Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
41. Гіпатэнуза прамавугольнага трохвугольніка роўна 25 cm, a адзін з катэтаў роўны 10 см. Знайдзіце праекцыю другога катэта на гіпатэнузу.
42. Дакажыце, што адпаведныя вышыні падобных трохвуголь-нікаў адносяцца як адпаведныя стораны.
43. Катэты прамавугольнага трохвугольніка адносяцца як т:п. Як адносяцца праекцыі катэтаў на гіпатэнузу?
44. Даўжыня ценю фабрычнай трубы роўна 35,8 м; у той жа час вертыкальна ўткнуты ў зямлю кол вышынёй 1,9 м дае цень даўжынёй 1,62 м (рыс. 257). Знайдзіце вышыню трубы.
45. У трохвугольнік ABC упісаны ромб ADEF так, што вугал A ў іх агульны, а вяршыня Е знаходзіцца на старане ВС (рыс. 258). Знайдзіце старану ромба, калі AB = с і AC = b.
Рыс. 257
Рыс. 258
190
9 клас
46*. Бісектрыса знешняга вугла трохвугольніка ABC пры вяр-шыні С перасякае прамую АВ у пункце D (рыс. 259). Да-кажыце, што AD:BD — AC:BC.
47*. Дакажыце, што геаметрычнае месца пунктаў, адносіна адлегласцей якіх да двух дадзеных пунктаў пастаянная (не роўна адзінцы), ёсць акружнасць.
48. Старана трохвугольніка роўна 10 см, а процілеглы вугал — 150°. Знайдзіце радыус апісанай акружнасці.
49. Пункты A, В, С ляжаць на акружнасці. Чаму роўна хорда AC, калі вугал ABC роўны 30°, а дыяметр акружнасці 10 см?
50. Пункты A, В, С ляжаць на акружнасці. Чаму роўны вугал ABC, калі хорда AC роўна радыусу акружнасці? (Два вы-падкі.)
51. Дакажыце, што цэнтрам акружнасці, апісанай каля прама-вугольнага трохвугольніка, з’яўляецца сярэдзіна гіпатэ-нузы.
52. Дакажыце, што медыяна прамавугольнага трохвуголь-ніка, праведзеная да гіпатэнузы, разбівае яго на два раўна-бедраныя трохвугольнікі.
53. Пабудуйце прамавугольны трохвугольнік па гіпатэнузе і вышыні, апушчанай з вяршыні прамога вугла на гіпатэ-нузу.
54. На акружнасці адзначаны чатыры пункты: A, В, С, D. Чаму роўны вугал ADC, калі вугал ABC роўны сс? (Два вы-падкі.)
55. Хорды акружнасці AD і ВС перасякаюцца. Вугал ABC роўны 50°, вугал ACD роўны 80°. Знайдзіце вугал CAD.
56*. Дакажыце, што ў чатырохвугольніка, упісанага ў акруж-насць, сума процілеглых вуглоў роўна 180°.
57. Дакажыце, што геаметрычнае месца вяршынь прамых вуглоў, стораны якіх праходзяць праз два дадзеныя пунк-ты, ёсць акружнасць.
58. Дакажыце, што геаметрычнае месца вяршынь вуглоў з за-дадзенай градуснай мерай, стораны якіх праходзяць праз
Рыс. 259
Рыс. 260
§ 12. Рашэнне трохвугольнікаў 191
два дадзеныя пункты, а вяршыні ляжаць па адзін бок ад прамой, якая злучае гэтыя пункты, ёсць дуга акружнасці з канцамі ў гэтых пунктах (рыс. 260).
59. Дакажыце, што востры вугал паміж хордай акружнасці і датычнай да акружнасці ў канцы хорды роўны палавіне вугла паміж радыусамі, праведзенымі да канцоў хорды (рыс. 261).
60. Пабудуйце трохвугольнік па старане, процілегламу ёй вуглу і вышыні, праведзенай з вяршыні гэтага вугла.
61. 3 пункта С акружнасці праведзены перпендыкуляр CD да дыяметра АВ. Дакажыце, што CD~ = AD ■ BD.
62. Дакажыце, што здабытак адрэзкаў сякучай акружнасці роўны квадрату адрэзка датычнай, праведзенай з таго ж пункта: AC-BC = CD2 (рыс. 262).
63. Як далёка відаць з самалёта, які ляціць на вышыні 4 км над Зямлёй, калі радыус Зямлі 6370 км?
64. Вылічыце радыус гарызонту, бачнага з вяршыні тэлевежы ў Астанкіне, вышыня якой 537 м.
§ 12. РАШЭННЕ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
109. ТЭАРЭМА КОСІНУСАЎ
Тэарэма 12.1 (тэарэма косінусаў). Квадрат любой стара-ны трохвугольніка роўны суме квпдратаў дзвюх другіх старон без падвоенага здабытку гэтых старон на косінус вугла паміж імі.
192
,9 клас
Доказ. Няхай ABC—дадзены трохвугольнік (рыс. 263).
Дакажам, што ВС2 = АВ~ + AC2 — 2АВ • AC ■ cos A.
Маем вектарную роўнасць ВС == AC— АВ. Узводзячы гэту роўнасць скалярна ў квадрат, атрымаем:
ВС2 = АВ~ + AC2 - 2АВ ■ AC або
ВС2 = AB- + AC2 — 2АВ ■ AC • cos A.
Тэарэма даказана.
Заўважым, што AC • cos А роўна па абсалютнай велічыні праекцыі AD стараны AC на старану АВ (рыс. 263, а) ці яе пра-даўжэнне (рыс. 263, б). Знак AC • cos А залежыць ад вугла A: « } », калі вугал А востры, « — », калі вугал А тупы. Адсюль атрымліваецца вынік: квадрат стараны трохвугольніка роўны суме квадратаў дзвюх другіх старон «±» падвоены здабытак адіюй з іх на праекцыю другой. Знак « + *> трэба браць, калі проціпеглы вугал тупы, а знак «—», калі вугал востры. Задача (7). Дадзены стораны трохвугольніка а, Ь, с. Л6 \ Знайдзіце вышыню трохвугольніка, апушчаную на ста-рану с.
Р а ш э н н е. Маем: аг = і>2 4 с2 ± 2с • AD (рыс. 264). Ад-сюль AD = ± "---——. Па тэарэме Піфагора
CD = \АС2 — AD2 =-^ Ь2 -(“--У^ 2.
§ 12. Рашэнне трохвугольнікаў
193
110. ТЭАРЭМА СІНУСАЎ
Тэарэма 12.2 (тэарэма сінусаў). Стораны трохвугольніка прапарцыянальныя сінусам процілеглых вуглоў.
Д о к а з. Няхай ABC — трохвугольнік са старанамі а, Ь, с і процілеглымі вугламі a, Р, у (рыс. 265). Дакажам, што
a ___ Ь ___ с sin a sin fi sin у'
Апусцім з вяршыні C вышыню CD. 3 прамавугольнага трохвугольніка ACD, калі вугал a востры, атрымліваем:
CD = b sin a
(рыс. 265, a). Калі вугал a тупы, to
CD= b sin (180° — a) = b sin a
(рыс. 265,6). Аналагічна з трохвугольніка BCD атрымліваем: CD = a sin p.
7 Геаметрыя, 7-^11 кл.
Рыс. 265
194
9 клас
Такім чынам, a sin $ = Ь sin а. Адсюль ь ___________________ с sin р sin a ’
Аналагічна даказваецца роўнасць
Ь с sin Р sin у '
Для доказу трэба правесці вышыню трохвугольніка з вяр-шыні А. Тэарэма даказана.
Рыс. 266
Задача (13). Дакажыце, што ў тэарэме сінусаў кож-ная з трох адносін: —-—, —-—. —---------роўна 2R, sin a sin р sin у
дзе R — радыус акружнасці, апісанай каля трохвуголь-ніка.
Рашэнне. Правядзём дыяметр BD (рыс. 266). Па ўлаСцівасці вуглоў, упісаных у акружнасць, вугал пры вяршыні D прамавугольнага трохвугольніка BCD роўны ці а, калі пункты AID ляжаць па адзін бок ад прамой ВС (рыс. 266, а), ці 180° — а, калі яны ляжаць па розныя бакі ад прамой ВС (рыс. 266, б). У першым выпадку ВС = BD sin a, у другім ВС = BD sin (180° — a). Паколькі sin (180° — a) = sin a, to ў любым выпадку a = 2R sin a. Значыць,
-Д—= 2Я,
sin a
што i трэба было даказаць.
§ 12. Рашэнне трохвугольнікаў
195
111. СУАДНОСІНА ПАМІЖ ВУГЛАМІ ТРОХВУГОЛЬНІКА I ПРОЦІЛЕГЛЫМІ СТАРАНАМІ
У трохвугольніку супраць большага вугла ляжыць большая старана, супраць большай стараны ляжыць большы вугал.
Няхай a і b — дзве стараны трохвугольніка і a, Р — про-цілеглыя ім вуглы. Дакажам, што калі a > р, to a > b. I наад-варот: калі a > b, to a > р.
Калі вуглы a і р вострыя (рыс. 267, а), то пры a > р будзе sin a > sin р. А паколькі
sin a _ sin p
Рыс. 267
to a > b. Калі вугал a тупы (абодва вуглы не могуць быць ту-пымі), то вугал 180° — a востры (рыс. 267, б). Прычым вугал 180° — a большы за вугал Р як знешні вугал трохвугольніка, не сумежны з вуглом р. Таму sin a = sin (180° — a) > sin p. I мы зноў заключаем, што а> b.
Дакажам адваротнае сцверджанне. Няхай а> Ь. Трэба дака-заць, што a > р. Дапусцім, што a ^ р. Калі a = р, то трох-вугольнік раўнабедраны і a = Ь. Калі a < р, то па даказанаму a <2 Ь. У абодвух выпадках атрымліваецца супярэчнасць, таму што па дапушчэнню а> Ь, што і трэба было даказаць.
Задача (17). Дакажыце, што калі ў трохвугольніку ёсць тупы вугал, то процілеглая яму старана найбольшая.
Рашэнне. У трохвугольніку можа быць толькі адзін тупы вугал. Таму ён большы за любы з астатніх вуглоў. А значыць, процілеглая яму старана большая за любую з дзвюх другіх старон трохвугольніка.
196
9 клас
112. РАШЭННЕ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
Рашэнне трохвугольнікаў заключаецца ў знаходжанні невя-домых старон і вуглоў трохвугольніка па вядомых яго вуглах і
старанах. Будзем абазначаць стораны трохвугольніка праз а, Ь, с, а процілеглыя ім вуглы праз a, р, у (рыс. 268).
Задача (26). 1) У трохвугольніку дадзены старана < 0 a = 5 і два вуглы 0 = 30°, у = 45°. Знайдзіце трэці вугал і астатнія дзве стараны.
Р а ш э н н е. Паколькі сума вуглоў трохвугольніка роў-на 180°, то трэці вугал а выражаецца праз зададзеныя вуглы:
a = 180° - р — y = 180° — 30° — 45° = 105°.
Ведаючы старану і ўсе тры вуглы, па тэарэме сінусаў знаходзім дзве астатнія стараны:
, sin 6
b = a •-------
sin a
5 . sin 30° __ 5 °>500 ~
sin 105° ~ ° 0,966 ~
sin y sin a
5-
0,707 0^66
3,66.
Задача (27). 1) У трохвугольніку дадзены дзве ста-f о > раны a = 12, Ь = 8 і вугал паміж імі у = 60°. Знайдзіце астатнія два вуглы і трэцюю старану.
Рашэнне. Трэцюю старану знаходзім па тэарэме косінусаў:
с =^а? + b2 -2ab-eosy = -\/144 + 64 - 2 • 12 • 8 • 0,500 = = ^112 a 10,6.
Цяпер, маючы тры стараны, па тэарэме косінусаў зна-ходзім косінусы двух невядомых вуглоў і самі вуглы:
cos a = « 0,191, адкуль a a 79°, р = 180° —
2 be
— a — у « 41°.
3 а д а ч a (28). 5) У трохвугольніку дадзены дзве стара-Q 0 ны a = 6, b = 8 i процілеглы старане a вугал a = 30°. Знайдзіце астатнія два вуглы і трэцюю старану.
Р а ш э н н е. Па тэарэме сінусаў знаходзім значэнне sin 0:
sin 8 = — • sin a = sin 30° w 0,667. r a 6
Гэтаму значэнню сінуса адпавядаюць два вуглы: Pi a 42° і р2«138°.
§ 12. Рашэнне трохвугольнікаў
197
Рыс. 268
Разгледзім спачатку вугал Рі « 42°. Па ім знаходзім трэці вугал уі = 180° — a — р « 108° і па тэарэме сінусаў трэцюю старану
a ■ sin Yi _ „ sin 108° ~ g _ 0,951 J J 4 sin a ~ sin 30° 0,500_’
Аналагічна па вуглу p2 ~ 138° знаходзім y2 ~ 12° i c2 « 2,49.
3 а ў в а г а. Мы бачым, што гэта задача ў адрозненне ад папярэдніх мае два рашэнні (рыс. 269). Пры ініпых лікавых даных, напрыклад пры а ^ 90°, задача можа мець толькі адно рашэнне ці наогул не мець рашэнняў.
3 а д а ч a (29). 1) Дадзены тры стараны трохвугольніка: a = 2, Ь = 3, с = 4. Знайдзіце яго вуглы.
Р а ш э н н е. Вуглы знаходзяцца па тэарэме косінусаў:
Ь2 + С2— а2 7 п
cos a = —Ц—----= — = 0,875, адкуль a « 29 .
ADC О
Аналагічна знаходзіцца cos р = 0,688. Адкуль 0 « 47° і у = 180° — 47° — 29° = 104°.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Дакажыце тэарэму косінусаў.
2. Дакажыце, што квадрат стараны трохвугольніка роўны су-ме квадратаў дзвЮх другіх старон « ± » падвоены здабытак адной з гэтых старон на праекцыю другой. Ад чаго зале-жыць знак « + » ці « —»?
3. Дакажыце тэарэму сінусаў.
4. Дакажыце, што ў любым трохвугольніку супраць большай стараны ляжыць большы вугал і супраць болыпага вугла ляжыць большая старана.
КНІГІ ОНЛАЙН
