правільнага ўпісанага трохвугольніка дастаткова злучыць праз адну вяршыні правільнага ўпісанага шасцівугольніка (рыс. 283).
Для пабудавання правільнага ўпісанага чатырохвугольніка (квадрата) дастаткова правесці праз цэнтр акружнасці перпен-дыкулярныя прамыя. Яны перасякуць акружнасць у вяршынях квадрата (рыс. 284).
§13. Многавугольнікі
207
Для пабудавання правільнага апісанага многавугольніка дастат-кова правесці датычныя да акруж-насці ў вяршынях правільнага ўпі-санага многавугольніка. Датыч-ныя, якія праходзяць праз вяршы-ні правільнага ўпісанага многаву-гольніка, перасякаюцца ў вяршы-нях правільнага апісанага многа-вугольніка (рыс. 285).
Калі ў акружнасць упісаны правільны n-вугольнік, то лёгка пабудаваць правільны ўпісаны 2п-вугольнік. На рысунку 286 паказана пабудаванне правільнага васьмівугольніка.
118. ПАДОБНАСЦЬ ПРАВІЛЬНЫХ ВЫПУКЛЫХ МНОГАВУГОЛЬНІКАЎ
Тэарэма 13.4. Правільныя выпуклыя n-вугольнікі падоб-ныя. У прыватнасці, калі ў іх стораны аднолькавыя, то яны роўныя.
Д о к а з. Дакажам спачатку другое сцверджанне тэарэмы. Такім чынам, няхай Р\-. АіА2...А„, Р2: В]В2...ВП — правільныя выпуклыя n-вугольнікі з аднолькавымі старанамі (рыс. 287). Дакажам, што яны роўныя, г. зн. сумяшчаюцца рухам.
Трохвугольнікі А|А2Аз і В}В2Вл роўныя па першаму прызна-ку. У іх А\А2 = В\В2, А2А2=В2Ві і АА\А2А2— АВ\В2В,\.
208
9 клас
Рыс. 287
Падвергнем многавугольнік Pt руху, пры якім яго вяршыні Ai, A2, А3 пераходзяць у вяршыні В\, В2, Вз адпаведна. Як мы ведаем, такі рух існуе. Пры гэтым вяршыня А4 пяройдзе ў не-каторы пункт С. Пункты В4 і С ляжаць па адзін бок з пунктам В\ адносна прамой В2ВЯ. Паколькі рух захоўвае вуглы і адлег-ласці, то АВ>ВіС = АВіВзВ^ і В3С = B-B^. А значыць, пункт С супадае з пунктам В^. Такім чынам, пры нашым руху вяршыня A 4 пераходзіць у вяршыню В^. Далей такім жа спосабам робім вывад, што вяршыня А5 пераходзіць у вяршыню В5 і г. д. Гэта значыць многавугольнік Р\ пераводзіцца рухам у многавуголь-нік Р2, а значыць, яны роўныя.
Каб даказаць першае сцверджанне тэарэмы, падвергнем спачатку многавугольнік Р} пераўтварэнню падобнасці, на-прыклад гаматэтыі, з каэфіцыентам падобнасці k = ^^ .
Пры гэтым атрымаем правільны n-вугольнік Р' з такімі ж ста-ранамі, як і ў Р2.
Па даказанаму многавугольнік Р' пераводзіцца рухам у мно-гавугольнік Р2. А значыць, многавугольнік Р\ пераводзіц-ца ў многавугольнік Р2 пераўтварэннем падобнасці і ру-хам. Гэта і ёсць зноў пераўтварэнне падобнаеці. Тэарэма да-казана.
У падобных фігур каэфіцыент падобнасці роўны адносіне адпаведных лінейных размераў. У правільных л-вугольнікаў такімі лінейнымі размерамі з’яўляюцца даўжыні старон, радыусы ўпісаных і апісаных акружнасцей. Адсюль вынікае, што ў правільных n-вугольнікаў адносіны старон, радыусаў упісаных і радыусаў апісаных акружнасцей роўныя. А паколь-кі перыметры n-вугольнікаў таксама адносяцца як стораны, то ў правільных п-вугольнікаў адносіны перыметраў, радыусаў упісаных і радыусаў апісаных акружнасцей роўныя.
§13. Многавугольнікі
119. ДАЎЖЫНЯ АКРУЖНАСЦІ
Нагляднае ўяўленне аб даўжыні акружнасці атрымліваецца наступ-ным чынам. Уявім сабе нітку ў фор-ме акружнасці. Разрэжам яе і рас-цягнем за канцы. Даўжыня атры-манага адрэзка і ёсць даўжыня акружнасці. Як знайсці даўжыню акружнасці, ведаючы яе радыус? Зразумела, што пры неабмежава-ным павелічэнні ліку старон упіса-нага ў акружнасць правільнага многавугольніка яго перыметр не-абмежавана набліжаецца да даў-
жыні акружнасці (рыс. 288). Зыходзячы з гэтага, дакажам некаторыя ўласцівасці даўжыні акружнасці.
Тэарэма 13.5. Адносіна даўжыні акружнасці да яе дыя-метра не залежыць ад акружнасці, г. зн. адна і тая ж для любых дзвюх акружнасцей.
Доказ. Возьмем дзве адвольныя акружнасці. Няхай Ry і Ri — іх радыусы, a Z] і Z2 — іх даўжыні. Дапусцім, што сцвер-
джанне тэарэмы няправільнае і—напрыклад:
ZR \ . 27? 2
Упішам у нашы акружнасці правільныя выпуклыя многа-вугольнікі з вялікім лікам старон п. Калі п вельмі вялікі, то даўжыні нашых акружнасцей будуць вельмі мала адрозні-вацца ад перыметраў ру і р2 упісаных многавугольнікаў. Таму няроўнасць (*) не парушыцца, калі ў ёй замяніць Z, на р,, a Z2 на р2:
Р\ Р2
2R, 27?,’
(**)
Але, як мы ведаем, перыметры правільных выпуклых п-ву-гольнікаў адносяцца як радыусы апісаных акружнасцей:
Р> _ Яі Pt Ki ‘
Адсюль ^- = ^. А гэта супярэчыць няроўнасці (**). Тэарэма даказана.
Адносіну даўжыні акружнасці да дыяметра прынята аба-значаць грэчаскай літарай л (чытаецца «пі»):
210
9 клас
Архімед — стара-жытнагрэчаскі вучо-ны (Ш ст. да н. э.)
Лік л ірацыянальны. Прыбліжанае зна-чэнне
л «3,1416.
Прыбліжанае значэнне ліку л было вя-дома ўжо старажытным грэкам. Вельмі простае прыбліжанае значэнне л знайшоў
Архімед: —. Яно адрозніваецца ад даклад-нага значэння л менш чым на 0,002.
Паколькі —^-=л, то даўжыня акруж-насці вылічваецца па формуле
I = 2лЯ.
120. РАДЫЯННАЯ МЕРА ВУГЛА
Знойдзем даўжыню дугі акружнасці, якая адпавядае цэнт-ральнаму вуглу ў п° (рыс. 289). Разгорнутаму вуглу адпа-вядае даўжыня паўакружнасці лЯ. Значыць, вуглу ў 1° адпавя-дае дуга ^-, а вуглу ў п° адпавядае дуга даўжынёй loU
, л7?
I • П
180
Радыяннай мерай вугла называецца адносіна даўжыні адпаведнай дугі да радыуса акружнасці. 3 формулы для даў-жыні дугі акружнасці вынікае, што
Рыс. 289
Рыс. 290
§13. Многавугольнікі
211
г. зн. радыянная мера вугла атрымліваецца з градуснай множаннем на У прыватнасці, радыянная мера вугла ў
180° роўна л, радыянная мера прамога вугла роўна у.
Адзінкай радыяннай меры вуглоў з’яўляецца радыян. Вугал у адзін радыян — гэта вугал, у якога даўжыня дугі роўна ра-дыусу (рыс. 290). Градусная мера вугла ў адзін радыян роўна ^«57°. л
3 а д а ч a (50). Знайдзіце радыянную меру вуглоў трох-вугольніка,калі ЛА = 60°, АВ = 45°.
Рашэнне. Радыянная мера вугла А роўна
60° • — = —. 180° 3
Радыянная мера вугла В роўна 45° • = 4-. Па тэарэ-
ІоО 4
ме аб суме вуглоў трохвугольніка АС = л — у —= ^1
Г КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Што такое ломаная, даўжыня ломанай?
2. Дакажыце, што даўжыня ломанай не меншая за даў-жыню адрэзка, які злучае яе канцы.
3. Што такое многавугольнік, выпуклы многавугольнік?
4. Што такое плоскі многавугольнік?
5. Што такое вугал выпуклага многавугольніка пры да-дзенай вяршыні?
6. Выведзіце формулу для сумы вуглоў выпуклага мно-гавугольніка.
7. Што такое знешні вугал выпуклага многавугольніка?
8. Дакажыце, што правільны многавугольнік з’яўляецца ўпісаным у акружнасць і апісаным каля акружнасці.
9. Што называецца цэнтрам многавугольніка? цэнтраль-ным вуглом многавугольніка?
10. Выведзіце формулы для радыусаў упісанай і апісанай акружнасцей правільнага л-вугольніка.
11. Знайдзіце радыусы ўпісанай і апісанай акружнасцей для правільнага трохвугольніка, чатырохвугольніка (квад-рата), шасцівугольніка.
12. Як пабудаваць правільны выпуклы шасцівугольнік, трох-вугольнік, чатырохвугольнік, васьмівугольнік?
13. Дакажыце, што правільныя выпуклыя n-вугольнікі па-добныя. У прыватнасці, калі ў іх стораны аднолькавыя, то яны роўныя.
212 9 клас
14. Дакажыце, што адносіна даўжыні акружнасці да яе дыя-метра не залежыць ад акружнасці, г. зн. адна і тая ж для ўсіх акружнасцей.
15. Па якой формуле вылічваецца даўжыня акружнасці?
16. Па якой формуле вылічваецца даўжыня дугі акружнасці?
17. Што такое радыянная мера вугла?
18. Чаму роўны радыянныя меры вуглоў 180° і 90°?
^ ЗАДАЧЫ
1. Дадзены дзве акружнасці з радыусамі Яі і Я2 і адлег-ласцю паміж цэнтрамі d>fii+fi2. Чаму роўны най-большая і найменшая адлегласці паміж пунктамі X і У гэ-тых акружнасцей?
2. Рашыце задачу 1 пры ўмове, што d
<12...242526272829303132...5455>

2007-2025
Калі шукаеце нейкую пэўную кнігу
або хочаце каб быў апублікаваны ваш скан,
пішыце ў кантакты