Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Задача (7). Дадзены тры пункты: А(1; 1), В( —1; 0), С(0; 1). Знайдзіце такі пункт D(x; у), каб вектары AB і CD былі роўныя.
Рашэнне. Вектар АВ мае каардынаты —2, —1. Век-тар CD мае каардынаты х — 0, у — 1. Паколькі AB = CD, тох — 0 = —2, у — 1= — 1. Адсюль знаходзім каардына-ты пункта D: х = —2, у = 0.
94. СКЛАДАННЕ ВЕКТАРАЎ
Сумай вектараў а і b з каардынатамі аі, а2 і Ь\, Ь2 называец-ца вектар с з каардынатамі аі + Ьі, а2 + і>2, г. зн.
а(аі; а2) + Ь(Ьі; Ь2) = с(аі + Ь\; а2 + Ь2).
Для любых вектараў а(аі; а2), Ь(Ь\-, Ь2\ с(с,; с2) а-\-Ь=Ь-\-а, a + (Ь + с) = (а + Ь) + с.
Для доказу дастаткова параўнаць адпаведныя каардынаты вектараў, якія стаяць у правай і левай частках роўнасцей. Мы бачым, што яны роўныя. А вектары з адпаведна роўнымі каар-дынатамі роўныя.
Рыс. 215
Рыс. 216
§10. Вектары
159
Тэарэма 10.1. Якія б ні былі пункты A, В, С, мае месца вектарная роўнасць
АВ + ВС= AC.
Доказ. Няхай A(xt; і/і), В(х2; у2\ С(х3; у3)— дадзеныя пункты (рыс. 215). Вектар АВ мае каардынаты Х2—Хі, у2— у\, вектар ВС мае каардынаты х3 — х2,у3 — у2. Такім чы-нам, вектар АВ-^ВС мае каардынаты х3 — Х|, у3— у\. А гэта ёсць каардынаты вектара AC. Значыць, вектары AB + ВС і AC роўныя. Тэарэма даказана.
Тэарэма 10.1 дае наступны спосаб пабудавання сумы адвольных вектараў а і Ь. Трэба ад канца вектара а адкласці вектар Ь', роўны вектару Ь. Тады вектар, пачатак якога супадае з пачаткам вектара a, а канец — з канцом вектара Ь', будзе сумай вектараў a і Ь (рыс. 216). Такі спосаб атрымання сумы двух вектараў называецца «правілам трохвугольніка» скла-дання вектараў.
Для вектараў з агульным пачаткам іх сума паказваецца дыяганаллю паралелаграма, пабудаванага на гэтых вектарах («правіла ігаралелаграма», рыс 217). Сапраўды, AB A-ВС = = AC, a ВС = AD. Значыць,
AB + AD = AC.
Рознасцю вектараў а(оі; а2) і b(b\; b^ называецца такі вектар с(сі; с2), які ў суме з вектарам Ь дае вектар а: Ь-^-с — а. Адсюль знаходзім каардынаты вектара с = а— Ь;
С\ = а\ — Ь\‘, с2 — а2 — Ь2.
160
8 клас
Задача (11). Дадзены вектары з агульным пачаткам: AB і AC (рыс. 218). Дакажыце, што АС—АВ = ВС. Рашэнне. Маем: АВ-}- ВС=АС. А гэта значыць, што AC — АВ = ВС.
95. СКЛАДАННЕ СІЛ
Адсюль атрымліваецца наступнае правіла для набудавання рознасці двух вектараў. Каб пабудаваць век-тар роўны рознасці вектараў а і Ь, трэ-ба адкласці роўныя ім вектары а' і Ь' ад аднаго пункта. Тады вектар, па-чатак якога супадае з канцом век-тара Ь', а канец — з канцом векта-ра а', будзе рознасцю вектараў a і b (рыс. 219).
Сілу, прыкладзеную да цела, зручна паказваць вектарам, напрамак якога супадае з напрамкам дзеяння сілы, а абсалют-ная велічыня прапарцыянальная велічыні сілы. Як паказвае во-пыт, пры такім спосабе паказу сіл раўнадзейная дзвюх ці не-калькіх сіл, прыкладзеных да цела ў адным пункце, паказваец-сумай адпаведных ім вектараў. На рысунку 220, а да цела ў пункце А прыкладзены дзве сілы, паказаныя вектарамі а і Ь. Раўнадзейная гэтых сіл паказваецца вектарам
с — a -f- Ь.
Рыс. 220
§10. Вектары
161
Паказ сілы ў выглядзе сумы сіл, якія дзейнічаюць у двух зададзеных напрамках, называецца раскладаннем сілы па гэ-тых напрамках. Так,на рысунку 220, а сіла с раскладзена ў суму сіл a і b — састаўляючыя сілы с.
Зручна праводзіць раскладанне вектара па дзвюх перпен-дыкулярных восях. У гэтым выпадку састаўляючыя вектары называюцца праекцыямі вектара на восі (рыс. 220, б).
Задача (16). 3 якой сілай F трэба ўтрымліваць груз ( с ; вагой Р на нахіленай плоскасці, каб ён не спаўзаў уніз — (рыс. 221)?
Р а ш э н н е. Няхай О — цэнтр цяжару грузу, да якога прыкладзена сіла Р. Раскладзём вектар Р па двух узаемна перпендыкулярных напрамках, як паказана на рысунку 221. Сіла ОА перпендыкулярная нахіленай плоскасці і не выклікае перамяшчэння грузу. Сіла F, якая ўтрымлівае груз, павінна быць роўнай па велічыні і процілеглай па напрамку сіле ОВ. Таму F = Psin а.
96. МНОЖАННЕ ВЕКТАРА НА ЛІК
Здабыткам вектара (а,; а^ на лік Z называецца вектар-(Хяі; Ха2), г. зн. (oh; a2)X = (Zat; 1а2).
Па азначэнню (ар, 0^ — Цар, а2).
3 азначэння аперацыі множання вектара на лік вынікае, што для любога вектара а і лікаў X, ц
(1 + ц)а = Ла + ца.
6 Геаметрыя, 7 —11 кл.
162
8 клас
Для любых двух вектараў a і Ь і ліку X
\(а-\-Ь) — \а-\-\Ь.
Тэарэма 10.2. Абсалютная велічыня вектара Ха роўна |1| \а\. Напрамак вектара ).а пры а^О супадае з напрамкам вектара а, калі к> 0, і процілеглы напрамку вектара а, калі \<О.
Доказ. Пабудуем вектары ОА і ОВ, роўныя a і Ха адпа-ведна (О — пачатак каардынат). Няхай а і і а2 — каардынаты вектара а. Тады каардынатамі пункта А будуць лікі а, і а2, а каардынатамі пункта В будуць Хаі, Ха2 (рыс. 222). Ураўненне прамой ОА мае выгляд:
ах + ^У = 0-
Паколькі ўраўненню задавальняюць каардынаты пункта А(аі, а2), то яму задавальняюць і каардынаты пункта В().а\, Ха2). Адсюль вынікае, што пункт В ляжыць на прамой ОА. Ка-ардынаты Сі і с2 любога пункта С, які ляжыць на паўпрамой ОА, маюць тыя ж знакі, што і каардынаты а\ і а2 пункта A, a каардынаты любога пункта, які ляжыць на паўпрамой, дадат-ковай да ОА, маюць процілеглыя знакі.
Таму калі X > 0, то пункт В ляжыць на паўпрамой ОА, a значыць, вектары а і ка аднолькава накіраваныя. Калі X < 0, то пункт В ляжыць на дадатковай паўпрамой, вектары а і Ха процілегла накіраваныя.
Абсалютная велічыня вектара Хо роўна:
§ 10. Вектары
163
|Xal=V(^i)2 + (W = |Х|д/а? + аі= 1^1 ІаІ.
Тэарэма даказана.
Задача (17). Дадзены пункты: А(хі; уі) і В(х2; у2). Дакажыце, што вектары AB і ВА процілегла накіраваныя.
Р а ш э н н е. Вектар АВ мае каардынаты Х2 — Хі і у2 — — у\. Вектар ВА мае каардынаты хі—х2 і у\ — у2. Мы бачым, што АВ = (—1)ВА. А значыць, вектары АВ і ВА процілегла накіраваныя.
97. РАСКЛАДАННЕ ВЕКТАРА ПА ДВУХ НЕКАЛІНЕАРНЫХ ВЕКТАРАХ
Два ненулявыя вектары называюцца калінеарнымі, калі яны ляжаць на адной прамой ці на паралельных прамых (рыс. 223). Калінеарныя вектары ці аднолькава накіраваныя, ці процілегла накіраваныя.
Няхай a і b адрозныя ад нуля калінеарныя вектары. Дакажам, што існуе лік X такі, што
b = Ха.
Дапусцім, вектары a і b аднолькава накіраваныя. Вектары
аднолькава накіраваныя і маюць адну і тую ж абсалютную велічыню |Ы. Значыць, яны роўныя:
b=^L=a = Ka,
|а| |а|
Рыс. 223
164
8 клас
У выпадку процілегла накіраваных вектараў a і b аналагічна заключаем, што
b =----:—a = ha, h =-----,
|а| ІаІ
што і трэба было даказаць.
Няхай a і b адрозныя ад нуля некалінеарныя вектары. Дакажам, што любы вектар с можна запісаць у выглядзе
с = ha-}- цЬ.
Няхай A і В пачатак і канец вектара с (рыс. 224). Правядзём праз пункты A і В прамыя, паралельныя вектарам а і Ь. Яны перасякаюцца ў некаторым пункце С. Маем:
AB = AC + СВ.
Паколькі вектары a і AC калінеарныя, to AC = ha. Паколькі вектары СВ і Ь калінеарныя, то СВ = pb. Такім чынам,
с — ha ~і~ цЬ,
што і трэба было даказаць.
98. СКАЛЯРНЫ ЗДАБЫТАК ВЕКТАРАЎ
Скалярным здабыткам вектараў a(ar, а2) і Ь{Ь\‘, Ь2) называ-ецца лік аі&і + а2Ь2.
Для скалярнага здабытку вектараў скарыстоўваецца такі ж запіс, як і для здабытку лікаў. Скалярны здабытак a ■ а абазна-чаецца а2 і называецца скалярным квадратам. Відавочна, а2 = |а|2.
§10. Вектары 165
3 азначэння скалярнага здабытку вектараў вынікае, што для любых вектараў а(аг, а^, b(bt; Ь2), с(сі; с2)
(a -\-~b)c = ас + Ьс.
Сапраўды, левая частка роўнасці ёсць (аі + &і)Сі + (аг+ + Ьг)с2, а правая а\С\-\-а2с2-{-Ь\С\-\-Ь2с2. Відавочна, яны роўныя.
Вуглом паміж ненулявымі вектарамі AB і AC называецца вугал ВАС. Вуглом паміж двума ненулявымі вектарамі аі b на-зываецца вугал паміж роўнымі ім вектарамі з агульным пачат-кам. Вугал паміж аднолькава накіраванымі вектарамі лічыцца роўным нулю.
Тэарэма 10.3. Скалярны здабытак вектараў роўны зда-бытку іх абсалютных велічынь на косінус вугла паміж імі.
Д о к а з. Няхай аі b — дадзеныя вектары і <р — вугал паміж імі. Маем:
(а + Ь)2 = (а + Ь) (а + Ь) = (а + Ь)а -\-(а-\-Ь)Ь =
= аа -\-Ьа + аЬ -\- ЬЬ = а2 + 2аЬ + Ь2, або
|а + Ь|2 = |а|2 + |Ь|2 + 2аЬ.
Адсюль відаць, што скалярны здабытак ab выражаецца праз даўжыні вектараў a, bi a -{- b, a таму не залежыць ад выбару сі-стэмы каардынат, г. зн. скалярны здабытак не зменіцца, калі сістэму каардынат выбраць спецыяльным чынам. Возьмем сі-стэму каардынат ху так, як паказана на рысунку 225. Пры та-кім выбары сістэмы каардынат каардынатамі вектара а будуць
Рыс. 225
166
8 клас
\а\ і 0, а каардынатамі вектара b будуць |b| cos ф і blsintp. Скалярны здабытак
ab — \а\ I 61 cos ф + 0 | Ь | cos ф + 0 | & | sin ф = |а| | & | cos ф.
Тэарэма даказана.
3 тэарэмы 10.3 вынікае, што калі вектары перпендыкуляр-ныя, то іх скалярны здабытак роўны нулю. I наадварот: калі скалярны здабытак адрозных ад нуля вектараў роўны нулю, то вектары перпендыкулярныя.
Ж Задача (38). Дакажыце, што сума квадратаў дыяганалей паралелаграма роўна суме квадратаў яго старон.
Р а ш э н н е. Няхай чатырохвугольнік ABCD паралела-грам (рыс. 226). Маем вектарныя роўнасці:
АВ + AD = АС,
AB — AD = DB.
Узвядзём гэтыя роўнасці ў квадрат. Атрымаем:
AB2 + 2АВ • AD + AD2 = АС2, AB- — 2АВ ■ AD + AD2 = DB2.
Складзём гэтыя роўнасці пачленна. Атрымаем:
2АВ1 + 2AD2 = AC2 + DB2.
Паколькі ў паралелаграма процілеглыя стораны роў-ныя, то гэта роўнасць і азначае, што сума квадратаў дыяганалей паралелаграма роўна суме квадратаў яго ста-рон, што і трэба было даказаць.
Рыс. 226
§10. Вектары
167
99. РАСКЛАДАННЕ ВЕКТАРА У п
ПА КААРДЫНАТНЫХ ВОСЯХ
Вектар называецца адзінкавым, калі яго абсалютная велічыня роў-на адзінцы. Адзінкавыя вектары, якія маюць напрамкі дадатных каардынатных паўвосей, назы-ваюцца каардынатнымі вектарамі ці ортамі. Мы будзем іх абазначаць еі(1; 0) на восі х і ег(0; 1) на восі у
1
Х
Рыс. 227
(рыс. 227).
Паколькі каардынатныя вектары адрозныя ад нуля і некалі-неарныя, то любы вектар а(аі; аг) дапускае раскладанне па
гэтых вектарах:
a = Хеі + цег.
(*)
Знойдзем каэфіцыент Zip гэтага раскладання. Памножым абедзве часткі роўнасці (*) на вектар е,. Паколькі
a(ai, Я2)еі = аі, е, • ві = 1, ег • е, = 0, то «і = X.
Аналагічна, памнажаючы абедзве часткі роўнасці (*) на вектар ег, атрымаем а2 = р.
КНІГІ ОНЛАЙН
