КНІГІ ОНЛАЙН

Геаметрыя

7-11 клас

Выдавец: Народная асвета

Памер: 383с.

Мінск 1995

209.59 МБ

Сапраўды (гл. рыс. 152), па тэа-рэме Піфагора
AB2 + AC2 = ВС2.
Рыс. 152
106
8 клас
Адсюль відаць, што ВС > АВ. Пры дадзеным АВ чым больш AC, тым больш ВС.
ФЗ а д а ч a (19). На старане АВ трохвугольніка ABC узя-ты пункт X. Дакажыце, што адрэзак СХ меншы пры-намсі за адну са старон AC ці ВС.
Рыс. 153
Р а ш э н н е. Правядзём вышыню CD трохвугольніка. У любым выпадку адрэзак DX меншы або AD (рыс. 153, а), або BD (рыс. 153, б). Па ўласцівасці нахіленых, праве-дзеных з аднаго пункта, адсюль вынікае, што адрэзак СХ меншы прынамсі за адзін з адрэзкаў AC ці ВС. Што і трэба было даказаць.
66.	НЯРОЎНАСЦЬ ТРОХВУГОЛЬНІКА
Калі пункты A і В розныя, то адлегласцю паміж імі назы-ваецца даўжыня адрэзка АВ. Калі пункты A і В супадаюць, то адлегласць паміж імі прымаецца роўнай нулю.
Тэарэма 7.3 (няроўнасць трохвугольніка). Якія б ні былі тры пункты, адлегласць паміж любымі двума з гэтых пунктаў не большая за суму адлегласцей ад іх да трэцяга пункта.
Гэта значыць, што кожная з гэтых адлегласцей меншая або роўна суме дзвюх другіх.
Доказ. Няхай A, В, С — тры дадзеныя пункты. Калі два пункты з трох або ўсе тры пункты супадаюць, то сцверджанне тэарэмы відавочна.
Калі ўсе пункты розныя і ляжаць на адной прамой, то адзін з іх ляжыць паміж двума другімі, напрыклад В. У гэтым
§ 7. Тэарэма Піфагора	107
выпадку AB + ВС = AC. Адсюль відаць, што кожная з трох адлегласцей не большая за суму дзвюх другіх.
Дапусцім цяпер, што пункты не ляжаць на адной прамой (рыс. 154). Дакажам, што АВ<,АС-\-ВС. Апусцім перпенды-куляр CD на прамую АВ. Па даказанаму AB ^ AD + BD. I па-колькі AD<.AC і BD cos В, г. зн. пры AD	।	х
ўзрастанні вугла косінус убывае.
Паколькі sin a = д 1 — cos2 a, а cos a ўбывае пры ўзрастанні вугла, to sin a ўзрастае. _	.	,	sin a .	.
Паколькі tg a =---------- i sin a
cos a
ўзрастае, a cos a ўбывае пры ўзра-станні a, to tg a ўзрастае пры ўзра-станні a. Тэарэма даказана.
• КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1.	Дайце азначэнне косінуса вострага вугла прамавугольнага трохвугольніка.
2.	Дакажыце, што косінус вугла залежыць толькі ад градус-най меры вугла і не залежыць ад размяшчэння і размераў трохвугольніка.
3.	Дакажыце тэарэму Піфагора.
4.	Дакажыце, што ў прамавугольным трохвугольніку гіпатэ-нуза болыпая за любы з катэтаў.
5.	Дакажыце, што cos a < 1 для вострага вугла a.
6.	Дакажыце, што калі з аднаго пункта да прамой праве-дзены перпендыкуляр і нахіленая, то любая нахіленая болыпая за перпендыкуляр. Роўныя нахіленыя маюць роў-ныя праекцыі, з дзвюх нахіленых большая тая, у якой праекцыя большая.
7.	Дакажыце няроўнасць трохвугольніка.
8.	Дакажыце, што ў трохвугольніку кожная старана меншая за суму дзвюх другіх старон.
9.	Дайце азначэнні сінуса і тангенса вострага вугла. Дакажы-це, што яны залежаць толькі ад градуснай меры вугла.
10.	Як выражаецца катэт прамавугольнага трохвугольніка праз гіпатэнузу і востры вугал, праз востры вугал і другі катэт?
11.	Дакажыце тоеснасці: sin2 a + cos2 a = 1.
1 + tg2 a
cos" a tg" a sin2 a
114
8 клас
12.	Дакажыце, што для любога вострага вугла a sin (90° — — a) = cos a, cos (90° — a) = sin a.
13.	Чаму роўны значэнні сінуса, косінуса і тангенса вуглоў 30°, 45°, 60°?
14.	Дакажыце, што sin a і tg a ўзрастаюць пры ўзрастанні вострага вугла a, а cos a ўбывае.
W ЗАДАЧЫ
1.	Пабудуйце вугал, косінус якога роўны: 1) 4; 2) —; 3) 0,5, 4) 0,8.	5	9
2.	У прамавугольнага трохвугольніка зададзены катэты а і Ь. Знайдзіце гіпатэнузу, калі: 1) a = 3; & = 4; 2) a = 1; b = 1; 3) a = 5, b = 6.
3.	У прамавугольнага трохвугольніка зададзены гіпатэнуза с і катэт а. Знайдзіце другі катэт, калі: 1) е = 5, о = 3; 2) е = 13, a = 5; 3) с = 6, a = 5.
4.	Дзве стараны прамавугольнага трохвугольніка роўны 3 м і 4 м. Знайдзіце трэцюю старану. (Два выпадкі.)
5.	Ці могуць стораны прамавугольнага трохвугольніка быць прапарцыянальныя лікам 5, 6, 7?
6.	Знайдзіце старану ромба, калі яго дыяганалі роўны: 1) 6 см і 8 см; 2) 16 дм і 30 дм; 3) 5 м і 12 м.
7.	Стораны прамавугольніка 60 см і 91 см. Чаму роўна дыя-ганаль?
8.	Дыяганаль квадрата а. Чаму роўна старана квадрата?
9.	Ці можна з круглага ліста жалеза дыяметрам 1,4 м вы-разаць квадрат са стараной 1 м?
10.	Знайдзіце вышыню раўнабокай трапецыі, у якой асновы 5 м і 11 м, а бакавая старана 4 м.