Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
345
Р а ш э н н е. Плоскасць праведзенага сячэння разбівае прызму на дзве часткі (рыс. 480). Падвергнем адну з іх паралельнаму пераносу, які сумяшчае асновы прызмы. Пры гэтым атрымаем прамую прызму, у якой асновай служыць сячэнне зыходнай прызмы, а вышыня роўна I. Гэта прызма мае той жа аб’ём. Такім чынам, аб’ём зы-ходнай прызмы роўны QI.
198. РОЎНАВЯЛІКІЯ ЦЕЛЫ
Два целы называюцца роўнавялікімі, калі яны маюць роў-ныя аб’ёмы.
Дзве трохвугольныя піраміды з роўнымі плошчамі асноў і роўнымі вышынямі роўнавялікія.
Сапраўды, няхай трохвугольныя піраміды маюць роўныя плошчы асноў і роўныя вышыні. Дакажам, што яны роўна-вялікія, г. зн. маюць роўныя аб’ёмы.
Падзелім вышыню кожнай піраміды на п роўных частак і правядзём праз пункты дзялення плоскасці, паралельныя асновам. Гэтыя плоскасці разбіваюць піраміду на п слаёў. Для кожнага слоя першай піраміды пабудуем прызму, якая ў ёй змяшчаецца, як паказана на рысунку 481, а. Для кожнага слоя другой піраміды пабудуем прызму, якая змяшчае слой (рыс. 481, б). Прызма у k-м (лічачы ад вяршыні) слоі першай піраміды і прызма, якая змяшчае (k — 1)-ы слой другой піра-міды, маюць роўныя плошчы асноў, паколькі гэтыя асновы падобныя асновам пірамід і каэфіцыент падобнасці адзін
346
11 клас
і той жа (^ . Паколькі ў гэтых прызмаў і вышыні адноль-кавыя (^, то яны маюць роўныя аб’ёмы.
Няхай У і V2 — аб’ёмы пірамід, a KJ і Уг — сумы аб’ёмаў пабудаваных для іх прызмаў. Паколькі аб’ём прызмы ў fe-м слоі першай піраміды роўны аб’ёму прызмы (k — 1)-га слоя другой піраміды, то сума аб’ёмаў усіх прызмаў для першай піраміды роўна суме аб’ёмаў прызмаў усіх слаёў другой піра-міды, акрамя апошняга. Аб’ём прызмы апошняга слоя роўны S • —, дзе S — плошча асновы піраміды, a Н — вышыня.
н
Адсюль вынікае, што Vf = V2 — S—. Паколькі, акрамя таго,
V! > VI, а У2<П, to Vi > V2-—, ЦІ Vo-y,^—. n n
Гэта няроўнасць выконваецца пры любым неабмежавана вялікім п. А гэта магчыма толькі пры V2-Vi^O, г. зн. пры V2 ^ V,. Памяняўшы ролямі піраміды, атрымаем процілеглую няроўнасць Уг^Уь А адсюль вынікае, што Уі=Уг- Сцвер-джанне даказана.
199. АБ ЕМ ПІРАМІДЫ
Няхай SABC — трохвугольная піраміда з вяршыняй S і асновай A ABC. Дапоўнім гэту піраміду SABC да трохву-гольнай прызмы з той жа асновай і вышынёй (рыс. 482). Гэта прызма складзена з трох пірамід: дадзенай піраміды SABC і яшчэ дзвюх трохвугольных пірамід SCC\B\ і SCBB\.
У другой і трэцяй пірамід роўныя асновы — ДСС|5| і /\B\BC і агульная вышыня, праведзеная з вяршыні S. Таму
ў іх роўныя аб’ёмы.
У першай і трэцяй пірамід таксама роўныя асновы — △ SAB і /\BB\S і супадаючыя вышыні, праведзеныя з вяршыні С. Значыць, у іх таксама роўныя аб’ёмы.
Такім чынам, усе тры піраміды маюць адзін і той жа аб’ём. Па-колькі сума гэтых аб’ёмаў роўная аб’ёму прызмы, то аб’ёмы пірамід SH роуны —.
Такім чынам, аб'ём любой трох-вугольнай піраміды роўны адной трэцяй здабытку плошчы асновы на вышыню:
Рыс. 482
§ 21. Аб'ёмы мнагаграннікаў
347
V = ^SH. о
Няхай цяпер маем любую, не абавязкова трохвугольную піраміду. Разаб’ём яе аснову на трохвугольнікі △ ,, д2, .... △ п. Піраміды, у якіх асновамі з’яўляюцца гэтыя трохвуголь-нікі, а вяршынямі — вяршыня дадзенай піраміды, складаюць дадзеную піраміду. Аб’ём дадзенай піраміды роўны суме аб’ёмаў складаючых яе пірамід. Паколькі ўсе яны маюць тую ж вышыню Н, што і дадзеная піраміда, то аб’ём яе роўны:
V = ±H(St + S2 +... + Sn) = ^SH.
Такім чынам, аб'ём любой піраміды роўны адной трэцяй здабытку плошчы яе асновы на вышыню.
200. АБ'ЕМ УСЕЧАНАЙ ПІРАМІДЫ
3 а д а ч a (44). Знайдзіце аб’ём усечанай піраміды з плошчамі асноў Qi і Q2(Qi > Q2) і вышынёй h.
Р а ш э н н е. Дапоўнім дадзеную ўсечаную піраміду да поўнай (рыс. 483). Няхай х — яе вышыня. Аб’ём усе-чанай піраміды роўны рознасці аб’ёмаў дзвюх поўных пірамід: адной — з плошчай асновы Q, і вышынёй х, другой — з плошчай асновы Q2 і вышынёй х — h.
3 падобнасці гэтых пірамід знаходзім х: — =
= (—• Адсюль х = —-Д—^=^. Аб’ём усечанай пі-раміды роўны:
_йд/Оі_
VQi —^Qi
‘)]
I^Q^a/Qi -Q2 + Q2).
Рыс. 483
348
11 клас
201. АБЕМЫ ПАДОБНЫХ ЦЕЛ
Няхай Т і Т' — два простыя падобныя целы. Гэта значыць, што існуе пераўтварэнне падобнасці, пры якім цела Т пера-ходзіць у цела Т'. Абазначым праз k каэфіцыент падоб-насці.
Разаб’ём цела Т на трохвугольныя піраміды Р\, Р2, ..., Рп. Пераўтварэнне падобнасці, якое пераводзіць цела Т у цела Т', пераводзіць піраміды Р|, Р2, ..., Рп у піраміды Р\, Р2, ..., Р'п. Гэтыя піраміды складаюць цела Т', і таму аб’ём цела Т' роўны суме аб’ёмаў пірамід Р\, Р2, ..., Р'п.
Паколькі піраміды Р' і Р, падобныя і каэфіцыент падобнасці роўны k, то адносіна іх вышынь роўна k, адносіна плошчаў іх асноў роўна fe2. Значыць, адносіна аб’ёмаў пірамід роўна k3. Паколькі цела Т складзена з пірамід Рі, а цела Т' складзе-на з пірамід Р', то адносіна аб’ёмаў цел Т' іТ таксама роўна k3.
Лік k — каэфіцыент падобнасці — роўны адносіне адлегла-сцей паміж любымі дзвюма адпаведнымі парамі пунктаў пры пераўтварэнні падобнасці. Значыць, гэты лік роўны адносіне любых двух адпаведкых лінейных размераў цел Т' і Т. Такім чынам, мы прыходзім да наступнага вываду:
Аб’ёмы двух падобных цел адносяцца як кубы іх адпавед-ных лінейных размераў.
3 а д а ч a (48). Праз сярэдзіну вышыні піраміды праве-дзена плоскасць, паралельная аснове. У якой адносіне яна дзеліць аб’ём піраміды?
пірамід адносяцца як
1
2 '
вышынь, г. зн.
Таму аб’ёмы :^3:1.
Рыс. 484
Р а ш э н н е. Як мы ведаем, пра-ведзеная плоскасць адсякае падоб-ную піраміду (рыс. 484). Каэфі-цыент падобнасці роўны адносіне
Значыць, плоскасць дзеліць на-шу піраміду на часткі, аб’ёмы якіх адносяцца як
§ 21. Аб'ёмы мнагаграннікаў
349
Q КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1. Сфармулюйце асноўныя ўласцівасці аб’ёму.
2. Дакажыце, што аб’ём прамавугольнага паралелепіпеда роўны здабытку яго лінейных размераў.
3. Дакажыце, што аб’ём любога паралелепіпеда роўны зда-бытку плошчы яго асновы на вышыню.
4. Дакажыце, што аб’ём трохвугольнай прызмы роўны зда-бытку плошчы яе асновы на вышыню.
5. Дакажыце, што аб’ём любой прызмы роўны здабытку пло-шчы яе асновы на вышыню.
6. Дакажыце, што трохвугольныя піраміды з роўнымі пло-шчамі асноў і роўнымі вышынямі роўнавялікія.
7. Выведзіце формулу для аб’ёму трохвугольнай піраміды.
8. Дакажыце, што аб’ём любой піраміды роўны адной трэцяй здабытку плошчы яе асновы на вышыню.
9. Дакажыце, што аб’ёмы падобных цел адносяцца як кубы адпаведных лінейных размераў.
ф ЗАДАЧЫ
1. Тры латунныя кубы з кантамі 3 см, 4 см і 5 см пераплаў-лены ў адзін куб. Якую даўжыню мае кант гэтага куба?
2. Металічны куб мае знешні кант 10,2 см і масу 514,15 г. Таў-шчыня сценак роўна 0,1 см. Знайдзіце шчыльнасць металу, з якога зроблены куб.
3. Калі кожны кант куба павялічыць на 2 см, то яго аб’ём па-вялічыцца на 98 см*. Чаму роўны кант куба?
4. Калі кожны кант куба павялічыць на 1 м, то яго аб’ём павя-лічыцца ў 125 разоў. Знайдзіце кант.
5. Цагліна размерам 25 X 12 X 6,5 см мае масу 3,51 кг. Знай-дзіце яе шчыльнасць.
6. Трэба ўстанавіць рэзервуар для вады ёмістасцю 10 м3 на прамавугольнай пляцоўцы размерам 2,5 X 1,75 м, якая слу-жыць для яго дном. Знайдзіце вышыню рэзервуара.
7. Вымярэнні прамавугольнага паралелепіпеда 15 м, 50 м і 36 м. Знайдзіце кант роўнавялікага яму куба.
8. Вымярэнні прамавугольнага бруска 3 см, 4 см і 5 см. Калі павялічыць кожны кант на х сантыметраў, то паверхня па-вялічыцца на 54 см2. Як павялічыцца яго аб’ём?
9. Чыгунная труба мае квадратнае сячэнне, яе знешняя шы-рыня 25 см, таўшчыня сценак 3 см. Якая маса 1 пагоннага метра трубы (шчыльнасць чыгуну 7,3 г/см3)?
10. Чаму роўны аб’ём прамавугольнага паралелепіпеда, дыяга-
350
11 клас
наль якога а складае з плоскасцю асновы вугал a, а з бака-вой гранню — вугал 0?
11. У прамым паралелепіпедзе стораны асновы a і b утвараюць вугал 30°. Бакавая паверхня роўна S. Знайдзіце яго аб’ём.
12. У прамым паралелепіпедзе стораны асновы 2 \/2 см і 5 см утвараюць вугал 45°. Меншая дыяганаль паралелепіпеда роўна 7 см. Знайдзіце яго аб’ём.
13. Аснова прамога паралелепіпеда — ромб, плошча якога 1 м 2. Плошчы дыяганальных сячэнняў 3 м і 6 м2. Знайдзіце аб’ём паралелепіпеда.
14. Рашыце папярэднюю задачу ў агульным выпадку, ка-лі плошча ромба Q, а плошчы дыяганальных сячэнняў М і N.
15. Аснова нахіленага паралелепіпеда — квадрат, старана яко-га роўна 1 м. Адзін з бакавых кантаў роўны 2 м і ўтварае з кожнай з прылеглых старон асновы вугал 60°. Знайдзіце аб’ём паралелепіпеда.
16*. Грані паралелепіпеда — роўныя ромбы са стараной а і вострым вуглом 60°. Знайдзіце аб’ём паралелепіпеда.
17*. Кожны кант паралелепіпеда роўны 1 см. У адной з вяр-шынь паралелепіпеда ўсе тры плоскія вуглы вострыя, па 2а кожны. Знайдзіце аб’ём паралелепіпеда.
18*. У паралелепіпедзе даўжыні трох кантаў, якія выходзяць з адной вяршыні, роўны a, Ь і с. Канты a і Ь узаемна перпен-дыкулярныя, а кант с утварае з кожным з іх вугал a (рыс. 485). Знайдзіце аб’ём паралелепіпеда.
19. Па старане асновы а і бакавому канту b знайдзіце аб’ём правільнай прызмы: 1) трохвугольнай; 2) чатырохвуголь-най; 3) шасцівугольнай.
20. Драўляная плітка ў форме правільнага васьмівугольніка са стараной 3,2 см і таўшчынёй 0,7 см мае масу 173 г. Знайдзі-це шчыльнасць дрэва.
21. Дыяганаль правільнай чатырохвугольнай прызмы роўна 3,5 см, а дыяганаль бакавой грані 2,5 см. Знайдзіце аб’ём прызмы.
22. Старана асновы правільнай трохвугольнай прызмы роўна а, бакавая паверхня роўнавялікая суме асноў. Знайдзіце аб’ём прызмы.
23. У правільнай шасцівугольнай прызме плошча найбольшага дыяганальнага сячэння 4 м2, а адлегласць паміж дзвюма процілеглымі бакавымі гранямі 2 м. Знайдзіце аб’ём прызмы.
24. У нахіленай прызме праведзена сячэнне, якое перпендыку-лярнае бакавым кантам і перасякае ўсе бакавыя канты. Знайдзіце аб’ём прызмы, калі плошча сячэння Q, а бакавыя канты роўны I (рыс. 486).
25. Бакавыя канты нахіленай трохвугольнай прызмы роўны
§ 21. Аб’ёмы мнагаграннікаў
351
15 м, а адлегласці паміж паралельнымі прамымі, якія іх змяшчаюць, 26 м, 25 м і 17 м. Знайдзіце аб’ём прызмы. 26. Вылічыце прапускную здольнасць (у кубічных метрах за
КНІГІ ОНЛАЙН
