Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
та, паварочваецца на адзін і той жа вугал у адным і тым жа напрамку (рыс. 196). Гэта значыць, што калі пры павароце каля пункта О пункт X пераходзіць у пункт Х', то пра-мені ОХ і ОХ’ утвараюць адзін і той жа вугал, які б ні быў пункт X. Гэты вугал называецца вуглом па-вароту. Пераўтварэнне фігуры пры павароце плоскасці таксама назы-ваецца паваротам.
144
8 клас
Задача (25). 1) Пабудуйце пункт А\, у які пера-ходзіць пункт А пры павароце каля пункта О на вугал 60° па гадзіннікавай стрэлцы.
2) Пабудуйце фігуру, у якую пераходзіць адрэзак АВ пры павароце каля пункта О на вугал 60° па гадзіннікавай стрэлцы.
Рашэнне. 1) Правядзём прамень ОА і пабудуем пра-мень ОМ так, што Z.AOM — 60° (рыс. 197, а). Адкладзём на прамені ОМ адрэзак ОАі, роўны адрэзку ОА. Пункт А| з’яўляецца шукаемым.
2) Пабудуем пункты Аі і В|, у якія пераходзяць пры зададзеным павароце пункты A і В, якія з’яўляюцца кан-цамі адрэзка АВ (рыс. 197,6). Адрэзак А[В\ з’яўляецца шукаемым, паколькі пры павароце адрэзак пераходзіць у адрэзак.
87. ПАРАЛЕЛЬНЫ ПЕРАНОС
I ЯГО ЎЛАСЦІВАСЦІ
Наглядна паралельны перанос вызначаецца як пераўтварэн-не, пры якім пункты зрушваюцца ў адным і тым жа напрамку на адну і тую ж адлегласць (рыс. 198). Такое азначэнне не з’яўляецца матэматычна строгім, таму што ў ім ужываецца выраз «у адным і тым жа напрамку», які сам патрабуе дакладнага азначэння. У сувязі з гэтым паралельнаму пераносу мы дадзім іншае, адпавядаючае таму ж нагляднаму ўяўленню, але ўжо строгае азначэнне.
§ 9. Pyx
145
Увядзём на плоскасці дэкартавы каардынаты х, у. Пераўтва-рэнне фігуры F, пры якім адвольны яе пункт (х; у) пераходзіць у пункт (х + а; у + Ь\ дзе a і b адны і тыя ж для ўсіх пунктаў (х; у), называецца паралельным пераносам (рыс. 199). Пара-лельны перанос задаецца формуламі
х' = х + а, у' = у + Ь.
Гэтыя формулы выражаюць каардынаты х', у' пункта, у які пераходзіць пункт (х; у) пры паралельным пераносе.
Рыс. 198
Паралельны перанос ёсць рух.
Сапраўды два адвольныя пункты А(хі; у\) і В(х2; у2) перахо-дзяць пры паралельным пераносе ў пункты А’(х\ А а; у\ + &) і В'(х2 4- а; У2 + Ь). Таму
AB2 = (х2 — X,)2 4- (у2 — yrf, А'В’- = (х2 — X,)2 4-(і/2 — г/і)2.
Адсюль AB = А 'В'. Такім чынам, паралельны перанос захоўвае адлегласці, а значыць, з’яўляецца рухам, што і трэба было даказаць.
Назва «паралельны перанос» апраўдваецца тым, што пры паралельным пераносе пункты зрушваюцца па паралельных (ці супадаючых) прамых на адну і тую ж адлегласць.
Сапраўды, няхай пункты А(Х\; у\) і В(х2', у2) пераходзяць
146
8 клас
у пункты А'(хі+а; уі + b) і В'(х2 + а; у2 + Ь) (рыс. 200). Сярэдзіна адрэзка АВ' мае каардынаты
*1 + *2 + о _у \ А Уі A Ь
2 ’ 2 *
Тыя ж каардынаты мае і сярэдзіна адрэзка А'В. Адсюль вынікае, што дыяганалі чатырохвугольніка АА'В'В перася-каюцца і пунктам перасячэння дзеляцца папалам. Значыць, гэты чатырохвугольнік — паралелаграм. А ў паралелаграма процілеглыя стораны АА' і ВВ' паралельныя і роўныя.
Заўважым, што ў паралелаграма АА'В'В паралельныя і дзве другія процілеглыя стараны АВ і А'В’. Адсюль вынікае, што пры паралельным пераносе прамая пераходзіць у пара-лельную прамую (ці ў сябе).
Заўвага. У папярэднім доказе дапускалася, што пункт В не ляжыць на прамой АА'. У выпадку, калі пункт В ляжыць на прамой АА', пункт В’ таксама ляжыць на гэтай прамой, паколькі сярэдзіна адрэзка АВ' супадае з сярэдзінай адрэзка ВА' (рыс. 201). Значыць, усе пункты A, В, А', В' ляжаць на адной прамой. Далей,
ЛА' = лА*7+<Г^^Ь — у^ = д/а^+Р, ВВ' =-\/( х2 + a — х2)2 + (у2 + b — y2y = ^a2+ b2.
Такім чынам, у гэтым выпадку пункты A і В зрушваюцца па прамой АВ на адну і тую ж адлегласць ya2 A- b2, а прамая АВ пераходзіць у сябе.
§ 9. Pyx
147
88. ICHABAHHE / /
I АДЗІНАСЦЬ
ПАРАЛЕЛЬНАГА ПЕРАНОСУ
T э a p э м a 9.4. Якія б ні былі два пункты А і А', існуе адзін і толькі адзін паралельны перанос, пры якім пункт А пераходзіць у пункт А'.
Д о к а з. Пачнём з доказу існа- Рыс. 202
вання паралельнага пераносу, які пераводзіць пункт А з А'. Увядзём дэкартавы каардынаты на плоскасці. Няхай а\, а2 — каардынаты пункта А і а\, а2 — каардынаты пункта А'. Паралельны перанос, зададзены форму-ламі
х' = х + aS — ас, у’ = у + а2 — а2,
пераводзіць пункт А ў пункт А'. Сапраўды, пры х = а\ і у = а2 атрымаем: х' = +, у' = а2.
Дакажам адзінасць паралельнага пераносу, які пераводзіць пункт А ў пункт А'. Няхай X — адвольны пункт фігуры і X' — пункт, у які ён пераходзіць пры паралельным пераносе (рыс. 202). Як мы ведаем, адрэзкі ХА' і АХ' маюць агульную сярэдзіну О. Заданне пункта X адназначна вызначае пункт О — сярэдзіну адрэзка А'Х. А пункты АіО адназначна вызначаюць пункт X', паколькі пункт О з’яўляецца сярэдзінай адрэзка АХ'. Адназначнасць у вызначэнні пункта X' і азначае адзінасць паралельнага пераносу.
Тэарэма даказана поўнасцю.
3 а д а ч a (30). Пры паралельным пераносе пункт (1; 1) пераходзіць у пункт (— 1; 0). У які пункт пераходзіць пачатак каардынат?
Р а ш э н н е. Любы паралельны перанос задаецца фор-муламі
х' = х + а, у' = у + Ь.
Паколькі пункт (1; 1) пераходзіць у пункт ( — 1; 0), то — 1 = 1 + а, 0 = 1 +Ь. Адсюль a = — 2, b = — 1. Такім чынам, наш паралельны перанос, які пераводзіць пункт
148
8 клас
(1; 1) у ( — 1; 0), задаецца формуламі х' = х — 2, у'= у —1. Падстаўляючы ў гэтыя формулы каардынаты пачатку (х = 0, у = 0), атрымаем: х' = — 2, у' — — 1. Такім чынам, пачатак каардынат пераходзіць у пункт (—2; — 1).
89. СУНАКІРАВАНАСЦЬ ПАЎПРАМЫХ
Дзве паўпрамыя называюцца аднолькава накіраванымі ці сунакіраванымі, калі яны сумяшчаюцца паралельным перано-сам. Гэта значыць існуе паралельны перанос, які пераводзіць адну паўпрамую ў другую.
Калі паўпрамыя a і b аднолькава накіраваны і паўпрамыя b і с аднолькава накіраваны, то паўпрамыя а і с таксама аднолькава накіраваны (рыс. 203).
Сапраўды, няхай паралельны перанос, які задаецца фор-муламі
х' = х + т, у' = у + п, (*)
пераводзіць паўпрамую а ў паўпрамую Ь, а паралельны пера-нос, які задаецца формуламі
X" = х' + mi, у" = у' + гц, (**)
пераводзіць паўпрамую b у паўпрамую с.
Разгледзім паралельны перанос, які задаецца формуламі х" = х + тп + mt, у" = у -\- п -\- пі. (***)
Сцвярджаем, што гэты паралельны перанос пераводзіць паў-прамую а ў паўпрамую с. Дакажам гэта.
Рыс. 203
Рыс. 204
§ 9. Pyx
149
Няхай (x; y) — адвольны пункт паўпрамой а. Згодна з фор-муламі (*) пункт (х + zn; у + п) належыць паўпрамой Ь. Па-колькі пункт (х + т; у + п) належыць паўпрамой Ь, то згодна з формуламі (**) пункт ^х-\-т-\-тс, у-[-п-\-П\) належыць паўпрамой с. Такім чынам, паралельны перанос, які задаецца формуламі (***),пераводзіць паўпрамую а ў паўпрамую с. А гэта значыць, што паўпрамыя а і с аднолькава накіраваныя, што і трэба было даказаць.
Дзве паўпрамыя называюцца процілегла накіраванымі, калі кожная з іх аднолькава накіравана з паўпрамой, дадатковай да другой (рыс. 204).
3 а д а ч a (32). Прамыя AB і CD — паралельныя. Пункты A і D ляжаць па адзін бок ад сякучай ВС. Дака-жыце, што прамені BA і CD аднолькава накіраваныя.
Р а ш э н н е. Падвергнем прамень CD паралельнаму пе-раносу, пры якім пункт С пераходзіць у пункт В (рыс. 205). Пры гэтым прамая CD сумесціцца з прамой ВА. Пункт D, зрушваючыся па прамой, паралельнай СВ, застаецца ў той жа паўплоскасці адносна прамой ВС. Таму прамень CD сумесціцца з праменем BA, а значыць, гэтыя прамені аднолькава накіраваны.
90. РОЎНАСЦЬ ФІГУР
Дзве фігуры называюцца роўнымі, калі яны рухам пераво-дзяцца адна ў другую.
Для абазначэння роўнасці фігур выкарыстоўваецца звычай-ны знак роўнасці. Запіс F = F' азначае, што фігура F роўна
150
8 клас
фігуры F'. У запісе роўнасці трохвугольнікаў: &АВС = = £\А\В}С\ — мяркуецца, што сумяшчаемыя пры руху вяршы-ні стаяць на адпаведных месцах. Пры такой умове роўнасць трохвугольнікаў, што вызначаецца праз іх сумяшчэнне рухам, і роўнасць, як мы яе разумелі да гэтага часу, выражаюць адно і тое ж.
Гэта значыць, што калі ў двух трохвугольнікаў адпаведныя стораны роўныя і адпаведныя вуглы роўныя, то гэтыя трох-вугольнікі сумяшчаюцца рухам. I наадварот: калі два трохву-гольнікі сумяшчаюцца рухам, то ў іх адпаведныя стораны роўныя і адпаведныя вуглы роўныя. Дакажам абодва гэтыя сцверджанні.
Няхай трохвугольнік ABC сумяшчаецца рухам з трохву-гольнікам AtBtCi, прычым вяршыня А пераходзіць у вяршыню Ai, В — у В\ і С — у Сі. Паколькі пры руху захоўваюцца адлегласці і вуглы, то для нашых трохвугольнікаў АВ = А\В\, BC = BtCh АС = АХС\, АА = АА{, AB=ABh AC = АС^
Няхай цяпер у трохвугольнікаў ABC і AtB\C\ АВ = А\В\, ВС^В^, АС = АІС1, АА=ААХ, АВ=АВ\, AC = ACh Дакажам, што яны сумяшчаюцца рухам, пры якім вяршыня A пераходзіць у вяршыню Ab В — у В\ і С — у С|. Падвергнем трохвугольнік ABC пераўтварэнню сіметрыі адносна прамой а, якая перпендыкулярная да адрэзка ААі і праходзіць праз яго сярэдзіну (рыс. 206). Атрымаем трохвугольнік А\ВтСі- Калі пункты В| і В? розныя, то падвергнем яго сіметрыі адносна
§ 9. Pyx
151
прамой b, якая праходзіць праз пункт At і перпендыкулярная да прамой В^. Атрымаем трохвугольнік А^Сз.
Калі пункты С| і Сз ляжаць па адзін бок ад прамой А}В\, то яны супадаюць. Сапраўды, паколькі вуглы В\А\С\ і В\А\Сз роўныя, то прамені АіСі і АіСз супадаюць, а паколькі адрэз-кі А|С| і А|С3 роўныя, то супадаюць пункты С| і С3. Такім чынам, трохвугольнік ABC рухам пераведзены ў трохвуголь-нік А\В\С\.
Калі пункты С| і Сз ляжаць па розныя бакі ад прамой А|5|, то для доказу трэба яшчэ прымяніць сіметрыю адносна прамой А\В\.
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
«
1. Якое пераўтварэнне фігуры называецца рухам?
2. Дакажыце, што пункты, якія ляжаць на прамой, пры руху пераходзяць у пункты, іпто ляжаць на прамой, і захоў-ваецца парадак іх узаемнага размяшчэння.
3. У што пераходзяць прамыя, паўпрамыя, адрэзкі пры руху?
4. Дакажыце, што пры руху захоўваюцца вуглы.
5. Растлумачце, якія пункты называюцца сіметрычнымі адносна дадзенага пункта.
6. Якое пераўтварэнне называецца сіметрыяй адносна дадзе-нага пункта?
7. Якая фігура называецца цэнтральна-сіметрычнай?
8. Што такое цэнтр сіметрыі фігуры? Прывядзіце прыклад цэнтральна-сіметрычнай фігуры.
9. Дакажыце, што сіметрыя адносна пункта ёсць рух.
КНІГІ ОНЛАЙН
