Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
3 а д а ч a (4). На рысунку 236 паказаны план сядзібы ў ( о маштабе 1:1000. Вызначце размеры сядзібы (даўжыню і шырыню).
§ 11. Падобнасць фігур
175
Р а ш э н н е. Даўжыня і шырыня сядзібы на плане роў-ны 4 см і 2,7 см. Паколькі план у маштабе 1:1000, то размеры сядзібы роўны адпаведна 2,7 X 1000 см = 27 (м), 4 X 1000 см = 40 (м).
101. УЛАСЦІВАСЦІ ПЕРАЎТВАРЭННЯ ПАДОБНАСЦІ
Гэтак жа, як і для руху, даказваецца, што пры пераўтва-рэнні падобнасці тры пункты A, В, С, якія ляжаць на адной прамой, пераходзяць у тры пункты А|, В\, С\, што таксама ляжаць на адной прамой. Прычым, калі пункт В ляжыць паміж пунктамі A і С, то пункт Bt ляжыць паміж пунктамі А| і Сі. Адсюль вынікае, што пераўтварэнне падобнасці пера-водзіць прамыя ў прамыя, паўпрамыя ў паўпрамыя, адрэзкі ў адрэзкі.
Дакажам, што пераўтварэнне падобнасці захоўвае вуглы паміж паўпрамымі.
Сапраўды, няхай вугал ABC пераўтварэннем падобнасці з каэфіцыентам k пераводзіцца ў вугал А\В\С\ (рыс. 237). Падвергнем вугал ABC пераўтварэнню гаматэтыі адносна яго вяршыні В з каэфіцыентам гаматэтыі k. Пры гэтым пункты A і С пяройдуць у пункты А2 і С2. Трохвугольнікі А2ВС2 і А\В\С\ роўныя па трэцяму прызнаку. 3 роўнасці трохвуголь-нікаў вынікае роўнасць вуглоў А2ВС2 і А\В\С\. Значыць, вуглы ABC і АіВ\С\ роўныя, што і трэба было даказапь.
102. ПАДОБНАСЦЬ ФІГУР
Дзве фігуры называюцца падобнымі, калі яны пераводзяцца адна ў адну пераўтварэннем падобнасці. Для абазначэння падобнасці фігур выкарыстоўваецца спецыяльны значок: сю.
176
9 клас
Запіс FooF' чытаецца так: «Фігура F падобная фігуры F'». Дакажам, што калі фігура F। падобная да фігуры F., а фігу pa F2 падобная да фігуры F , то фігура F\ і Fa падобныя.
Няхай Х| іУ| — два адвольныя пункты фігуры F\. Пераў-тварэнне падобнасці, што пераводзіць фігуру Ft у F2, пераво-дзіць гэтыя пункты ў пункты Х2) У2,для якіх X2Y2 =-ktXtYt.
Пераўтварэнне падобнасці, што пераводзіць фігуру F2 у Fa, пераводзіць пункты Х2, У2 У пункты Х3, У3, для якіх Х3У3 = = №У2.
3 роўнасцей
X2Y2 = k\X\Y], X2Ya = k2X2Y2
вынікае, што X3Y3 — ktk2XtY f А гэта значыць, пераўтварэнне фігуры F} у Fa, якое атрымліваецца пры паслядоўным выканан-ні двух пераўтварэнняў падобнасці, ёсць падобнасць. Значыць, фігуры Ft і F3 падобныя, што і трэба было даказаць.
У запісе падобнасці трохвугольнікаў /\АВС ео ДА|В|С| —• дапускаецца, што вяршыні, якія сумяшчаюцца пераўтварэннем падобнасці, стаяць на адпаведных месцах, г. зн. А пераходзіць у At, В — у В< і С — у Сі
3 уласцівасцей пераўтварэння падобнасці вынікае, што ў па добных фігур адпаведныя вуглы роўныя, а адпаведныя. адрэзкі прапарцыянальныя. У прыватнасці, у падобных трохвугольні-каў ABC і А\В\С\
АА= AAt, AB=ABt, AC=ACt;
АВ _ ВС _ AC AB, В,Сі — А\Су '
103. ПРЫЗНАК ПАДОБНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
ПА ДВУХ ВУГЛАХ
Т э а р э м a 11.2. Калі два вуглы аднаго трохвугольніка роў ныя двум вуглам другога трохвугольніка, то такія трохвуголь-нікі падобныя.
Доказ. Няхай у трохвугольнікаў ABC і А\В\С\ АА— = A At, АВ— АВ\. Дакажам, што /\АВС оо ДА|В|С|.
Няхай k = у^-. Падвергнем трохвугольнік A\B\C\ пераўтва-рэнню падобнабці з каэфіцыентам падобнасці й, напрыклад гаматэтыі (рыс. 238). Пры гэтым атрымаем некаторы трохву-гольнік А2В2С2, роўны трохвугольніку ABC. Сапраўды, паколь-кі пераўтварэнне падобнасці захоўвае вуглы, то АА2= A At, АВ2= АВ\. А значыць, у трохвугольнікаў ABC і А2В2С2 АА = АА2, АВ= АВ2. Далей, А_В, -^ kA B = АВ. Значыць, трохвугольнікі ABC і А2В2С2 роўныя па другому прызнаку (па старане і прылеглых да яе вуглах).
§ 11. Падобнасць фігур
177
Паколькі трохвугольнікі А\В\С\ і А2В2С2 гаматэтычныя і, значыць, падобныя, а трохвугольнікі A J^C? і ABC роўныя і та-му таксама падобныя, то трохвугольнікі А]В\С\ і ABC падоб-ныя. Тэарэма даказана.
уК Задача (15). Прамая, паралельная старане АВ тр >х-( ° вугольніка ABC, перасякае яго старану AC у пункце A,, a '—’ старану ВС у пункце В\. Дакажыце, што /\АВСоэ co △ A\В\С.
Рашэнне (рыс. 239). У трохвугольнікаў ABC і А\В\С вугал пры вяршыні С агульны, а вуглы СА\В\ і САВ роўныя як адпаведныя вуглы паралельных AB і А \В} з сякучай AC. Значыць, /\АВС co /\A\B\C па двух вуглах.
104. ПРЫЗНАК ПАДОБНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ ПА ДЗВЮХ СТАРАНАХ I ВУГЛУ ПАМІЖ ІМІ
Тэарэма 11.3. Калі дзве стараны аднаго трохвугольніка прапарцыянальныя дзвюм старанам другога трохнугол-ніка і вуглы, утвораныя гэтымі старанамі, роуныя, то трохвугсльлг'і падобныя.
178
9 клас
Доказ (аналагічны доказу тэарэмы 11.2). Няхай у трохву-гольнікаў ABC і А\В\С\ AC = АС\ і AC = kAiCi, ВС — kB\C\. Дакажам, што ААВСоо Д4|В|С|.
Падвергнем трохвугольнік А\В\С\ пераўтварэнню падобна-сці з каэфіцыентам падобнасці k, напрыклад гаматэтыі
(рыс. 240). Пры гэтым атрымаем некаторы трохвугольнік А2В2С2, роўны трохвугольніку ABC. Сапраўды, паколькі пераў-тварэнне падобнасці захоўвае вуглы, to АС2 — АС\. А зна-чыць, у трохвугольнікаў ABC і А2В2С2 AC = АС2. Далей, А2С2 = kA\C\ = AC, В2С2 = kA\B\ = ВС. Значыць, трохвугольні-кі ABC і А2В2С2 роўныя па першаму прызнаку (па дзвюх старанах і вуглу паміж імі).
Паколькі трохвугольнікі А\В}С\ і А2В2С2 гаматэтычныя і, значыць, падобныя, а трохвугольнікі А2В2С2 і ABC роўныя і та-му таксама падобныя, то трохвугольнікі A\B]C] і ABC падоб-ныя. Тэарэма даказана.
Рыс. 241
§ 11. Падобнасць фігур
179
\ Задача (31). У трохвугольніку ABC з вострым вуглом і С праведзены вышыні АЕ і BD (рыс. 241). Дакажыце, \_t што ДАВС co &EDC.
Р а ш э н н е. У трохвугольнікаў ABC і EDC вугал пры вяршыні С агульны. Дакажам прапарцыянальнасць ста-рон трохвугольнікаў, прылеглых да гэтага вугла. Маем: EC = AC cos у, DC = ВС cos у. Гэта значыць стораны, пры-леглыя да вугла С, у трохвугольнікаў прапарцыянальныя. Значыць, ЛАВС co &EDC па дзвюх старанах і вуглу па-між імі.
105. ПРЫЗНАК ПАДОБНАСЦІ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
ПА ТРОХ СТАРАНАХ
Тэарэма 11.4. Калі стораны аднаго трохвугольніка пра-парцыянальныя старанам другога трохвугольніка, то такія трохвугольнікі падобныя.
Доказ (аналагічны доказу тэарэмы 11.2). Няхай у трохву-гольнікаў ABC і А\В\С\ AB=kA\B\, AC = kA\C\, BC = kB\C\. Дакажам, што /\ ABC co &А\В\С\.
Падвергнем трохвугольнік А1ВІСІ пераўтварэнню падобна-сці з каэфіцыентам падобнасці k, напрыклад гаматэтыі (рыс. 242). Пры гэтым атрымаем некаторы трохвугольнік А2В2С2, роўны трохвугольніку ABC. Сапраўды, у трохвуголь-нікаў адпаведныя стораны роўныя:
у4 В > = kA \ В\ — AB, А0С2 = kA \C\ = AC\, B2C2 — kB\C। = BC.
Значыць, трохвугольнікі роўныя па трэцяму прызнаку (па трох старанах).
Паколькі трохвугольнікі А\В\С\ і А2В2С2 гаматэтычныя і, значыць, падобныя, а трохвугольнікі А2В2С2 і ABC роўныя і таму таксама падобныя, то трохвугольнікі А\В\С\ і ABC падобныя. Тэарэма даказана.
Рыс. 242
180
9 клас
3 а д а ч a (36). Дакажыце, што ў падобных трохвуголь-f о нікаў перыметры адносяцца як адпаведныя стораны.
Рашэнне. Няхай ABC і А\В\С\ — падобныя трохву-гольнікі. Тады стораны трохвугольніка А\В}С\ прапарцыя-нальныя старанам трохвугольніка ABC, гэта значыць А\В\ =kAB, В\С\ — kBC, AtCi = kAC. Складваючы гэтыя роўнасці пачленна, атрымаем:
А\В\ -\- В\С\ -\- А\С\ = k(AB -\- ВС -)- AC).
. А,В\ А ВіСі -\-А\С\ А\В\ А\С\_В\С\
АДСЮЛЬ АВ + ВС + АС - ^-АВ^-А^-ВС'
гэта значыць перыметры трохвугольнікаў адносяцца як адпаведныя стораны.
106. ПАДОБНАСЦЬ ПРАМАВУГОЛЬНЫХ ТРОХВУГОЛЬНІКАЎ
У прамавугольнага трохвугольніка адзін вугал прамы. Таму па тэарэме 11.2 для падобнасці двух прамавугольных трох-вугольнікаў дастаткова, каб у іх было па роўнаму востраму вуглу.
Пры дапамозе гэтага прызнаку падобнасці прамавугольных трохвугольнікаў дакажам некаторыя суадносіны ў трохвуголь-нікаў.
Няхай ABC — прамавугольны трохвугольнік з прамым вуглом С. Правядзём вышыню CD з вяршыні прамога вугла (рыс. 243).
Трохвугольнікі ABC і CBD маюць агульны вугал пры вяр-шыні В. Значыць, яны падобныя: A ABC co /\CBD. 3 падобна-сці трохвугольнікаў вынікае прапарцыянальнасць адпаведных старон:
АЁ.= м Ці bc = 4ab bd.
ВС BD' v
Гэту суадносіну звычайна фармулююць так: катэт прама-вугольнага трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае паміж гіпатэнузай і праекцыяй гэтага катэта на гіпатэнузу.
Прамавугольныя трохвугольнікі ACD і CBD таксама падоб-ныя. У іх роўныя вуглы пры вяршынях A і С. 3 падобнасці гэтых трохвугольнікаў вынікае прапарцыянальнасць іх старон:
^-■^с^АІАвЬ.
Гэту суадносіну звычайна фармулююць так: вышыня прамаву-гольнага трохвугольніка, праведзеная з вяршыні прамога вугла, ёсць сярздняе прапарцыянальнае паміж праекцыямі катэтаў на гіпатэнузу.
§ 11. Падобнасць фігур
181
Дакажам наступную ўласцівасць бісектрысы трохвуголь-ніка: бісектрыса трохвугольніка дзеліць процілеглую старану на адрэзкі, прапарцыянальныя дзвюм другім старанам.
Няхай CD — бісектрыса трохвугольніка ABC (рыс. 244). Калі трохвугольнік ABC раўнабедраны з асновай АВ, то да-дзеная ўласцівасць бісектрысы відавочная, таму што ў гэтым выпадку бісектрыса CD з’яўляецца і медыянай.
Разгледзім агульны выпадак, калі AC =А АВ. Апусцім пер-пендыкуляры AF і BE з вяршыні A і В на прамую CD.
Прамавугольныя трохвугольнікі ACF і ВСЕ падобныя, таму што ў іх роўныя вострыя вуглы пры вяршыні С. 3 падобнасці трохвугольнікаў вынікае прапарцыянальнасць старон:
AC _ AF ВС ~ BE '
Прамавугольныя трохвугольнікі ADF і BDE таксама падоб-ныя. У іх вуглы пры вяршыні D роўныя як вертыкальныя. 3 падобнасці трохвугольнікаў вынікае прапарцыянальнасць старон:
AF _ AD
~ВЁ ~BD'
Параўноўваючы гэту роўнасць з папярэдняй, атрымаем:
AC _ AD .AC _ ВС ~ВС BD Ц1 AD ~ BD'
г. зн. адрэзкі AD і BD прапарцыянальныя старанам AC і ВС, што і трэба было даказаць.
182
9 клас
107. ВУГЛЫ, УПІСАНЫЯ Ў АКРУЖНАСЦЬ
Вугал разбівае плоскасць на дзве часткі. Кожная з частак называецца плоскім вуглом. На рысунку 245 заштрыхаваны адзін з плоскіх вуглоў са старанамі а і Ь. Плоскія вуглы з агульнымі старанамі называюцца дадатковымі.
Калі плоскі вугал з’яўляецца часткай паўплоскасці, то яго градуснай мерай называецца градусная мера звычайнага вугла з тымі ж старанамі. Калі плоскі вугал змяшчае паўплоскасць, то яго градусная мера прымаецца роўнай 360° — а, дзе a — градусная мера дадатковага плоскага вугла (рыс. 246).
КНІГІ ОНЛАЙН
