Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
1 г) вадасцёкавай трубы, сячэнне якой мае выгляд раўна-бедранага трохвугольніка з асновай 1,4 м і вышынёй 1,2 м. Скорасць цячэння 2 м/с.
27. Сячэнне чыгуначнага насыпу мае выгляд трапецыі з ніж-няй асновай 14 м, верхняй 8 м і вышынёй 3,2 м. Знайдзі-це, колькі кубічных метраў зямлі прыпаде на 1 км на-сыпу.
28. У прамой трохвугольнай прызме стораны асноў роўны 4 см, 5 см і 7 см, а бакавы кант роўны большай вышыні асновы. Знайдзіце аб’ём прызмы.
29. Плошча асновы прамой трохвугольнай прызмы роўна 4 см2, а плошчы бакавых граней 9 см2, 10 см2 і 17 см . Знайдзіце аб’ём.
30. Аснова прызмы — трохвугольнік, у якога адна старана роў-на 2 см, а дзве іншыя па 3 см. Бакавы кант роўны 4 см і складае з плоскасцю асновы вугал 45°. Знайдзіце кант роўнавялікага куба.
31. Асновай нахіленай прызмы з’яўляецца роўнастаронні трох-вугольнік са стараной а; адна з бакавых граней перпенды-кулярная аснове і ўяўляе сабой ромб, у якога меншая дыя-ганаль роўна с. Знайдзіце аб’ём прызмы.
32. Чаму роўны аб’ём прамой чатырохвугольнай прызмы, калі яе вышыня h, дыяганалі нахілены да плоскасці асновы пад вугламі a і р і востры вугал паміж дыяганалямі асновы роў-ны у?
33. Па старане асновы a і бакавому канту b знайдзіце аб’ём правільнай піраміды: 1) трохвугольнай; 2) чатырохвуголь-най; 3) шасцівугольнай.
352
11 клас
Рыс. 487
34. Старана асновы правільнай шасцівугольнай піраміды a, a двухгранны вугал пры аснове роўны 45°. Знайдзіце аб’ём пі-раміды.
35. Бакавыя канты трохвугольнай піраміды ўзаемна перпенды-кулярныя, кожны з іх роўны b (рыс. 487). Знайдзіце аб’ём піраміды.
36. Чаму роўны аб’ём правільнай трохвугольнай піраміды, у якой старана асновы a, а бакавыя канты ўзаемна перпенды-кулярныя?
37. Па канту а правільнага тэтраэдра знайдзіце яго аб’ём.
38. Па канту а актаэдра знайдзіце яго аб’ём.
39. Аснова піраміды — прамавугольнік са старанамі 9 м і 12 м; усе бакавыя канты роўны 12,5 м. Знайдзіце аб’ём пі-раміды.
40*. Аснова піраміды — раўнабедраны трохвугольнік са стара-намі 6 см, 6 см і 8 см. Усе бакавыя канты роўны 9 см. Знай-дзіце аб’ём піраміды.
41. Адзін кант трохвугольнай піраміды роўны 4 см, кожны з астатніх 3 см. Знайдзіце аб’ём піраміды.
42. У аснове піраміды ляжыць прамавугольнік. Кожны бакавы кант піраміды роўны I і складае з сумежнымі старанамі прамавугольніка вуглы а і [5. Знайдзіце аб’ём піраміды.
43. Знайдзіце аб’ём піраміды, якая мае ў аснове трохвугольнік, два вуглы якога a і Р, радыус апісанага круга R. Бакавыя канты піраміды нахілены да плоскасці яе асновы пад вуг-лом у.
44. Знайдзіце аб’ём усечанай піраміды з плошчамі асноў Qi і Q2(Qi > Q2) і вышынёй h.
45. У пірамідзе з плошчай асновы Qi праведзена сячэнне, пара-лельнае аснове, на адлегласці h ад яго. Плошча сячэння роўна Qo. Знайдзіце вышыню піраміды.
46. У правільнай усечанай чатырохвугольнай пірамідзе стора-ны ніжняй і верхняй асноў роўны a і 5, а двухгранны вугал пры канце ніжняй асновы роўны а. Знайдзіце аб’ём пі-раміды.
§ 22. Аб'ёмы і паверхні цел вярчэння
353
47. Рашыце папярэднюю задачу ў выпадку правільнай усеча-най трохвугольнай піраміды.
48. Праз сярэдзіну вышыні піраміды праведзена плоскасць, па-ралельная аснове. У якой адносіне яна дзеліць аб’ём пі-раміды?
49. Вышыня піраміды h. На якой адлегласці ад вяршыні зна-ходзіцца сячэнне, якое паралельнае аснове і дзеліць аб’ём піраміды папалам?
§ 22. АБ'ЁМЫ I ПЛВЕРХНІ ЦЕЛ ВЯРЧЭННЯ
202. АБЕМ ЦЫЛІНДРА
Калі цела простае, г. зн. дапускае разбіўку на канечны лік трохвугольных пірамід, то яго аб’ём роўны суме аб’ёмаў гэтых пірамід. Для любога цела аб’ём вызначаецца наступным чынам.
Дадзенае цела мае аб'ём V, калі існуюць простыя целы, якія змяшчаюць яго, і простыя целы з аб’ёмамі, якія змяшчаюц-ца ў ім і неабмежавана мала адрозніваюцца ад V.
Прыменім гэта азначэнне да знаходжання аб’ёму цыліндра з радыусам асновы R і вышынёй Н.
Пры вывадзе формулы для плошчы круга былі пабудаваны такія два п-вугольнікі (адзін — які змяшчае круг, другі — які змяшчаецца ў крузе), што іх плошчы пры неабмежаваным павелічэнні п неабмежавана набліжаліся да плошчы круга.
Пабудуем такія многавугольнікі для круга ў аснове цы-ліндра. Няхай Р — многавугольнік, які змяшчае круг, a Р' — многавугольнік, што змяшчаецца ў крузе (рыс. 488).
Пабудуем дзве прамыя прызмы з асновамі Р і Р' і вышынёй Н, роўнай вышыні цыліндра. Першая прызма змяшчае цыліндр, а другая прызма змяшчаецца ў цыліндры. Паколькі пры неабмежаваным па-велічэнні п плошчы асноў прызмы неабмежавана набліжаюцца да плошчы асновы цыліндра S, то іх аб’ёмы неабмежавана набліжаюцца да SH. Згодна з азначэннем аб’ём цыліндра
V = SH = лЯ2Н.
Такім чынам, аб’ём цыліндра роўны здабытку плошчы асновы на вышыню.
12 Геаметрыя, 7 —11 кл.
354
11 клас
Рыс. 489
203. АБ ЁМ КОНУСА
Пабудуем два многавугольнікі ў плоскасці асновы конуса: многаву-гольнікР, які змяшчае аснову кону-са, і многавугольнік Р', які змя-шчаецца ў аснове конуса (рыс. 489). Пабудуем дзве піраміды з асновамі Р і Р' і вяршыняй у вяршыні кону-са. Першая піраміда змяшчае ко-нус, а другая піраміда змяшчаецца ў конусе.
Як мы ведаем, існуюць такія многавугольнікі Р і Р', плошчы якіх пры неабмежаваным павелі-чэнні ліку іх старон п неабме-жавана набліжаюцца да плошчы
круга ў аснове конуса. Для такіх многавугольнікаў аб’ёмы пабудаваных пірамід неабмежавана набліжаюцца да ^^Н, дзе S — плошча асновы конуса, a Н — яго вышыня. Згодна азна-
чэнню адсюль вынікае, што аб’ём конуса V =~SH = ^^R~H.
Такім чынам, аб’ём конуса роўны адной трэцяй здабытку плошчы асновы на вышыню.
204. АБ'ЕМ УСЕЧАНАГА КОНУСА
3 а д а ч a (15). Знайдзіце аб’ём усечанага конуса, у яко-га радыусы асноў R\ і RzfR?
КНІГІ ОНЛАЙН
