Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Аналагічна даказваецца паралельнасць і роўнасць любых дзвюх іншых процілеглых граней паралелепіпеда. Тэарэма даказана.
§19. Мнагаграннікі
303
173. ЦЭНТРАЛЬНАЯ СІМЕТРЫЯ
ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА
Т э а р э м a 19.3. Дыяганалі паралелепі-педа перасякаюцца ў адным пункце і пунк-там перасячэння дзеляцца папалам.
Д о к а з. Разгледзім якія-небудзь дзве дыяганалі паралелепіпеда, напрыклад АіАз і А4А2 (рыс. 414). Паколькі чатырох-вугольнікі А1А2А3А4 і А2А2А3А3—пара-лелаграмы з агульнай стараной А2А3, то іх стораны А\А\ і А2А3 паралельныя адна адной, а значыць, ляжаць у адной плоска-сці. Гэта плоскасць перасякае плоскасці процілеглых граней паралелепіпеда па па-ралельных прамых А1А2 і А4А3. Значыць,
Рьіс. 414
чатырохвугольнік A4A1A2A3— паралелаграм. Дыяганалі па-
ралелепіпеда А1А3 і А4А2 з’яўляюцца дыяганалямі гэтага
паралелаграма. Таму яны перасякаюцца і пунктам перасячэн-
ня О дзеляцца папалам.
Аналагічна даказваецца, што дыяганалі А1А3 і А2А4, a таксама дыяганалі А1А3 і А3Аі перасякаюцца і пунктам пера-сячэння дзеляцца папалам. Адсюль робім вывад, што ўсе
чатыры дыяганалі паралелепіпеда перасякаюцца ў адным пункце і пунктам перасячэння дзеляцца папалам. Тэарэма
даказана.
3 тэарэмы 19.3 вынікае, што пункт перасячэння дыягана-лей паралелепіпеда з'яўляецца яго цэнтрам сіметрыі.
174. ПРАМАВУГОЛЬНЫ ПАРАЛЕЛЕПІПЕД
Прамы паралелепіпед, у якога асновай з’яўляецца прама-вугольнік, называецца прамавугольным паралелепіпедам. У прамавугольнага паралелепіпеда ўсе грані — прамавуголь-нікі.
Прамавугольны паралелепіпед, у якога ўсе канты роўныя, называецца кубам.
Даўжыні непаралельных кантаў прамавугольнага парале-лепіпеда называюцца яго лінейнымі размерамі (вымярэннямі). У прамавугольнага паралелепіпеда тры вымярэнні.
Тэарэма 19.4. У прамавугольным паралелепіпедзе квадрат любой дыяганалі роўны суме квадратаў трох яго вымярэнняў.
304
11 клас
Доказ. Разгледзім (рыс. 415) прамавугольны паралелепіпед ABCDA'B'C'D'. 3 прамавугольнага трохвугольніка АС'С па тэарэме Піфагора атрымліваем:
AC'2 = AC2 + СС'2.
3 прамавугольнага трохвугольніка АСВ па тэарэме Піфагора атрымлі-ваем: AC2 = AB2-f-ВС2. Адсюль
AC'2 = СС'2 + АВ2 + ВС2.
Канты AB, ВС і СС' не паралель-ныя, а значыць, іх даўжыні з’яўляюцца лінейнымі размерамі паралелепіпеда. Тэарэма даказана.
175. СІМЕТРЫЯ ПРАМАВУГОЛЬНАГА ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА
У прамавугольнага паралелепіпеда, як у любога парале-лепіпеда, ёсць цэнтр сіметрыі — пункт перасячэння яго дыяга-налей. У яго ёсць таксама тры плоскасці сіметрыі, якія пра-ходзяць праз цэнтр сіметрыі паралельна граням. На рысунку 416 паказана адна з такіх плоскасцей. Яна праходзіць праз сярэдзіны чатырох паралельных кантаў паралелепіпеда. Кан-цы кантаў з’яўляюцца сіметрычнымі пунктамі.
Калі ў паралелепіпеда ўсе лінейныя размеры розныя, то ў яго няма іншых плоскасцей сіметрыі, акрамя тых, што названы.
Калі ж у паралелепіпеда два лінейныя размеры роўныя, то ў яго ёсць яшчэ дзве плоскасці сіметрыі. Гэта плоскасці дыяганальных сячэнняў, якія паказаны на рысунку 417.
Рыс. 416
Рыс. 417
§ 19. Мнагаграннікі
305
Калі ў паралелепіпеда ўсе лінейныя размеры роўныя, г. зн. ён з’яўляецца кубам, то ў яго плоскасць любога дыяганальнага сячэння з’яўляецца плоскасцю сіметрыі. Такім чынам, у куба дзевяць плоскасцей сіметрыі.
176. ПІРАМІДЛ
Пірамідай называецца мнагаграннік, які складаецца з плос-кага многавугольніка — асновы піраміды, пункта, які не ля-жыць у плоскасці асновы,— вярійыні піраміды і ўсіх адрэзкаў, што злучаюць вяршыню піраміды з пунктамі асновы (рыс. 418).
Адрэзкі, якія злучаюць вяршыню піраміды з вяршынямі асновы, называюцца бакавымі кантамі.
Паверхня піраміды складаецца з асновы і бакавых граней. Кожная бакавая грань — трохвугольнік. Адной з яго вяршынь з’яўляецца вяршыня піраміды, а процілеглай стараной — старана асновы піраміды.
Вышынёй піраміды называецца перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні піраміды на плоскасць асновы.
Піраміда называецца л-вугольнай, калі яе асновай з’яўляец-ца л-вугольнік. Трохвугольная піраміда называецца таксама тэтраэдрам.
У піраміды, якая паказана на рысунку 418, аснова — многавугольнік АіА2—Ап, вяршыня піраміды — S, бакавыя канты — SAi, SA^, ..., SAn, бакавыя грані— Д8АіА2, △ SA2A3, ... .
У далейшым мы будзем разглядаць толькі піраміды з выпуклым многавугольнікам у аснове. Такія піраміды з’яў-ляюцца выпуклымі мнагаграннікамі.
Рыс. 418
306
11 клас
177. ПАБУДАВАННЕ ПІРАМІДЫ I ЯЕ ПЛОСКІХ СЯЧЭННЯЎ
У адпаведнасці з правіламі паралельнага праектавання відарыс піраміды будуецца наступным чынам. Спачатку будуецца аснова. Гэта будзе некаторы плоскі многавугольнік. Потым адзначаецца вяршыня піраміды, якая злучаецца бака-вымі кантамі з вяршынямі асновы. На рысунку 418 паказаны відарыс пяцівугольнай піраміды.
Сячэнні піраміды плоскасцямі, якія праходзяць праз яе вяршыню, уяўляюць сабой трохвугольнікі (рыс. 419). У прыват-насці, трохвугольнікамі з’яўляюцца дыяганальныя сячэнні. Гэта сячэнні плоскасцямі, якія праходзяць праз два несуседнія бакавыя канты піраміды (рыс. 420).
Сячэнне піраміды плоскасцю з зададзеным следам g на плоскасці асновы будуецца таксама, як і сячэнне прызмы. Для пабудавання сячэння піраміды плоскасцю дастаткова па-будаваць перасячэнні яе бакавых граней з сякучай плоскасцю.
Калі на грані, не паралельнай следу g, вядомы які-небудзь пункт А, які належыць сячэнню, то спачатку будуецца пера-сячэнне следу g сякучай плоскасці з плоскасцю гэтай грані — пункт D на рысунку 421. Пункт D злучаецца з пунктам А пра-мой. Тады адрэзак гэтай прамой, які належыць грані, ёсць перасячэнне гэтай грані з сякучай плоскасцю. Калі пункт A ляжыць на грані, паралельнай следу g, то сякучая плоскасць перасякае гэту грань па адрэзку, паралельнаму прамой g. Пера-ходзячы да суседняй бакавой грані, будуюць яе перасячэнне з сякучай плоскасцю і г. д. У выніку атрымліваецца патрабуемае сячэнне піраміды.
Рыс. 419
Рыс. 420
§19. Мнагаграннікі
307
Рыс. 422
На рысунку 422 пабудавана сячэнне чатырохвугольнай піраміды плоскасцю, якая праходзіць праз старану асновы і пункт А на адным з яе бакавых кантаў.
178. УСЕЧАНАЯ ПІРАМІДА
Тэарэма 19.5. Плоскасць, якая паралельная аснове піра-міды і перасякае яе, адсякае падобную піраміду.
Д о к а з. Няхай S — вяршыня піраміды, A — вяршыня асно-вы і А' — пункт перасячэння сякучай плоскасці з бакавым кантам SA (рыс. 423). Падвергнем піраміду пераўтварэнню гаматэтыі адносна вяршыні S з каэфіцыентам гаматэтыі
. SA' k=~SA-
Пры гэтай гаматэтыі плоскасць асновы пераходзіць у паралель-ную плоскасць, якая праходзіць праз пункт А', г. зн. у сякучую плоскасць, а значыць, уся піраміда — у адсякаемую гэтай плос-касцю частку. Паколькі гаматэтыя ёсць пераўтварэнне падоб-насці, то адсякаемая частка піраміды з’яўляецца пірамідай, падобнай да дадзенай. Тэарэма даказана.
Па тэарэме 19.5 плоскасць, якая паралельная плоскасці асновы піраміды і перасякае яе бакавыя канты, адсякае ад яе падобную піраміду. Другая частка ўяўляе сабой мнагаграннік, які называецца ўсечанай пірамідай (рыс. 424). Грані ўсечанай піраміды, якія ляжаць у паралельных плоскасцях, называюцца асновамі; астатнія грані называюцца бакавымі гранямі.
308
11 клас
Асновы ўсечанай піраміды ўяўляюць сабой падобныя (больш таго, гаматэтычныя) многавугольнікі, бакавыя грані — трапе-цыі.
3 а д а ча (54). Бакавы кант піраміды падзелены на ча-тыры роўныя часткі і праз пункты дзялення праведзены плоскасці, паралельныя аснове. Плошча асновы роўна 400 см2. Знайдзіце плошчы сячэнняў.
Р а ш э н н е. Сячэнні падобныя аснове піраміды з каэфі-цыентамі падобнасці A, A і А. Плошчы падобных фігур адносяцца, як квадраты лінейных размераў. Таму адносі-ны плошчаў сячэнняў да плошчы асновы піраміды ёсць ( ^2, ( ^ 2 і ( ^ ’. Значыць, плошчы сячэнняў роўны
400 •( 4)2=25 (см2)’400 4)2=100 (см2)>
400 7 2 = 225 (см2).
179. ПРАВІЛЬНАЯ ПІРАМІДА
Піраміда называецца правільнай, калі яе асновай з’яўляец-ца правільны многавугольнік, а аснова вышыні супадае з цэнтрам гэтага многавугольніка. Воссю правільнай піраміды называецца прамая, якая змяшчае яе вышыню. Відавочна, у правільнай піраміды бакавыя канты роўныя, значыць, бакавыя грані — роўныя раўнабедраныя трохвугольнікі.
§19. Мнагаграннікі
309
Вышыня бакавой грані правільнай піраміды, праведзеная з яе вяршыні, называецца апафемай. Бакавой паверхняй пірамі-ды называецца сума плошчаў яе бакавых граней.
Тэарэма 19.6. Бакавая паверхня правільнай піраміды роўна здабытку паўперыметра асновы на апафему.
Доказ. Калі старана асновы a, а лік старон п, то бакавая паверхня піраміды роўна
al anl рі ~2П 2 ~2 ’
дзе I — апафема, a р — перыметр асновы піраміды. Тэарэма даказана.
Усечаная піраміда, якая атрымліваецца з правільнай піраміды, таксама называецца правільнай. Бакавыя грані пра-вільнай усечанай піраміды — роўныя раўнабокія трапецыі; іх вышыні называюцца апафемамі.
Задача (69). Дакажыце, што бакавая паверхня пра-вільнай усечанай піраміды роўна здабытку паўсумы перы-метраў асноў на апафему.
Р а ш э н н е. Бакавыя грані ўсечанай піраміды — трапе-цыі з адной і той жа верхняй асновай а, ніжняй b і вышы-нёй (апафемай) I. Таму плошча адной грані роўна |(а + Ь)1. Плошча ўсіх граней, г. зн. бакавая паверхня, роўна ^■(ап + Ьп)1, дзе п — лік вяршынь у асновы піраміды, ап і Ьп. — перыметры асноў піраміды.
180. ПРАВІЛЬНЫЯ МНАГАГРАННІКІ
Выпуклы мнагаграннік называецца правільным, калі яго грані з’яўляюцца правільнымі многавугольнікамі з адным і тым жа лікам старон і ў кожнай вяршыні мнагагранніка зыходзіцца адзін і той жа лік кантаў.
Існуе пяць тыпаў правільных выпуклых мнагаграннікаў (рыс. 425): правільны тэтраэдр, куб, актаэдр, дадэкаэдр, іка-саэдр.
У правільнага тэтраэдра грані — правільныя трохвугольні-кі, у кожнай вяршыні зыходзяцца па тры канты. Тэтраэдр уяўляе сабой трохвугольную піраміду, у якой усе канты роў-ныя.
У куба ўсе грані — квадраты; у кожнай вяршыні зыхо-дзяцца па тры канты. Куб уяўляе сабой прамавугольны паралелепіпед з роўнымі кантамі.
310
11 клас
Тэтроэдр Куб Актаэдр Дадэкаэдр Ікасаэдр
Рыс. 425
У актаэдра грані — правільныя трохвугольнікі, але ў адроз-ненне ад тэтраэдра ў кожнай яго вяршыні зыходзяцца па чатыры канты.
КНІГІ ОНЛАЙН
