Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Рыс. 496
§ 22. Аб’ёмы і паверхні цел вярчэння
359
У сувязі з гэтым велічыня С ~ прымаецца за плошчу бакавой паверхні конуса.
Такім чынам, плошча бакавой паверхні конуса вылічваецца па формуле
S = ±СІ = лШ,
дзе R — радыус асновы конуса, a I — даўжыня ўтваральнай.
Аналагічна для плошчы бакавой паверхні ўсечанага конуса радыусамі асноў Яі.Ягі ўтваральнай I атрымліваецца формула
S = a{R\ 4" R^l,
210. ПЛОШЧА СФЕРЫ
Апішам каля сферы выпуклы мнагаграннік з малымі гранямі (рыс. 497). Няхай S' — плошча паверхні мнагагранні-ка, г. зн. сума плошчаў яго граней. Знойдзем прыбліжанае значэнне плошчы паверхні мнагагранніка, мяркуючы, што лі-нейныя размеры граней, г. зн. адлегласць паміж любымі двума пунктамі любой грані, меншая за е.
Аб’ём мнагагранніка роўны суме аб’ёмаў пірамід, якія маюць сваімі асновамі грані мнагагранніка, а вяршыняй — цэнтр сферы (рыс. 498). Паколькі ўсе піраміды маюць адну і тую ж вышыню, роўную радыусу R сферы, то аб’ём мнага-гранніка
Аб’ём мнагагранніка большы за аб’ём шара, які абмежаваны сферай, але меншы за аб’ём шара з тым жа цэнтрам і з ра-дыусам Я + е. Такім чынам,
Адсюль
±^R3<~S'R<^a(.R + Н3. О о о
4лЯ2 < S < 4л(Я + е)2 /1 +
360
11 клас
Мы бачым, што плошча паверхні апісанага мнагагранніка пры неабмежаваным памяншэнні размераў яго граней, г. зн. пры неабмежаваным памяншэнні е, імкнецца да 4nR2. У сувязі з гэтым велічыня 4nR2 прымаецца за плошчу сферы.
Такім чынам, плошча сферы радыуса R вылічваецца па формуле
S = 4nR-.
Аналагічна вызначаецца плошча сферычнай часткі паверх-ні шаравога сектара, г. зн. плошча сферычнага сегмента, для яе атрымліваецца формула
S = 2nRH (Н — вышыня сегмента).
КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ •
1. Выведзіце формулу для аб’ёму цыліндра.
2. Выведзіце формулу для аб’ёму конуса.
3. Выведзіце формулу для аб’ёму цел вярчэння.
4. Выведзіце формулу для аб’ёму шара.
5. Што такое шаравы сегмент? Выведзіце формулу для аб’ёму шаравога сегмента.
6. Што такое шаравы сектар? Па якой формуле вылічваецца аб’ём шаравога сектара?
7. Па якой формуле вылічваецца плошча бакавой па-верхні цыліндра?
8. Па якой формуле знаходзіцца плошча бакавой па-верхні конуса (бакавой паверхні ўсечанага конуса)?
9. Па якой формуле вылічваецца плошча сферы?
^ ЗАДАЧЫ
1. 25 м меднага дроту маюць масу 100,7 г. Знайдзіце дыяметр дроту (шчыльнасць медзі 8,94 г/см3).
2. Помпа, якая падае ваду ў паравы кацёл, мае два ва-дзяныя цыліндры. Дыяметры цыліндраў 80 мм, а ход поршня 150 мм. Чаму роўна гадзінная прадукцый-насць помпы, калі кожны поршань робіць 50 рабочых хадоў у мінуту?
3. У колькі разоў трэба павялічыць вышыню цыліндра, не змяняючы асновы, каб аб’ём павялічыўся ў п ра-зоў? У колькі разоў трэба павялічыць радыус асновы цыліндра, не змяняючы вышыні, каб аб’ём павя-лічыўся ў п разоў?
4. У цыліндр упісана правільная трохвугольная прызма,
§ 22. Аб'ёмы і паверхні цел вярчэння
361
а ў прызму ўпісан цыліндр. Знайдзіце адносіну аб’ёмаў цыліндраў.
5. Знайдзіце аб’ём цыліндра, упісанага ў правільную шасцівугольную прызму, у якой кожны кант роўны а.
6. Свінцовая труба (шчыльнасць свінцу 11,4 г/см') з таўшчынёй сценак 4 мм мае ўнутраны дыяметр 13 мм. Якая маса 25 м гэтай трубы?
7. Куча шчэбеню мае канічную форму, радыус асновы якой 2 м, а ўтваральная 2,5 м. Знайдзіце аб’ём кучы шчэбеню.
8. Восевым сячэннем конуса з’яўляецца раўнабедраны прамавугольны трохвугольнік, плошча якога 9 м2. Знайдзіце аб’ём конуса.
9. Даўжыня ўтваральнай конуса роўна I, а даўжыня акружнасці асновы с. Знайдзіце аб’ём конуса,
10. Утваральная конуса I складае з плоскасцю асновы вугал а. Знайдзіце аб’ём конуса.
11. Стог сена мае форму цыліндра з канічным верхам. Радыус яго асновы 2,5 м, вышыня 4 м, прычым цылінд-рычная частка стога мае вышыню 2,2 м. Шчыльнасць сена 0,03 г/см!. Вызначце масу стога сена.
12. Вадкасць, налітая ў канічны сасуд вышынёй 0,18 м і дыяметрам асновы 0,24 м, пераліваецца ў цыліндрычны сасуд, дыяметр асновы якога 0,1 м. Як высока будзе стаяць узровень вадкасці ў сасудзе?
13. Роўнастаронні трохвугольнік верціцца вакол сваёй стараны а. Знайдзіце аб’ём атрыманага цела вярчэння.
14. Прамавугольны трохвугольнік з катэтамі a і b верціцца ва-кол гіпатэнузы. Знайдзіце аб’ём атрыманага цела (рыс. 499).
15*. Знайдзіце аб’ём усечанага конуса, у якога радыусы асноў
16.
17.
18.
19.
R} і R2(R>
КНІГІ ОНЛАЙН
