КНІГІ ОНЛАЙН

Геаметрыя

7-11 клас

Выдавец: Народная асвета

Памер: 383с.

Мінск 1995

209.59 МБ

Рашэнне. Паколькі прамая паралельная восі х, то яна мае ўраўненне віду
і/ + с = 0.
Паколькі пункт (2; — 3) ляжыць на прамой, то яго каарды-наты задавальняюць гэтаму ўраўненню: —3 -|-с = 0. Адсюль с = 3. Значыць, ураўненне прамой
// + 3 = 0.
78.	ВУГЛАВЫ КАЭФІЦЫЕНТ ВА ЎРАЎНЕННІ ПРАМОЙ
Калі ў агульным ураўненні прамой ax -\- by -\- с = 0 каэфі-цыент пры у не роўны нулю, то гэта ўраўненне можна рашыць адносна у. Атрымаем:
§ 8. Дэкартавы каардынаты на плоскасці
129
Ці, абазначаючы —^-= k, —^=1, атрымаем: 0	0
у = kx + l.
Высветлім геаметрычны сэнс каэфіцыента k у гэтым ураў-ненні.
Возьмем два пункты на прамой А(Х\; у\\ В(х2; у2) (*і <х2). Іх каардынаты задавальняюць ураўненню прамой:
Уі = kx} +1, y2=kx2 + l.
Адымаючы гэтыя роўнасці пачленна, атрымаем: у2— Уі = = k(X2 — Х\). Адсюль
k=“^
*2 —*1
У выпадку, дадзеным на рысунку 178, а,
^-^=tga.
*2 — *1
У выпадку, дадзеным на рысунку 178,6,
У1~У\	,
----—= -tga.
*2 ~- *1
Такім чынам, каэфіцыент k ва ўраўненні прамой з даклад-насцю да знака роўны тангенсу вострага вугла, які ўтварае прамая з воссю х.
Каэфіцыент k ва ўраўненні прамой называецца вуглавым каэфіцыентам прамой.
5 Геаметрыя, 7 —11 кл.
130
8 клас
79.	ГРАФІК ЛІНЕЙНАЙ ФУНКЦЫІ
Пры пабудаванні графікаў функцый на ўроках алгебры вы, напэўна, заўважылі, што графікам лінейнай функцыі з’яўляец-ца прамая. Цяпер мы дакажам гэта.
Няхай у — ах -[- b — дадзеная лінейная функцыя. Дакажам, што яе графікам з’яўляецца прамая.
Для дадзенай функцыі, калі х = 0, то у = Ь, калі х — 1, то у = а-\-Ь. Таму графіку функцыі належаць пункты (0; Ь) і (1; « + Ь). Саставім ураўненне прамой, якая праходзіць праз гэтыя пункты. Як мы ведаем, яно мае выгляд
у = kx -\- I.
Паколькі дадзеныя пункты графіка ляжаць на прамой, то іх каардынаты задавальняюць ураўненню прамой:
b = k • 0 -\- I, a + b = k-l + l.
Адсюль знаходзім I = b, k = а. Такім чынам, наша прамая мае ўраўненне
у — ах -\- Ь.
Значыць, ураўненню прамой задавальняюць усе пункты гра-фіка. Гэта значыць графікам лінейнай функцыі з’яўляецца прамая.
80.	ПЕРАСЯЧЭННЕ ПРАМОЙ 3 АКРУЖНАСЦЮ
Разгледзім пытанне аб перасячэнні прамой з акружнасцю.
Няхай R — радыус акружнасці id — адлегласць ад цэнтра акружнасці да прамой. Прымем цэнтр акружнасці за пачатак каардынат, а прамую, перпендыкулярную да дадзенай, за вось х (рыс. 179). Тады ўраўненнем акружнасці будзе х2 + / = = R2, а ўраўненнем прамой х = d.
Для таго каб прамая і акружнасць перасякаліся, трэба, каб сістэма двух ураўненняў
х2 -\-у2 = R2, x = d
мела рашэнне. I наадварот: усякае рашэнне гэтай сістэмы дае
§ 8. Дэкартавы каардынаты на плоскасці
131
Рыс. 179
каардынаты х, у пункта перасячэння прамой з акружнасцю. Рашаючы гэту сістэму, атрымаем:
х = d, у = ±^R2 — d\
3 выразу для у відаць, што сістэма мае два рашэнні, г. зн. акружнасць і прамая маюць два пункты перасячэння, калі R> d (рыс. 179, a).
Сістэма мае адно рашэнне, калі R = d (рыс. 179, б). У гэтым выпадку прамая і акружнасць датыкаюцца.
Сістэма не мае рашэння, г. зн. прамая і акружнасць не перасякаюцца, калі R0) вугал а. Няхай х і у — каардынаты пункта А. Значэнні sin a, cos a і tg a для вострага вугла a выражаюцца праз каардынаты пункта А, менавіта:
cos a = 4, sin a =	, tg a = —.
R	R	x
Вызначым цяпер значэнні sin a, cos a i tg a гэтымі форму-ламі для любога вугла а. (Для tg a вугал a = 90° выключаец-ца.)
Пры такім вызначэнні sin 90° = 1, cos 90° = 0, sin 180° =0, cos 180° = — 1, tg 180° = 0.
Лічачы, што прамені, якія супадаюць, утвараюць вугал 0°, будзем мець: sin 0° = 0, cos 0° = 1, tg 0° = 0.
Дакажам, што для любога вугла a,00?
31.	Знайдзіце каардынаты пунктаў перасячэння дзвюх акруж-насцей: х2 + / = 1, х2 + z/2 — 2х + z/ — 2 = 0.
32.	Знайдзіце каардынаты пунктаў перасячэння акружнасці х2 + у2 — 8х — 8;/ + 7 = 0 з воссю х.
33.	Дакажыце, што акружнасць х2 + у2 + 2ах +1=0, | a | > 1, не перасякаецца з воссю у.