КНІГІ ОНЛАЙН
§ 10.
1. AB, AC, ВС аднолькава накіраваныя, ВА і кожны з вектараў АВ, AC і ВС процілегла накіраваныя. 4. (2; 4), (— 1; 2) і (с,; сг). 5. т = ±12, п= ±7. 8. 1) с(-3; 4), |с| =5; 2) с(6; 8), Й =10. 10. 1) с(5; -12), |с| = 13; 2) с( — 6; 8), | с| = 10. 12. AB = a — Ь, CD = b — a. 14. 2) У к а з а н н е. Па------------------------------------- — - - Р будуйце A ABC, у якога АВ = а, ВС=Ь. Тады АС=а±&. 15. ——.
V3
19. с(-6; -8), Іс| = 10. 20. 1) ± 4 ; 2) ± 1; 3) ± 23. АВ=і(а+&),
CD= — ^ (а + &), СВ = у(Ь- a), AD ~ ^^а — ^^ ^^' а і с* b і d. Вектары a і с аднолькава накіраваныя, a b і d — процілегла накіраваныя. 26. т = 2. 27. л=—1, р = 0. 28. Указанне. Скарыстайце тэарэму 10.3. 29. 90°. 30. ^З. Указанне. |а + 6|2 = (а± 5)2. 31. 30°. 32. cos A = 0,6, cos В = 0, cos С = 0,8. 33. A A = 30°, ZB = 60°, ZC = 90°. 35. m = — . 36. X = — 1.
39. m„ =-i-^2(&2 + c2) — а2, ть =^~4^/^-^ c2) — Ь^Шс = ^^2(a2 + &2) — c2. 40. У к a з a н н e. Скарыстайце задачу 38. 45. Адзінкавыя вектары a, с і d, векторы a і d калінеарныя. 46. е(0,6; 0,8). 47. 2; —3. 48. 1) ОХ = ^Д
§ П.
5. Трохвугольнік. 6. Z A = 30°, А |В, =1,5 м. 8. У к а з а н н е. Пабудуйце спачатку якую-небудзь акружнасць, якая датыкаецца да старон вугла, і скарыстайце гаматэтыю адносна вяршыні вугла. 9. Указанне. Скары-стайце гаматэтыю адносна адной з вяршынь трохвугольніка. 11. 13,6 см. 12. AC = 4 м, ВіС, =14 м. 13. AC = 24 см, А.С, =18 см, В,Сі = 15 см. 16- —17. —. 18. 4 см. 19. ^-. 20. 1) 14 см; 2) 6 дм. 22. т:п. 23.
a + h п 28
п:т. 24. AC = 18 м. Указанне. Трохвугольнікі ACD 1 СВА падобныя.
Адказы і ўказанні да задач
369
25. т:п. 26. 15 см, 18 см. 27. 4,5 см. 29. ---— . 30. AtCt = 1,2 м
АС = 3 м. 32. A.D = 180° — 2АА, ZE = 180° — 2АВ, AF = 180° — 2/С. 34. Падобныя. 35. 1) Падобныя; 2) падобныя; 3) не. 37. 1 м, 2 м, 2,5 м. 38. 6,5 м, 5,5 м. 39. 1) Падобныя; 2) не падобныя. 40. 15 см, 20 см, 25 см.
41. 21 см. 43. т2:п2. 44. «42 м. 45. ———. 46. b + с
праз пункт В прамую, паралельную прамой DC. стайце папярэднюю задачу. 48. 10 см. 49. 5 см. 50.
Указанне. Правядзіце
47. Указанне. Скары-30° ці 150°. 52. У к а з а н-
н е. Гл. задачу 51. 54. а ці 180 ’ — a. 55. 50°. 56. У к а з а н н е. . Дакажыце спачатку, што процілеглыя вяршыні ўпісанага чатырохвугольніка ляжаць па розныя бакі ад прамой, якая праходзіць праз дзве другія процілеглыя вяршыні. 60. Указанне. Скарыстайце дзве папярэднія задачы. 63. « 225,8 км. Указанне. Гл. задачу 62. 64. «82,7 км.
§ 12.
5 19 1 /— і----- 1 '— — —
1- V ■qT’ 2’ V43 ЦІ \1№ м. 4. — ~\с2 + d2 + 2cd cos a. 5.
^а1 + b2 + 2ab cos a. 6. 2,25 m, 3,75 m.
„ V145 Г V73 12 v 42 Vk>5 12V15
9. —-—м, 2y7 m,—-— m. 10. —-м,———m,———-M. 11. Старана AB
павялічваецца. 12. He можа.
asinasinp _
= ——;-----— . 18. Старана AB
sin(a — P)
, . 33 ,, . _ AC sin В , „
14. ---— м. 15. АВ = ——;———. 16. х =
sin(a 4- р)
найбольшая,
ВС найменшая. 19.
гал B найбольшы, вугал C найменшы. 20. Бакавая старана большая. 24. Указанне. Прадоўжыце медыяну CD за пункт D на яе даўжыню. 25. Указанне. Скарыстайце ўласцівасць перпендыкуляра і нахіленых, якія праведзены да прамой з аднаго пункта, і сцверджанне папярэдняй задачы.
26. 1) a = 105° 2) v = 45°, 3) a = 20°, , b « b « b « , a « a « : 2,59, c 17,9, c 65,8, c 16,7, c 13,6, b « 3,66; « 14,6; «88,6; « 24,8; « 11,2. 28. 1) c « 8,69, 2) c« 19,6, 3) c « 22,3, 4) рашэння h< P' Р' не P« «21°, 7 г «13°, 7? «6% 7 ; мае; ; 42°, 7« к 39°; к 29°; x 10°; 108’
4) у = 119° 5) 7 = 68°,
5) c * 11,4,
27. 1) a д s79°. P® 41°, c « 10,6; ЦІ c « 2,49, P« г 138°, y« : 12°.
2) a я 3) P* 4) ps 5) a ; 6) a г § 13. s 11°, a 27°, к 21°, » 16°, a 130° P~ 7 « 7 « Y ~ , V a 39°, c 58°, a 15°, a 12°, b '35°, b « 28; « 19,9; « 22,9; « 53,4; « 8,09. 29. 1) a 2) a 3) a 4) a 5) a 6) a « 29°, « 54°, «34°, « 39°, « 15°, « 136°, Pa Pa Pa Pa Pa Pa s47°, 7« S13°, 7« s 44°, 7 a i 93°, ya = 11°, ya s 15°, y « ; 104° ' 113° ; 102” ; 48°; ; 154’ 29°.
2. Яі + Я2 4" d, Ri — R2 -d. 6. He можа . 8. 1 2л(л’ - !)■ 10. 36°. 72°,
108 °, 1 .44 °. 12. 1) 8; 2) 12. 13. 1) 10 старон; 2) 15 старон. 14. У к a 3 a н н e.
У гэтага n-вугольніка ўсе стораны роўныя, усе вуглы роўныя. 15. У к а з а н-н е. У гэтага n-вугольніка ўсе стораны роўныя, усе вуглы роўныя. 18. Ука
з а н н е. Выразіце абодва радыусы праз старану трохвугольніка. 19. a
370
Адказы і ўказанні да задач
Указанне. Знайдзіце спачатку радыус акружнасці. 20. 2 д/ 6 дм. 21. 2~\]2 см. 22. ^З см. 24. Указанне. Скарыстайце тэарэму косінусаў. 25. УKasa нне. Спачатку з дапамогай задачы 29 § 11 знайдзіце старану 10-вуголь-Я(7б-1) ніка, а затым па тэарэме косінусаў — старану 5-вугольніка: аю =----------------,
^ = R~\[^-^- ■ 26.д/я^^. 27.^/Т+~|^. 28. &=—^=.
2ЫІ "V4^
29. a = ——----—. 30. Указанне. Упішыце спачатку правільны шасціву-
ў4Я2 + Ь2
гольнік. 32. —. 33. а:Ь. 34. 1) 62,8 м; 2) 94,2 м. 35. 6,28 мм. 36. «3,06. г 1
Указанне. Скарыстайце вынік задачы 23. 37. «3,11. Указанне. Скарыстайце вынік задачы 24. 38. «6366,2 км. 39. «6,3 см. 40.
Яд/з R R
1) —; 2) -----——; 3k-. Указанне. Цэнтры кругоў з’яўляюцца
2+7» і+ўг 8
вяршынямі правільнага п-вугольніка. 41. 1) Я(3 + 2ТЗ); 2) 77(1+V2);
Цэнтры кругоў з’яўляюцца вяршынямі правільнага
351,9 м/мін. 43.1) 300° і 60°; 2) 230° і 130°; 3) 190°
3) R. У к а з а н н е. л-вугольніка. 42. «
і 170°. 44. 1) 120°; « 0,79 м; 2) «0,52
47. 1) ^; 2)
2) 90°; 3) 72°; 4) 60°; 5) 240°; 6) 270°. 45. «31". 46. 1) м; 3) «2,09 м; 4) «0,80 м; 5) «1,06 м; 6) «2,63 м.
2ла
-; 3) --—. Указанне. Па хордзе і адпаведнаму
3Z цэнтральнаму вуглу знайдзіце радыус акружнасці. 48. 1) —; 2)
2)
Указанне. Знайдзіце спачатку радыус акружнасці. 49. 1) —;
6
7; 3) ^; 4 3
§ 14.
а2
1. Указанне. Прымяніце тэарэму Шфагора. 2. «180 м. 3. ®=‘2’ 4. У 2 разы. 5. Плошча павялічыцца ў 9 разоў. 6. У 5 разоў. 7. 8 м, 18 м. 8. 12 дм, 25 дм. 9. 30°. 10. Квадрат. 11. 200 см2. 12. 202,8 см2. 14. ^15 см.
, а2 аМЗ ЗТ?2д/з
17. 4800 м2. 18. —. 19. 6 см. 21. -—. 22. ---——. 23. 600 см2. 24.
4 4 4
55 см, 48 см. 25. ZC = 90°. 26. «0,47 м2. 27. 5,64 м2. 28. ° аП ” 'ЯП Р ■ 2 sin(a Н- р)
9^9Л 9 /------------------
30. 1) 84; 2) 12; 3) 288; 4) 10; 5) —- ; 6) 1,4. 31. —-\/р(р-а)(р-Ь)(р-с). С
168
32. 1) 24 см; 2) 24 см. 33. 13,44 см. 34. 12 см; 11,2 см; — см. 35. 1,344.
36. 1) 4; 2) 7,2; 3) 4,8; 4) . 37. 480 см2. 38. 408 см2. 39. 540 м2. 43. 1) R =
= ^, г = 4; 2) «=^. г = 1,5; 3) Я = ^-, г = |; 4) Я = -^,
° ° ° 6 4 д/б
Адказы і ўказанні да задач
371
\6 п & a /2Ь-а 169
г = —. 44. 4,5 см. 45. R = ——=-, г = —-х ■ ■ 46. R = —— см,
2 -^ІЬ^а2 2 V 26+° 24
г = — см. 47. Указанне. Скарыстанце ўласцівасць датычных, якія пра-ведзены з аднаго пункта да акружнасці. 48. R = 29 см, г=12 см. 50. 1:4.
51- -Д-- 52. а2:Ь2. 53. 54. 1) 20л см2; 2) 12л м2; 3) л(а2 — Ь2). 55. 1) У 4
V2 4л
разы; 2) у 25 разоў; 3) у т2 разоў. 56. 1) 2) —^; 3) —^—.
2 3 V3 3 \ 3
57. 1 58. 2. 59. 1) ^; 2) ^; 3) ^; 4) ^; 5) ^; 6)^.
60. 1) 61. 62. 1) (л-2)Я2; 2) (л - Я2;
3) ("---R'
§ 15.
2. Можна. 8. У к а з а н н е. Вазьміце пункт у другой плоскасці і правядзіце праз яго і дадзеную прамую плоскасць. Прымяніце да гэтай плоскасці аксіёму паралельных. 12. Чатыры плоскасці- 14. Указанне. Выкарыстайце доказ ад процілеглага.
§ 16.
аА- b
2. Нельга. 5. 1) 6 м; 2) 4,2 дм; 3) 6,2 см; 4) ——. 6.1) 1 м; 2) 0,6 дм; 3) 2,1 см;
4)-------. 7. 1) 37,6 см; 2) 9,9 см; 3) 15 см; 4) q 1 Н-----8. 1) 7 м; 2) 2 м;
2 \ а /
Ьс
3 ) a + с — 5.9. Нельга. 13. 1) 5 см; 2) 3 см; 3) 8 см; 4)-.19. Указанне.
a Ь с
Гл. задачу 16. 20. He заўсёды. Указанне. Гл. задачу 16. 26. Рашэння няма, калі пункт ляжыць у плоскасці прамых. 32. А\В\—а. 35. Указанне. Параўнайце адносіну адрэзкаў дзвюх адвольных прамых: Х|Х2Х3 і У |У2У3. 38. Сярэдняй лініяй. 39. He можа. 40. Можа. 41. Указанне. Адносіна адрэзкаў захоўваецца. 42. У казанне. Праекцыя перпендыкулярнага дыяметра пра-ходзіць праз сярэдзіны хорд, якія паралельныя праекцыі дадзенага дыяметра.
§ 17.
2. У к а за н н е. Гл. задачу 1. 3. 1) 6,5 см; 2) 15 см; 3) уа2 — b2 + d2; 4) \a2 — с2 + 2d'2. 7. 2 м. 8. BD =-у'а2 + 52 + с2, CD = \a2 + c2. 14. 2,6 м. 15. « 3,9 м. 16. 9 м. 17. a-^Y-. I®- 1 м- 36. 6,5 м. 21.-^ а2 — ^-. 22. Акруж-насць. 23. 6 см, 15 см. 24. 1) 15 см, 41 см; 2) 4 см, 8 см. 25. 9 см. 27. 6 м. 28. 5 м, 3 м. 29. ^а2 + с2 — Ь2. 31. VЬ2 — а2. 32. -^62 + с2 — a2. 33. 0,36 м ці 0,44 м. 36. 1) 4,25 см; 2) 6,75 см; 3) • 37- 1) 1-05 см; 2) 0-65 см; 3) іа ~ .
38. 0,6 м. 39.
am
т -j- п
(т адпавядае аснове, праз якую праведзена плоскасць).
40.
a
Т'
41. Даўжыня перпендыкуляра -у 2a2 — Ь2, даўжыня стараны \bJ — a2.
372
Адказы і ўказанні да задач
42. ~^а2 + 62 — с2, ^с2 — а2, \с2 — Ь2. 43. \ 2 м. 44. 2 \ 2 м. 46. 2,5 м. 47. 6 м.
48. 14 см. 49. \а2 + 52. 50. -^/а2 — ^-. ^І- д2Ь2 —а2. 52. 2,5 м. 53.
I ■ Ь^
Ь 2-\-с2 ■----- 55. Указанне. Прамыя, перпендыкулярныя плоскасці,
паралельныя. 56. \/23 м. 57. 4 м. 59. 1) 11 м; 2) 13 м; 3) 8 м; 4) 7 м; 5) \ а2 + Ь2 + с2; 6) 7о!+ Ь2 — с2. 60. уа2 + Ь2. 61. 1,3 м. 62. 1,7 м.
§ 18.
1. Ha восі z. 3. (1; 0; 0), (0; 2; 0), (0; 0; 3); (1; 2; 0), (1; 0; 3), (0; 2; 3). 4. Адлегласць ад плоскасці ху роўна 3, ад плоскасці xz роўна 2, ад плоскасці yz роўна 1; адлегласці ад восей х, у, z адпаведна роўны \. 13, д, 10, \/5; адлегласць ад пачатку каардынат роўна л/14. 6. (2; 2; 2) і ( — 2; —2; —2). 7. С(0; 0; 0). 8. х + 2у + 3z = 7. 12.0(0; -1; 3). 13.1) D(6; 2; -2); 2)0(0; —2; 2); 3) О(—1; 7; —2). 18. (—1; —2; — 3); (0; 1; — 2); ( — 1; 0; 3). 20. У к а за н н е. Гл. задачу 16. 24. ( — 1; —2; 1). 25. 1), 2), 4) He існуе; 3) існуе. 30. 90°.
31. a + P ці la-PI. 32. 40° ці 20°. 36. 1) —; 2) —-; 3) -£-. 37.
30°. 38. a \/б. 39. ад/2. 40. 3a. 41. 30°. 44. 30°. 45. 13 м; V409 м- 46- 1) cos “ =
1 2 3a2 a2\6 a2 \'3 30
= —; 2) cos a = —. 47. 3,36 м. 48. 1) —; 2) —; 3) —. 49. 1) — м2 o o o <
ЦІ 48 M2; 2) 2,5 м2 ці m2. 51. D(-2; 3; 0). 52. 0(2; 1; -2). 53. n = —,
3 1
m== ° 55. 1) u= —; 2) n=—1; 3) n = 2; 4) n = 4. 56. c=l. 57.
A o
^\a\2 + |b|2 + |c|2+ |a| !>|.
58. 1) cos % = —— \ 3
2)