Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Задача (47). Дакажыце, што цэнтр шара, апісанага С ° каля правільнай піраміды, ляжыць на яе восі.
I _/ Р а ш э н н е. Апусцім перпендыкуляр ОА з цэнтра шара
О на плоскасць асновы піраміды (рыс. 462). Няхай X — адвольная вяршыня асновы піраміды. Па тэарэме Піфа-гора
AX2 = OX2 — ОА2 = R2 — ОА2.
Такім чынам, АХ — адно і тое ж для любой вяршыні асновы піраміды. А гэта значыць, што пункт А з’яў-ляецца цэнтрам акружнасці, апісанай каля асновы піраміды. Значыць, цэнтр шара О ляжыць на восі пірамі-
ДЫ.
Рыс. 462
332
11 клас
193. АБ ПАНЯЦЦІ ЦЕЛА I ЯГО ПАВЕРХНІ Ў ГЕАМЕТРЫІ
У папярэднім выкладанні мы неаднаразова ўжывалі сло-вы — цела і паверхня цела, укладваючы ў іх змест вядомыя вам наглядныя ўяўленні. Цяпер мы дадзім азначэнне паняцця геаметрычнага цела і яго паверхні.
Пункт фігуры называецца ўнутраным, калі існуе шар з цэнт-рам у гэтым пункце, які цалкам належыць фігуры. Фігура называецца вобласцю, калі ўсе яе пункты ўнутраныя і калі любыя два яе пункты можна злучыць ломанай, якая цалкам належыць фігуры. Растлумачым дадзенае азначэнне на пры-кладзе шара (рыс. 463).
Кожны пункт шара, які аддалены ад яго цэнтра на адлег-ласць г, меншую за R, з’яўляецца ўнутраным пунктам шара, таму што шар з цэнтрам у гэтым пункце і радыусам R — г змяшчаецца ў зыходным шары радыуса R. Усе пункты шара, якія аддалены ад цэнтра на адлегласць, меншую за R, утва-раюць вобласць. На самай справе, любыя два такія пункты A і В злучаюцца адрэзкам АВ, усе пункты якога аддалены ад цэнтра на адлегласць, меншую за R.
Пункт прасторы называецца гранічным пунктам дадзенай фігуры, калі любы шар з цэнтрам у гэтым пункце змяшчае як пункты, што належаць фігуры, так і пункты, якія не нале-жаць ёй. Для шара гранічнымі пунктамі з’яўляюцца пункты, якія аддалены ад пункта О на адлегласць, роўную R, г. зн. мяжа шара ёсць сфера. Для кожнага такога пункта С можна знайсці ў кожным шары з цэнтрам С і радыусам г > 0 пункты Сі і С2, якія знаходзяцца ад пункта О на адлегласці, большай за R, і на адлегласці, меншай за R. Вобласць разам з яе мяжой называецца замкнутай вобласцю.
Целам называецца канечная замкнутая вобласць. Мяжа цела называецца паверхняй цела. Шар з’яўляецца прыкладам
цела. Іншымі знаёмымі вам пры-кладамі цел з’яўляюцца мнагагран-нікі, цыліндр і конус.
Падобна да таго як у прасторы, на плоскасці ўводзяцца паняцці ўнутранага пункта фігуры, граніч-нага пункта і вобласці. Гранічныя пункты вобласці ўтвараюць мяжу вобласці. У крузе радыуса R пунк-ты, якія знаходзяцца на адлегласці, меншай за R ад цэнтра,— унутра-ныя, а пункты, што знаходзяцца на адлегласці R,— гранічныя. Круг — замкнутая вобласць.
Рыс. 463
§ 20. Целы вярчэння
333
Плоскі многавугольнік — гэта абмежаваная замкнутая вобласць на плоскасці, мяжа якой з’яўляецца многавуголь-нікам.
Q КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
•
1. Растлумачце, што такое кругавы цыліндр (утваральная цы-ліндра, асновы і бакавая паверхня цыліндра).
2. Які цыліндр называецца прамым?
3. Што такое радыус цыліндра, вышыня цыліндра, вось цы-ліндра, восевае сячэнне цыліндра?
4. Дакажыце, што плоскасць, паралельная плоскасці асновы цыліндра, перасякае яго бакавую паверхню па акруж-насці, роўнай акружнасці асновы.
5. Што такое прызма, упісаная ў цыліндр (апісаная каля цыліндра)? Што такое датычная плоскасць да цыліндра?
6. Што такое кругавы конус, вяршыня конуса, утваральная конуса, аснова конуса, бакавая паверхня конуса?
7. Які конус называецца прамым?
8. Што такое вышыня конуса, вось конуса, восевае сячэнне конуса?
9. Дакажыце, што плоскасць, перпендыкулярная плоскасці асновы конуса, перасякае бакавую паверхню па акружнасці з цэнтрам на восі конуса.
10. Што такое ўсечаны конус?
11. Якая піраміда называецца ўпісанай у конус (апісанай каля конуса)? Што такое датычная плоскасць да конуса?
12. Што такое шар (шаравая паверхня, або сфера)?
13. Што такое радыус шара, дыяметр шара? Якія пункты шара называюцца дыяметральна процілеглымі?
14. Дакажыце, што перасячэнне шара з плоскасцю ёсць круг.
15. Якая плоскасць называецца дыяметральнай плоскасцю шара? Што такое вялікі круг?
16. Дакажыце, што любая дыяметральная плоскасць шара з’яўляецца яго плоскасцю сіметрыі; цэнтр шара з’яўляецца яго цэнтрам сіметрыі.
17. Якая плоскасць называецца датычнай да шара?
18. Дакажыце, што датычная плоскасць мае з шарам толькі адзін агульны пункт — пункт дотыку.
19. Якая прамая называецца датычнай да шара?
20. Дакажыце, што лінія перасячэння дзвюх сфер ёсць акруж-насць.
21. Які мнагаграннік называецца ўпісаным у шар (апісаным каля шара)?
334
11 клас
ЗАДАЧЫ
1. Радыус асновы цыліндра 2 м, вышыня 3 м. Знайдзіце дыяганаль восевага сячэння.
2. Восевае сячэнне цыліндра — квадрат, плошча якога Q. Знайдзіце плошчу асновы цыліндра.
3. Вышыня цыліндра 6 см, радыус асновы 5 см. Знайдзіце плошчу сячэння, праведзенага паралельна восі цыліндра на адлегласці 4 см ад яе.
4. Вышыня цыліндра 8 дм, радыус асновы 5 дм. Цыліндр перасечаны плоскасцю так, што ў сячэнні атрымаўся квадрат. Знайдзіце адлегласць ад гэтага сячэння да восі (рыс. 464).
5. Вышыня цыліндра 6 дм, радыус асновы 5 дм. Канцы дадзе-нага адрэзка АВ, роўнага 10 дм, ляжаць на акружнасцях абедзвюх асноў. Знайдзіце найкарацейшую адлегласць ад яго да восі.
6. У роўнастароннім цыліндры (дыяметр роўны вышыні цыліндра) пункт акружнасці верхняй асновы злучаны з пунктам акружнасці ніжняй асновы. Вугал паміж радыу-самі, праведзенымі ў гэтыя пункты, роўны 60°. Знайдзіце вугал х паміж праведзенай прамой і воссю цыліндра (рыс. 465).
7. У цыліндр упісана правільная шасцівугольная прызма. Знайдзіце вугал паміж дыяганаллю яе бакавой грані і воссю цыліндра, калі радыус асновы роўны вышыні цы-ліндра.
Рыс. 464
Рыс. 465
§ 20. Целы вярчэння
335
Рыс. 466
Рыс. 467
8. Вышыня цыліндра 2 м. Радыус асноў 7 м. У гэты цыліндр нахілена ўпісаны квадрат так, што ўсе вяршыні яго ля-жаць на акружнасцях асноў. Знайдзіце старану квадрата (рыс. 466).
9. Радыус асновы конуса 3 м, вышыня 4 м. Знайдзіце ўтва-ральную.
10. Утваральная конуса I нахілена да плоскасці асновы пад вуг-лом 30°. Знайдзіце вышыню.
11. Радыус асновы конуса R. Восевым сячэннем з’яўляецца прамавугольны трохвугольнік. Знайдзіце яго плошчу.
12. У роўнастароннім конусе (у восевым сячэнні — правільны трохвугольнік) радыус асновы R. Знайдзіце плошчу ся-чэння, праведзенага праз дзве ўтваральныя, вугал паміж якімі роўны а (рыс. 467).
13. Вышыня конуса 20; радыус яго асновы 25. Знайдзіце плошчу сячэння, праведзенага праз вяршыню, калі адлег-ласць ад яго да цэнтра асновы конуса роўна 12.
14. Радыус асновы конуса R, а ўтваральная нахілена да плоска-сці асновы пад вуглом а. Праз вяршыню конуса праведзена плоскасць пад вуглом ф да яго вышыні. Знайдзіце плошчу атрыманага сячэння.
15. Конус перасечаны плоскасцю, паралельнай аснове, на ад-легласці d ад вяршыні. Знайдзіце плошчу сячэння, калі радыус асновы конуса R, а вышыня Н.
16. Вышыня конуса Н. На якой адлегласці ад вяршыні трэба правесці плоскасць, паралельную аснове, каб плошча ся-чэння была роўна палавіне плошчы асновы?
17. Праз сярэдзіну вышыні конуса праведзена прамая пара-
336
11 клас
лельна ўтваральнай I. Знайдзіце даўжыню адрэзка прамой, змешчанага ўнутры конуса.
18*. Утваральная конуса 13 см, вышыня 12 см. Конус перасеча-ны прамой, паралельнай аснове; адлегласць ад яе да асновы роўна 6 см, а да вышыні 2 см. Знайдзіце адрэзак гэтай пра-мой, які змяшчаецца ўнутры конуса (рыс. 468).
19. Радыусы асноў усечанага конуса 3 м і 6 м, вышыня 4 м. Знайдзіце ўтваральную.
20. Радыусы асноў усечанага конуса R і г; утваральная нахіле-на да асноў пад вуглом 45°. Знайдзіце вышыню.
21. Утваральная ўсечанага конуса роўна 2а і нахілена да ас-новы пад вуглом 60°. Радыус адной асновы ў два разы большы за радыус другой асновы. Знайдзіце кожны з радыусаў.
22. Радыусы асноў усечанага конуса 3 дм і 7 дм, утваральная 5 дм. Знайдзіце плошчу восевага сячэння.
23. Плошчы асноў усечанага конуса 4 дм’ і 16 дм2. Праз сярэ-дзіну вышыні праведзена плоскасць, паралельная асновам. Знайдзіце плошчу сячэння.
24. Плошчы асноў усечанага конуса М і т. Знайдзіце плошчу сярэдняга сячэння, паралельнага асновам.
25. У пірамідзе ўсе бакавыя канты роўныя. Дакажыце, што яна з’яўляецца ўпісанай у некаторы конус.
26*. У конусе дадзены радыус асновы R і вышыня Н. Знайдзіце кант упісанага ў яго куба (рыс. 469).
27*. У конусе дадзены радыус асновы R і вышыня Н. У яго ўпісана правільная трохвугольная прызма, у якой бакавыя грані — квадраты. Знайдзіце кант прызмы.
§ 20. Целы вярчэння
337
28. Паўшар і ўпісаны ў яго конус маюць агульную аснову і агульную вышыню. Праз сярэдзіну вышыні праведзена плоскасць, паралельная аснове. Дакажыце, што плошча сячэння, якое змешчана паміж бакавой паверхняй конуса і паверхняй паўшара, роўна палавіне плошчы асновы (рыс. 470).
29. Шар, радыус якога 41 дм, перасечаны плоскасцю на адлег-ласці 9 дм ад цэнтра. Знайдзіце плошчу сячэння.
30. Праз сярэдзіну радыуса шара праведзена перпендыкуляр-ная яму плоскасць. Як адносіцца плошча атрыманага сячэння да плошчы вялікага круга?
31. Радыус шара R. Праз канец радыуса праведзена плоскасць пад вуглом 60° да яго. Знайдзіце плошчу сячэння.
32. Радыус зямнога шара R. Чаму роўна даўжыня паралелі, калі яе шырата 60° (рыс. 471)?
33. Горад N знаходзіцца на 60° паўночнай шыраты. Які шлях робіць гэты пункт на працягу 1 г з прычыны вярчэння Зямлі вакол сваёй восі? Радыус Зямлі прыняць роўным 6000 км.
34. На паверхні шара дадзены тры пункты. Прамалінейныя адлегласці паміж імі 6 см, 8 см і 10 см. Радыус шара 13 см. Знайдзіце адлегласць ад цэнтра да плоскасці, якая прахо-дзіць праз гэтыя пункты.
35. Дыяметр шара 25 см. На яго паверхні дадзены пункт А і акружнасць, усе пункты якой аддалены (па прамой) ад А на 15 см. Знайдзіце радыус гэтай акружнасці.
36*. Радыус шара 7 см. На яго паверхні дадзены дзве роўныя акружнасці, якія маюць агульную хорду даўжынёй 2 см. Знайдзіце радыусы акружнасцей, ведаючы, што плоскасці іх перпендыкулярныя (рыс. 472).
37. Дадзен шар радыуса R. Праз адзін з пунктаў яго паверхні праведзены дзве плоскасці: першая — датычная да шара,
Рыс. 470
КНІГІ ОНЛАЙН
