Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Рыс. 245
Цэнтральным вуглом у акружнасці называецца плоскі вугал з вяршыняй у яе цэнтры. Частка акружнасці, размеіпчаная ўнутры плоскага вугла, называецца дугой акружнасці, якая адпавядае гэтаму цэнтральнаму вуглу (рыс. 247). Градуснай мерай дугі акружнасці называецца градусная мера адпаведнага цэнтральнага вугла.
Рыс. 247
Рыс. 248
§ 11. Падобнасць фігур
183
Вугал, вяршыня якога ляжыць на акружнасці, а стораны перасякаюць гэту акружнасць, называецца ўпісаным у акруж-насць. Вугал ВАС на рысунку 248 упісаны ў акружнасць. Яго вяршыня А ляжыць на акружнасці, а стораны пера-сякаюць акружнасць у пунктах В і С. Гавораць таксама, што вугал А абапіраецца на хорду ВС. Прамая ВС разбівае акруж-насць на дзве дугі. Цэнтральны вугал, што адпавядае той з гэтых дуг, якая не змяшчае пункт А, называецца цэнтральным вуглом, адпаведным дадзенаму ўігісанаму вуглу.
Тэарэма 11.5. Вугал, упісаны ў акружнасць, роўны пала-віне адпаведнага цэнтральнага вугла.
Д о к а з. Разгледзім спачатку прыватны выпадак, калі адна са старон вугла праходзіць праз цэнтр акружнасці (рыс. 249, а). Трохвугольнік АОВ раўнабедраны, таму што ў яго стораны ОА і ОВ роўныя як радыусы. Таму вуглы A і В трохвугольніка роўныя. А паколькі іх сума роўна знешняму вуглу трохвуголь-ніка пры вяршыні О, то вугал В трохвугольніка роўны палаві-не вугла АОС, што і трэба было даказаць.
Рыс. 249
Агульны выпадак зводзіцца да разгледжанага прыватнага выпадку правядзеннем дапаможнага дыяметра BD (рыс. 249, б, в).
У выпадку, дадзеным на рысунку 249, б,
A ABC = ACBD + A ABD = 1 ACOD + 1AAOD = A AAOC.
У выпадку, паказаным на рысунку 249, e,
A ABC = ACBD — AABD = | ACOD = ^- AAOD = A AAOC.
184
9 клас
Рыс. 250
Тэарэма даказана поўнасцю.
3 тэарэмы 11.5 вынікае, што ўпісаныя вуглы, стораны якіх пра-ходзяць праз пункты A і В акруж-насці, а вяршыні ляжаць па адзін бок ад прамой АВ, роўныя (рыс. 250).
У прыватнасці, вуглы, якія аба-піраюцца на дыяметр, прамыя.
108. ПРАПАРЦЫЯНАЛЬНАСЦЬ АДРЭЗКАЎ ХОРД I СЯКУЧЫХ
АКРУЖНАСЦІ
Калі хорды AB і CD акружнасці перасякаюцца ў пункце S,
AS BC = CS DS.
Дакажам спачатку, што трохвугольнікі ASD і CSB падобныя (рыс. 251). Упісаныя вуглы DCB і DAB роўныя па выніку з тэа-рэмы 11.5. Вуглы ASD і BSC роўныя як вертыкальныя. 3 роўнасці дадзеных вуглоў вынікае, што трохвугольнікі ASD і CSB падобныя.
3 падобнасці трохвугольнікаў вынікае прапорцыя
DS _ AS
Us ~CS~
Адсюль
AS-BS = CS-DS,
што і трэба было даказаць.
Рыс. 251
Рыс. 252
§ 11. Падобнасць фігур
185
Калі з пункта Р да акружнасці праведзены дзве сякучыя, якія перасякаюць акружнасць у пунктах A, В і С, D адпа-ведна, то
АР ВР = СР- DP.
Няхай пункты A і С — найбліжэйшыя да пункта Р пункты перасячэння сякучых з акружнасцю (рыс. 252). Трохвугольнікі PAD і РСВ падобныя. У іх вугал пры вяршыні Р агульны, а вуглы пры вяршынях В і D роўныя па ўласцівасці вуглоў, упісаных у акружнасць. 3 падобнасці трохвугольнікаў вынікае прапорцыя
PA _ PD
~РС ТЁГ'
Адсюль РА ■ РВ = PC ■ PD, што і трэба было даказаць.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Што такое пераўтварэнне падобнасці?
2. Што такое гаматэтыя (цэнтр гаматэтыі, каэфіцыент гама-тэтыі)?
3. Дакажыце, што гаматэтыя ёсць пераўтварэнне падобнасці.
4. Якія ўласцівасці пераўтварэння падобнасці вы ведаеце? Дакажыце, што пераўтварэнне падобнасці захоўвае вуглы паміж паўпрамымі.
5. Якія фігуры называюцца падобнымі?
6. Якім знакам абазначаецца падобнасць фігур? Як запісваец-ца падобнасць трохвугольнікаў?
7. Сфармулюйце і дакажыце прызнак падобнасці трохвуголь-нікаў па двух вуглах.
8. Сфармулюйце і дакажыце прызнак падобнасці трохвуголь-нікаў па дзвюх старанах і вуглу паміж імі.
9. Сфармулюйце і дакажыце прызнак падобнасці трохвуголь-нікаў па трох старанах.
10. Дакажыце, што катэт прамавугольнага трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і праекцыяй гэтага катэта на гіпатэнузу.
11. Дакажыце, што вышыня прамавугольнага трохвугольніка, праведзеная з вяршыні прамога вугла, ёсць сярэдняе пра-парцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу.
12. Дакажыце, што бісектрыса трохвугольніка дзеліць проці-леглую старану на адрэзкі, прапарцыянальныя дзвюм дру-гім старанам.
13. Што такое плоскі вугал?
14. Што такое цэнтральны вугал?
186
9 клас
15. Які вугал называецца ўпісаным у акружнасць?
16. Дакажыце, што ўпісаны ў акружнасць вугал роўны палаві-не адпаведнага цэнтральнага вугла.
17. Дакажыце ўласцівасці адрэзкаў хорд, якія перасякаюцца, і ўласцівасці адрэзкаў сякучых.
V ЗАДАЧЫ
1. Пры гаматэтыі пункт X пераходзіць у пункт Х', а пункт Y — у пункт У'. Як знайсці цэнтр гаматэтыі, калі пункты X, Х', Y, Y' не ляжаць на адной прамой?
2. Пры гаматэтыі пункт X пераходзіць у пункт X'. Пабудуйце цэнтр гаматэтыі, калі каэфіцыент гаматэтыі роўны 2.
3. Начарціце трохвугольнік. Пабудуйце гаматэтычны яму трохвугольнік, прыняўшы за цэнтр гаматэтыі адну з яго вяршынь і каэфіцыент гаматэтыі роўным 2.
4. На рысунку 236 паказаны план сядзібы ў маштабе 1:1000. Вызначце размеры сядзібы (даўжыню і шырыню).
5. Што ўяўляе сабой фігура, падобная трохвугольніку?
6. У падобных трохвугольнікаў ABC і А\В\С\ АА = 30°, AB = 1 м, ВС = 2 м, В\С\ = 3 м. Чаму роўныя вугал Аі і старана АхВ^
7. Дакажыце, што фігура, падобная да акружнасці, ёсць акружнасць.
8*. Дадзены вугал і ўнутры яго пункт А. Пабудуйце акруж-насць, якая датыкаецца да старон вугла і праходзіць праз пункт А.
9*. Упішыце ў дадзены трохвугольнік квадрат, у якога дзве вяршыні ляжаць на адной старане, а дзве другія вяршы-ні — на дзвюх другіх старанах.
10. Дакажыце падобнасць раўнабедраных трохвугольнікаў з роўнымі вугламі пры вяршынях, процілеглых асновам.
11. У двух раўнабедраных трохвугольнікаў вуглы паміж бака-вымі старанамі роўныя. Бакавая старана і аснова аднаго трохвугольніка роўны 17 см і 10 см; аснова другога роўна 8 см. Знайдзіце яго бакавую старану.
12. У трохвугольнікаў ABC і AtBiCi A A = ААі, АВ — ЛВ\, АВ = 5м, ВС = 7м, А|В| = 10м, А,С|=8м. Знайдзіце астатнія стораны трохвугольнікаў.
13. Рашыце задачу 12 пры ўмове, што АВ = 16 см, ВС = 20 см, АіВі = 12 cm, AC — А|С| = 6 см.
14. Дакажыце, што вышыня прамавугольнага трохвугольніка, апушчаная з вяршыні прамога вугла, разбівае яго на два трохвугольнікі, падобныя да зыходнага.
15. Прамая, паралельная старане АВ трохвугольніка ABC,
§11. Падобнасць фігур 187
перасякае яго старану AC у пункце Ai, а старану ВС у пункце В|. Дакажыце, што /\А ВС ео /\A\B\C.
16. У трохвугольнік з асновай а і вышынёй h упісаны квадрат так, што дзве яго вяршыні ляжаць на аснове трохвуголь-ніка, а другія дзве — на бакавых старанах (рыс. 253). Вы-лічыце старану квадрата.
17. Прамая, наралельная старане АВ трохвугольніка ABC, дзеліць яго старану AC у адносіне т : п, лічачы ад вяршыні С. У якой адносіне яна дзеліць старану ВС?
18. У трохвугольніку ABC праведзены адрэзак DE, паралельны старане AC (канец D адрэзка ляжыць на старане AB, a Е — на старане ВС). Знайдзіце AD, калі АВ =16 cm, AC = 20 см і DE = 15 см.
19. У задачы 18 знайдзіце адносіну AD:BD, калі вядома, што AC: DE = 55 : 28.
20. Знайдзіце даўжыню адрэзка DE ў задачы 18, калі: 1) AC = 20 cm, AB =17 cm i BD= 11,9 cm; 2) AC =18 дм, AB = 15 дм i AD = 10 дм.
21. Дыяганалі трапецыі ABCD перасякаюцца ў пункце Е (рыс. 254). Дакажыце падобнасць трохвугольнікаў ВСЕ і DAE.
22. Знайдзіце адносіну адрэзкаў дыяганалі трапецыі, на якія яна разбіваецца другой дыяганаллю, калі асновы трапецыі адносяцца як т: п.
23. Прамая, якая праходзіць праз пункт перасячэння дыягана-лей трапецыі, дзеліць адну аснову ў адносіне т: п. У якой адносіне яна дзеліць другую аснову?
24. У трапецыі ABCD з дыяганаллю AC вуглы ABC і ACD роўныя. Знайдзіце дыяганаль AC, калі асновы ВС і AD ад-паведна роўны 12 м і 27 м.
25. Лінія, паралельная асновам трапецыі, дзеліць адну бака-вую старану ў адносіне т : п. У якой адносіне дзеліць яна другую бакавую старану?
26. Прадаўжэнні бакавых старон AB і CD трапецыі ABCD пера-сякаюцца ў пункце Е. Знайдзіце стораны трохвугольніка
188
9 клас
AED, калі AB = 5 cm, BC = 10 cm, CD = 6 cm, AD = 15 cm. 27. Знайдзіце вышыню трохвугольніка AED з задачы 26, апушчаную на старану AD, калі ВС = 7 cm, AD = 21 см і вышыня трапецыі роўна 3 см.
28*. Дыяганалі трапецыі перасякаюцца ў пункце Е, а прадаў-жэнні бакавых старон перасякаюцца ў пункце Е. Дакажы-це, што прамая EF дзеліць аснову трапецыі папалам (рыс. 255).
29*. У раўнабедранага трохвугольніка ABC з асновай AC і процілеглым вуглом 36° праведзена бісектрыса AD.
1) Дакажыце падобнасць трохвугольнікаў ABC і CAD.
2) Знайдзіце аснову трохвугольніка ABC, калі яго бакавая старана роўна а.
30. Вуглы В і Ві трохвугольнікаў ABC і А\В\С\ роўныя. Стора-ны трохвугольніка ABC, прылеглыя да вугла В, у 2,5 раза большыя за стораны трохвугольніка А\В\С\, прылеглыя да вугла В\. Знайдзіце AC і AiCt, калі іх сума роўна 4,2 м.
31. У трохвугольніку ABC з вострым вуглом С праведзены вышыні АЕ і BD. Дакажыце, што & ABC co &EDC.
32*. У востравугольным трохвугольніку ABC праведзены вы-шыні AD, BE, CF. Знайдзіце вуглы трохвугольніка DEF, ведаючы вуглы трохвугольніка ABC (рыс. 256).
33*. Дакажыце, што бісектрысы трохвугольніка DEF у задачы
32 ляжаць на вышынях трохвугольніка ABC.
34. Ці падобныя два роўнастароннія трохвугольнікі?
35. Ці падобныя трохвугольнікі ABC і А|В|С|, калі:
1) AB = 1 м, AC = 1,5 м, ВС = 2 м; A lBl = 10 cm, A (Ci = = 15 cm, B\C\ = 20 cm;
2) АВ = 1м, АС = 2м, ВС = 1,5м; 4,Ві = 8дм, А,С, = = 16 дм, В\С\ = 12 дм;
3) АВ = 1 м, АС=2м, ВС = 1,25 м; А,В\ = 10 cm, А,Сі = = 20 cm, В\С\ = 13 см?
Рыс. 255
Рыс. 256
§ 11. Падобнасць фігур
189
36. Дакажыце, што ў падобных трохвугольнікаў перыметры адносяцца як адпаведныя стораны.
37. Стораны трохвугольніка роўны 0,8 м, 1,6 м і 2 м. Знайдзіце стораны падобнага яму трохвугольніка, перыметр якога роўны 5,5 м.
38. Перыметр аднаго трохвугольніка складае перыметра падобнага яму трохвугольніка. Рознасць дзвюх адпаведных старон роўна 1 м. Знайдзіце гэтыя стораны.
38. Ці падобныя два прамавугольныя трохвугольнікі, калі ў аднаго з іх ёсць вугал 40°, а ў другога — вугал роўны: 1)50°; 2) 60°?
40. Аснова вышыні прамавугольнага трохвугольніка, апушча-най на гіпатэнузу, дзеліць яе на адрэзкі 9 см і 16 см. Знайдзіце стораны трохвугольніка.
КНІГІ ОНЛАЙН
