Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Р а ш э н н е. Маем:
S = -^аЬ sin ў, дзе у — вугал трохвугольніка, процілеглы старане с. Па тэарэме косінусаў
с2 = о2 + Ь2 — 2ab cos 7.
Адсюль
Значыць,
sin2 у = 1 — cos2 Y = (1 — cos y) (1 + cos y) =
_ 2ab — a2 — b2 + c2 2ab + a2 + b2 — c2 c2 — (a — b)2 (a + b)2 — c2
2ab 2ab 2ab 2ab
= — a + b) (c + a —b)(a+ b— c')(a + b + c).
Заўважаючы, што a -\~ b -\- c = 2p, a-\- b — c = 2p — 2c, a + c — b = 2p — 2b, c — a -\- b = 2p — 2a, атрымліваем: sin y = ^Jp(P — a)(p~ b) (p — c).
Такім чынам,
S = ^ab sin y =A;P(P — a)(p — b) {p — c\
1 Герон Александрыйскі — старажытнагрэчаскі вучоны, які жыў у I ст.
н. э.
§ 14. Плошчы фігур
221
126. ПЛОШЧА ТРАПЕЦЫІ
Няхай ABCD — дадзеная трапецыя (рыс. 300). Дыяга-наль трапецыі AC разбівае яе на два трохвугольнікі: ABC і CDA. Значыць, плошча трапецыі роўна суме плошчаў гэтых трохвугольнікаў. Плошча трохвугольніка ABC роўна у-АВ ■ СЕ, плошча трохвугольніка ACD роўна ^CD-AF. Вышыні СЕ і AF гэтых трохвугольнікаў роўны адлегласці паміж пара-лельнымі прамымі AB і CD. Гэта адлегласць называецца вышынёй трапецыі.
Значыць, плошча трапецыі роўна здабытку паўсумы яе асноў на вышыню:
s = ±±±.h.
Рыс. 300
Задача (40). Дакажыце, што калі дыяганалі чаты-( рохвугольніка перасякаюцца, то плошча чатырохвуголь-ніка роўна палавіне здабытку дыяганалей на сінус вугла паміж імі.
Р а ш э н н е. Плошча S чатырохвугольніка роўна суме плошчаў трохвугольнікаў ABC і ADC (рыс. 301):
S = ^АС • BE 4- ^АС • DF =
= ^АС ■ ВО ■ sin a + у AC • DO • sin a =
= yAC sin a(BO + OD) = yAC • BD sin a.
што i трэба было даказаць.
222
9 клас
127. ФОРМУЛЫ ДЛЯ РАДЫУСАЎ УПІСАНАЯ I АПІСАНАЙ АКРУЖНАСЦЕЙ ТРОХВУГОЛЬНІКА
3 а д а ч a (42). Выведзіце наступныя формулы для радыусаў апісанай (R) і ўпісанай (г) акружнасцей трохвугольніка:
Р___аЬс ___ 2S
4S’ Г~а+Ь+с'
дзе а, Ь, с — стораны трохвугольніка, aS — яго плошча. Рашэнне. Пачнём з формулы для R. Як мы ведаем, R = 9 sL? дзе а — вугал, процілеглы старане а трохвугольніка. Памнажаючы лічнік і назоўнік правай часткі на Ьс і заў-
важаючы, што — be sin a = S, атрымаем:
D abc
Выведзем формулу для г (рыс. 302). Плошча трохвугольніка ABC роўна суме плошчаў трохвугольнікаў ОАВ, ОВС і ОСА:
S = ~2СГ ^ '2аг ~2br-
Адсюль — 25
Г а + b с'
128. ПЛОШЧЫ ПАДОБНЫХ ФІГУР
Няхай F' і F" — дзве падобныя простыя фігуры. Высветлім, як адносяцца плошчы гэтых фігур. Паколькі фігуры падобныя, то існуе пераўтварэнне падобнасці, пры якім фігура F' перахо-дзіць у фігуру F".
§ 14. Плошчы фігур
223
Разаб’ём фігуру F' на трохвугольнікі Al, Дг, Дз, ... (рыс. 303). Пераўтварэнне падобнасці, якое пераводзіць фігуру F' у F", пераводзіць гэтыя трохвугольнікі ў трохвугольнікі Д", A 2, Дз, — разбіўкі фігуры F". Плошча фігуры F' роўна суме плошчаў трохвугольнікаў Д ь Д 2, ..., а плошча фігуры F" роўна суме плошчаў трохвугольнікаў △", △ 2, — .
Калі каэфіцыент падобнасці роўны k, то размеры трохву-гольніка △" У ^ разоў большыя за адпаведныя размеры трох-вугольніка Д^. У прыватнасці, стораны і вышыні трохвуголь-ніка Д" У А разоў большыя за адпаведныя стораны і вышыні трохвугольніка Д^. Адсюль вынікае, што
S(A^) = *2S(AQ.
Складаючы гэтыя роўнасці пачленна, атрымаем:
S(F") = k2S(F'\
Каэфіцыент падобнасці k роўны адносіне адпаведных лі-нейных размераў фігур F" і F'. Таму плошчы падобных фігур адносяцца як квадраты іх адпаведных лінейных размераў.
129. ПЛОШЧА КРУГА
Калі фігура простая, г. зн. дапускае разбіўку на канечны лік трохвугольнікаў, то яе плошча роўна суме плошчаў гэтых трохвугольнікаў. Для адвольнай фігуры плошча вызначаецца наступным чынам.
Дадзеная фігура мае плошчу S, калі існуюць простыя фі-гуры, якія змяшчаюць яе, і простыя фігуры, што змяшчаюцца ў ёй, з плошчамі, неабмежавана мала адрознымі ад S. Пры-менім гэта азначэнне для знаходжання плошчы круга.
224
9 клас
Рыс. 304
Кругам называецца фігура, якая складаецца з усіх пунктаў плоскасці, адлегласць ад якіх да дадзенага пункта не большая за дадзеную. Гэты пункт называецца цэнтрам круга, а да-дзеная адлегласць — радыусам круга. Мяжой круга з’яўляецца акружнасць з тымі ж цэнтрам і радыусам (рыс. 304).
Плошча круга роўна палавіне здабытку даўжыні акружна-сці, якая яго абмяжоўвае, на радыус.
Дакажам гэта. Пабудуем два правільныя п-вугольнікі: Р\ — упісаны ў круг і Р^ — апісаны каля круга (рыс. 305). Многа-вугольнікі Р\ і Р? з’яўляюцца простымі фігурамі. Многаву-гольнік Р2 змяшчае круг, а многавугольнік Р\ змяшчаецца ў крузе.
Радыусы, праведзеныя ў вяршыні многавугольніка Р\, раз-біваюць яго на п трохвугольнікаў, роўных трохвугольніку AOD. Таму Q
^Р] = AOD»
Паколькі Saod = AC • ОС = AC • AO cos a, to
Sp, = (nAC)AO cos a = Py cos a, дзе p — перыметр многавугольніка P\, R — радыус круга. Аналагічна знаходзім плошчу многавугольніка Рр.
Sp,= nSeoF,
SBOF = АВАО = — .AO, cos a
e (nAC)AO____ pR —____________-----.
cos a 2 cos a
Такім чынам, многавугольнік Pi, які змяшчаецца ў крузе, мае плошчу
SpR
Р, = у cos “»
§ 14. Плоійчы фігур
225
а многавугольнік Р^, які змяшчае круг, мае плошчу
pR
2 cos а'
Паколькі пры дастаткова вялікім п перыметр р адрозні-ваецца неабмежавана мала ад даўжыні I акружнсці, a cos a неабмежавана мала адрозніваецца ад адзінкі, то плошчы многа-вугольнікаў Р\ і Р2 неабмежавана мала адрозніваюцца ад -%. Згодна з азначэннем гэта значыць, што плошча круга
S = у = лЯ2, што і трэба было даказаць.
Кругавым сектарам называецца частка круга, якая ляжыць унутры адпаведнага цэнтральнага вугла (рыс. 306).
Плошча кругавога сектара вылічваецца па формуле
дзе R — радыус круга, a a — градусная мера адпаведнага цэнтральнага вугла.
Кругавым сегментам называецца агульная частка круга і паўплоскасці (рыс. 307).
Плошча сегмента, не роўнага паўкругу, вылічваецца па формуле
дзе a — градусная мера цэнтральнага вугла, які змяшчае дугу гэтага кругавога сегмента, а 8Д — плошча трохвугольніка з вяршынямі ў цэнтры круга і канцах радыусаў, што абмяжоў-ваюць адпаведны сектар. Знак « — » трэба браць, калі a < 180°, а знак « + » трэба браць, калі a > 180°.
8 Геаметрыя, 7—11 кл.
226
9 клас
^ КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Сфармулюйце ўласцівасці плошчы для простых фігур.
2. Дакажыце, што плошча прамавугольніка роўна здабытку яго старон.
3. Дакажыце, што плошча паралелаграма роўна здабытку яго стараны на вышыню, праведзеную да гэтай стараны.
4. Дакажыце, што плошча трохвугольніка роўна палавіне здабытку яго стараны на вышыню, праведзеную да гэтай стараны.
5. Дакажыце, што плошча трохвугольніка роўна палавіне здабытку дзвюх любых яго старон на сінус вугла паміж імі.
6. Дакажыце, што плошча трапецыі роўна здабытку паўсумы асноў на вышыню.
7. Як адносяцца плошчы падобных фігур?
8. Выведзіце формулу плошчы круга.
9. Па якіх формулах вылічваюцца плошчы кругавога сектара і кругавога сегмента?
ф ЗАДАЧЫ
1. Дакажыце, што сума плошчаў квадратаў, пабудаваных на катэтах прамавугольнага трохвугольніка, роўна плошчы квадрата, пабудаванага на гіпатэнузе (рыс. 308).
2. Стораны двух участкаў зямлі квадратнай формы роўны 100 м і 150 м. Знайдзіце старану квадратнага ўчастка, роўнавялікага ім.
3. Знайдзіце плошчу квадрата S па яго дыяганалі а.
4. У колькі разоў плошча квадрата, апісанага каля акружна-сці, большая за плошчу квадрата, упісанага ў тую ж акружнасць?
5. Як зменіцца плошча квадрата, калі кожную яго старану павялі-чыць у 3 разы?
6. У колькі разоў трэба паменшыць стораны квадрата, каб яго плошча паменшылася ў 25 разоў?
7. Чаму роўны стораны прамаву-гольніка, калі яны адносяцца як 4 : 9, а яго плошча 144 м2?
8. Чаму роўны стораны прамаву-гольніка, калі яго перыметр 74 дм, а плошча 3 м2?
9. Паралелаграм і прамавугольнік
§14. Плошчы фігур
227
маюць аднолькавыя стораны. Знайдзіце востры вугал паралелаграма, калі плошча яго роўна палавіне плошчы прамавугольніка.
10. Квадрат і ромб маюць аднолькавыя перыметры. Якая з фігур мае большую плошчу? Растлумачце адказ.
11. Знайдзіце плошчу ромба, калі яго вышыня 10 см, а востры вугал 30°.
12. Знайдзіце плошчу ромба, калі яго вышыня 12 см, а меншая дыяганаль 13 см.
13. Дакажыце, што плошча ромба роўна палавіне здабытку дыяганалей.
14. Знайдзіце стораны ромба, ведаючы, што яго дыяганалі адносяцца як 1:2, а плошча ромба роўна 12 см’.
15. Падзяліце дадзены трохвугольнік на тры роўнавялікія часткі прамымі, якія праходзяць праз адну вяршыню.
16*. Рашыце папярэднюю задачу, узяўшы замест трохвугольні-ка паралелаграм.
17. Чаму роўна плошча раўнабедранага трохвугольніка, калі яго аснова 120 м, а бакавая старана 100 м?
18. Знайдзіце плошчу раўнабедранага прамавугольнага трох-вугольніка з гіпатэнузай а.
19. У трохвугольніку са старанамі 8 см і 4 см праведзены вы-шыні да гэтых старон. Вышыня, праведзеная да стараны 8 см, роўна 3 см. Чаму роўна вышыня, праведзеная да стараны 4 см?
20. Дакажыце, што стораны трохвугольніка адваротна пра-парцыянальныя яго вышыням, г. зн.
а'Ь-С~7Га'1Гь-'ІГ€-
21. Знайдзіце плошчу роўнастаронняга трохвугольніка са ста-раной а.
22. Знайдзіце плошчу правільнага трохвугольніка, упісанага ў круг радыуса R.
23. Знайдзіце плошчу прамавугольнага трохвугольніка, ка-лі яго вышыня дзеліць гіпатэнузу на адрэзкі 32 см і 18 см.
24. Чаму роўны катэты прамавугольнага трохвугольніка, калі яго гіпатэнуза роўна 73 см, а плошча роўна 1320 см2?
25. У трохвугольніку ABC AC = a, ВС = b. Пры якім вугле С плошча трохвугольніка будзе найбольшай?
26. Знайдзіце плошчу раўнабедранага трохвугольніка, у яко-га бакавыя стораны роўны 1 м, а вугал паміж імі роў-ны 70°.
27. Знайдзіце плошчу паралелаграма, калі яго стораны 2 м і 3 м, а адзін з вуглоў роўны 70°.
228
9 клас
28*. Знайдзіце плошчу трохвугольніка па старане а і прылег-лых да яе вуглах а і 0.
29. Выведзіце формулу Герона для плошчы трохвугольніка: S =~\Jp(p — а)(р — Ь)(р — с\ дзе а, Ь, с — даўжыні старон трохвугольніка, а р — паўперыметр.
30. Знайдзіце плошчу трохвугольніка па трох старанах: 1) 13, 14, 15; 2) 5, 5, 6; 3) 17, 65, 80; 4) ^, ^, 6; 5) 13, 3747 1; 6) 2І З^, 1,83.
Id Id 7 5
31. Стораны трохвугольніка а, Ь, с. Знайдзіце вышыню трох-вугольніка, апушчаную на старану с.
32. Бакавыя стораны трохвугольніка 30 см і 25 см. Знайдзіце вышыню трохвугольніка, апушчаную на аснову, роўную: 1) 25 см; 2) 11 см.
КНІГІ ОНЛАЙН
