Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
155. ПЕРАЎТВАРЭННЕ СІМЕТРЫІ
Ў ПРАСТОРЫ
Паняцце пераўтварэння для фігур у прасторы вызнача ецца гэтак жа, як і на плоскасці. Гэтак жа, як і на плос-касці, вызначаюцца пераўтварэнні сіметрыі адносна пункта і прамой.
274
10 клас
Акрамя сіметрыі адносна пунк-та і прамой у прасторы, разгля-даюць пераўтварэнне сіметрыі ад-носна плоскасці. Гэта пераўтва-рэнне заключаецца ў наступным (рыс. 382). Няхай a — адвольная фіксаваная плоскасць. 3 пунк-та X фігуры апускаем перпен-дыкуляр ХА на плоскасць a і на яго прадаўжэнні за пункт А ад-кладваем адрэзак АХ', роўны ХА. Пункт X' называецца сіметрычным пункту X адносна плоскасці a,
а пераўтварэнне, якое пераводзіць пункт X у сіметрычны яму пункт Х', называецца пераўтварэннем сіметрыі адносна плос-касці a.
Калі пункт X ляжыць у плоскасці a, то лічыцца, што пункт X пераходзіць у сябе. Калі пераўтварэнне сіметрыі адносна плоскасці a пераводзіць фігуру ў сябе, то фігура на-зываецца сіметрычнай адносна плоскасці а, а плоскасць a называецца плоскасцю сіметрыі гэтай фігуры.
Задача (17). Дадзены пункты (1; 2; 3), (0; —1; 2), і ■ (1; 0; —3). Знайдзіце пункты, сіметрычныя дадзеным
адносна каардынатных плоскасцей.
Ра шэ нне. Пункт, сіметрычны пункту (1; 2; 3) адносна плоскасці ху, ляжыць на прамой, перпендыкулярнай плоскасці ху. Таму яна мае тыя ж каардынаты х і у. х = 1, у = 2. Сіметрычны пункт знаходзіцца на той жа адлегласці ад плоскасці ху, але па другі бок ад яе. Таму каардыната z у яе адрозніваецца толькі знакам, г. зн. z= —3. Такім чынам, пункт, сіметрычны пункту (1; 2; 3) адносна плоскасці ху, будзе (1; 2; —3). Для іншых пунк-7аў і іншых каардынатных плоскасцей рашэнне анала-гічнае.
156. СІМЕТРЫЯ Ў ПРЫРОДЗЕ
I НА ПРАКТЫЦЫ
Сіметрыя шырока распаўсюджана ў прыродзе. Яе можна назіраць у форме лісця і кветак раслін, у размяшчэнні розных органаў жывёл, у форме крышталічных цел (рыс. 383).
Сіметрыя шырока выкарыстоўваецца на практыцы, у будаў-ніцтве і тэхніцы (рыс. 384).
§18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
275
276
10 клас
Рыс. 384
§18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
277
157. РУХ У ПРАСТОРЫ
Рух у прасторы вызначаецца таксама, як і на плоскасці. Менавіта: рухам называецца пераўтварэнне, пры якім захоў-ваюцца адлегласці паміж пунктамі.
Літаральна гэтак жа, як і для руху на плоскасці, даказваецца, што пры руху ў прасторы прамыя пераходзяць у прамыя, паўпрамыя — у паўпрамыя, адрэзкі — у адрэзкі і захоўваюцца вуглы паміж паўпрамымі.
Новай уласцівасцю руху ў прасторы з’яўляецца тое, што рух пераводзіць плоскасці ў плоскасці.
Дакажам гэту ўласцівасць. Няхай a — адвольная плоскасць (рыс. 385). Адзначым на ёй любыя тры пункты A, В, С, якія не ляжаць на адной прамой. Пры руху яны пяройдуць у тры пункты А', В', С', якія таксама не ляжаць на адной пра-мой. Правядзём праз іх плоскасць а'. Дакажам, што пры руху, які мы разглядаем, плоскасць a пераходзіць у плос-касць а'.
Рыс. 385
Няхай X — адвольны пункт плоскасці а. Правядзём праз яго якую-небудзь прамую а ў плоскасці а, якая перасякае трохвугольнік ABC у двух пунктах Y і Z. Прамая а пяройдзе пры руху ў некаторую прамую а'. Пункты У і Z прамой a пяройдуць у пункты Y' і Z', якія належаць трохвугольніку А'В'С', а значыць, плоскасці а'. Такім чынам, прамая а' ля-жыць у плоскасці а'. Пункт X пры руху пераходзіць у пункт X' прамой а', а значыць, і плоскасці а', што і трэба было даказаць.
У прасторы, таксама як і на плоскасці, дзве фігуры назы-ваюцца роўнымі, калі яны сумяшчаюцца рухам.
278
10 клас
158. ПАРАЛЕЛЬНЫ ПЕРАНОС У ПРАСТОРЫ
Паралельным пераносам у прасторы называецца такое пе-раўтварэнне, пры якім адвольны пункт (х; у; z) фігуры перахо-дзіць у пункт (х -\- a; у -\- b; z -\- с), дзе лікі а, Ь, с адны і тыя ж для ўсіх пунктаў (х; у; z). Паралельны перанос у прасторы задаецца формуламі
х' = х -\- а, у' = у 4- b, z' = z -}- с,
што выражаюць каардынаты х', у', z' пункта, у які пераходзіць пункт (х; у; z) пры паралельным пераносе. Гэтак жа, як і на плоскасці, даказваюцца наступныя ўласцівасці паралельнага пераносу:
1. Паралельны перанос ёсць рух.
2. Пры паралельным пераносе пункты зрушваюцца па па-ралельных (або якія супадаюць) прамых на адну і тую ж адлегласць.
3. Пры паралельным пераносе кожная прамая пераходзіць у паралельную ёй прамую (або ў сябе).
4. Якія б ні былі пункты А іА', існуе адзіны паралельны пе-ранос, пры якім пункт А пераходзіць у пункт А'.
Задача (23). Знайдзіце значэнні а, Ь, с у формулах паралельнага пераносу х' = х + а, у' — у -j- b, z' = z -\- с, калі пры гэтым паралельным пераносе пункт А( 1; 0; 2) пе-раходзіць у пункт А'(2; 1; 0).
Р а ш э н н е. Падстаўляючы ў формулы паралельнага пераносу каардынаты пунктаў А і А', г. зн. х = 1, у = 0, z = 2, х' = 2, у' = 1, z' = 0, атрымаем ураўненні, з якіх вы-значаюцца а, Ь, с:
2 = 1+ а, 1 = 0 + Ь, 0 = 2 +е.
Адсюль a = 1, & = 1, с = — 2.
Новай для паралельнага пераносу ў прасторы з’яўляецца наступная ўласцівасць:
5. Пры паралельным пераносе ў прасторы кожная плос-касць пераходзіць або ў сябе, або ў паралельную ёй плоскасць.
Сапраўды, няхай a — адвольная плоскасць (рыс. 386). Правядзём у гэтай плоскасці дзве прамыя а і Ь, што перася-
Рыс. 386
$ 18. Джартавы каардынагы і вектары ў прасторы
279
каюцца. Пры паралельным пераносе прамыя a і b пераходзяць або ў сябе, або ў паралельныя прамыя а' і Ь'. Плоскасць a пераходзіць у некаторую плоскасць а\ якая праходзіць праз прамыя а' і Ь'. Калі плоскасць а' не супадае з a, то па тэарэме 16.4 яна паралельная а, што і трэба было даказаць.
159. ПАДОБНАСЦЬ ПРАСТОРАВЫХ ФІГУР
Пераўтварэнне падобнасці ў прасторы вызначаецца таксама, як і на плоскасці. Менавіта: пераўтварэнне фігуры F называец-ца пераўтварэннем падобнасці, калі пры гэтым пераўтварэнні адлегласці паміж пунктамі змяняюцца ў адзін і той жа лік ра-зоў, г. зн. для любых двух пунктаў X і У фігуры F і пунктаў Х', Y' фігуры F', у якія яны пераходзяць, X'Y' = k • XY.
Таксама, як і на плоскасці, пераўтварэнне падобнасці ў пра-сторы пераводзіць прамыя ў прамыя, паўпрамыя ў паўпрамыя, адрэзкі ў адрэзкі і захоўвае вуглы паміж паўпрамымі. Такімі ж разважаннямі, як у п. 157, даказваецца, што пераўтварэн-не падобнасці пераводзіць плоскасці ў плоскасці. Таксама, як і на плоскасці, дзве фігуры называюцца падобнымі, калі яны пераводзяцца адна ў другую пераўтварэннем падобнасці.
Найпрасцейшым пераўтварэннем падобнасці ў прасторы з’яўляецца гаматэтыя. Таксама, як і на плоскасці, гаматэтыя адносна цэнтра О з каэфіцыентам гаматэтыі k — гэта пераўтва-рэнне, якое пераводзіць адвольны пункт X у пункт X' праменя ОХ, такі, што OX' = k ■ OX.
Пераўтварэнне гаматэтыі ў прасторы пераводзіць любую плоскасць, якая не праходзіць праз цэнтр гаматэтыі, у пара-лельную плоскасць (ці ў сябе пры А = 1).
Сапраўды, няхай О — цэнтр га-
матэтыі і a — любая плоскасць, якая не праходзіць праз пункт О (рыс. 387). Возьмем любую прамую АВ у плоскасці а. Пераўтварэнне гаматэтыі пераводзіць пункт А ў пункт А' на прамені ОА, а пункт В у пункт В' на прамені ОВ, прычым ОА' , ОВ' , , , . ~0А = «, ~ов-= «’ Дзе « — каэфі-цыент гаматэтыі. Адсюль вынікае падобнасць трохвугольнікаў АОВ і А'ОВ'. 3 падобнасці трохвугольні-каў вынікае роўнасць адпаведных вуглоў ОАВ і ОА'В', а значыць, паралельнасць прамых АВ і А'В'.
280
10 клас
Возьмем цяпер другую прамую AC у плоскасці а. Яна пры гаматэтыі пяройдзе ў паралельную прамую А'С'. Пры разгля-даемай гаматэтыі плоскасць а пяройдзе ў плоскасць а', якая праходзіць праз прамыя А'В', А'С'. Паколькі А'В'ЦАВ і А'С' \\АС, то гіа тэарэме 16.4 плоскасці а і а' паралельныя, што і трэба было даказаць.
160. ВУГАЛ ПАМІЖ ПРАМЫМІ, ЯКІЯ СКРЫЖОЎВАЮЦЦА
Дзве прамыя, якія перасякаюцца, утвараюць сумежныя і вертыкальныя вуглы. Вертыкальныя вуглы роўныя, а сумеж-ныя вуглы дапаўняюць адзін аднаго да 180°. Вуглавая мера меншага з іх называецца вуглом паміж прамымі. Вугал паміж перпендыкулярнымі прамымі роўны 90° па азначэнню. Вугал паміж паралельнымі прамымі лічым роўным нулю.
Вуглом паміж прамымі, якія скрыжоўваюцца, называецца вугал паміж паралельнымі ім прамымі, што перасякаюцца.
Гэты вугал не залежыць ад таго, якія ўзяты прамыя, што пе-расякаюцца. Дакажам гэта.
Няхай аі і Ь\ — прамыя, якія перасякаюцца ў пункце А і паралельныя дадзеным прамым а і Ь, што скрыжоўваюцца (рыс. 388). Няхай а2 і Ь> — іншыя прамыя, якія перасякаюцца ў пункце В і паралельныя дадзеным. Па тэарэме 16.2 прамыя аі і а2 паралельныя (або супадаюць) і прамыя bt і Ь? паралель-ныя (або супадаюць).
Выканаем паралельны перанос, пры якім пункт А перахо-дзіць у пункт В. Паколькі пры паралельным пераносе кожная прамая пераходзіць або ў сябе, або ў паралельную прамую, то дадзены паралельны перанос пераводзіць прамую аі ў пра-мую а2, а прамую Ь\ — у прамую Ь2. Паколькі паралельны
Рыс. 388
Рыс. 389
§ 18. Дэкартавы каардынаты і вектары ў прасторы
281
перанос захоўвае велічыню вугла, то вугал паміж прамымі а\ і Ьі роўны вуглу паміж прамымі а^ і b,. А гэта і трэба было даказаць.
Па дадзенаму раней азначэнню перпендыкулярнымі назы-ваюцца прамыя, якія перасякаюцца пад прамым вуглом. Аднак часам прамыя, якія скрыжоўваюцца, таксама назы-ваюць перпендыкулярнымі, калі вугал паміж імі роўны 90°.
Задача (33). Дакажыце, што любая прамая на плос-касці, перпендыкулярная праекцыі нахіленай на гэту плоскасць, перпендыкулярная і нахіленай. I наадварот, калі прамая на плоскасці перпендыкулярная нахіленай, то яна перпендыкулярная і праекцыі нахіленай.
Р а ш э н н е. Няхай АВ — перпендыкуляр да плоскасці
a, AC — нахіленая і с — прамая ў плоскасці а, перпенды-кулярная ВС (рыс. 389). Правядзём праз аснову С нахі-ленай прамую Сі||с.
Па тэарэме аб трох перпендыкулярах Сі перпенды-кулярная нахіленай AC. А паколькі вугал паміж пра-мой с і нахіленай AC роўны вуглу паміж прамымі AC і С\, то прамая с таксама перпендыкулярная нахі-ленай AC.
Наадварот: калі прамая с перпендыкулярная нахіле-най AC, то прамая с, таксама перпендыкулярная ёй, a значыць, па тэарэме аб трох перпендыкулярах і яе праек-цыі ВС. Паколькі с||сі, to с V BC.
161. ВУГАЛ ПАМІЖ ПРАМОЙ I ПЛОСКАСЦЮ
Вызначым паняцце вугла паміж прамой і плоскасцю.
КНІГІ ОНЛАЙН
