Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
184. КОНУС
Конусам (дакладней, кругавым конусам) называецца цела, якое складаецца з круга — асновы конуса, пункта, што не ляжыць у плоскасці гэтага круга,— вяршыні конуса і ўсіх адрэзкаў, якія злучаюць вяршыні конуса з пунктамі асновы (рыс. 442). Адрэзкі, якія злучаюць вяршыню конуса з пунктамі акружнасці асновы, называюцца ўтваральнымі конуса. Паверх-ня конуса складаецца з асновы і бакавой паверхні.
Конус называецца прамым, калі прамая, якая злучае вяршыні конуса з цэнтрам асновы, перпендыкулярная плос-касці асновы.
У далейшым мы будзем разглядаць толькі прамы конус, называючы яго для кароткасці проста конусам. Наглядна прамы кругавы конус можна ўяўляць сабе як цела, атрыманае пры вярчэнні прамавугольнага трохвугольніка вакол яго катэта як восі (рыс. 443).
Вышынёй конуса называецца перпендыкуляр, апушчаны з яго вяршыні на плоскасць асновы. У прамога конуса аснова вышыні супадае з цэнтрам асновы. Воссю прамога кругавога конуса называецца прамая, якая змяшчае яго вышыню.
§ 20. Целы вярчэння
323
185. СЯЧЭННІ КОНУСА ПЛОСКАСЦЯМІ
Сячэнне конуса плоскасцю, якая праходзіць праз яго вяр-шыню, уяўляе сабой раўнабедраны трохвугольнік, у якога бакавыя стораны з’яўляюцца ўтваральнымі цыліндра (рыс. 444). У прыватнасці, раўнабедраным трохвугольнікам з’яўляецца восевае сячэнне конуса. Гэта сячэнне, якое прахо-дзіць праз вось конуса (рыс. 445).
Рыс. 444 Рыс. 445
324
11 клас
Т э а р э м a 20.2. Плоскасць, паралельная плоскасці асновы конуса, перасякае конус па кругу, а бакавую паверхню — па акружнасці з цэнтрам на восі конуса.
Д о к а з. Няхай р — плоскасць, паралельная плоскасці асновы конуса і перасякаючая конус (рыс. 446). Пераўтварэнне гаматэтыі адносна вяршыні конуса, якое сумяшчае плоскасць Р з плоскасцю асновы, сумяшчае сячэнне конуса плоскасцю 3 з асновай конуса. Значыць, сячэнне конуса плоскасцю ёсць круг, а сячэнне бакавой паверхні — акружнасць з цэнтрам на восі конуса. Тэарэма даказана.
3 а д а ч a (15). Конус перасечаны плоскасцю, паралель-най аснове, на адлегласці d ад вяршыні. Знайдзіце плошчу сячэння, калі радыус асновы конуса R, а вышыня Н.
Р а ш э н н е. Сячэнне конуса атрымліваецца з асновы конуса пераўтварэннем гаматэтыі адносна вяршыні конуса
з каэфіцыентам гаматэтыі fe = —. Таму радыус круга ў
сячэнні r = R- . Значыць, плошча сячэння
S = nR2^.
Плоскасць, паралельная аснове конуса і перасякаючая конус, адсякае ад яго меншы конус. Частка, якая засталася, называецца ўсечаным конусам (рыс. 447).
§ 20. Целы вярчэння
325
186. УПІСАНАЯ I АПІСАНАЯ ПІРАМІДЫ
Шрамідай, упісанай у конус, называецца такая піраміда, аснова якой ёсць многавугольнік, упісаны ў акружнасць асновы конуса, а вяршыняй з’яўляецца вяршыня конуса (рыс. 448). Бакавыя канты піраміды, упісанай у конус, з’яўляюцца ўтва-ральнымі конуса.
3 а д а ч a (25). У піраміды ўсе бакавыя канты роўныя. Дакажыце, што яна з’яўляецца ўпісанай у некаторы конус.
Р а ш э н н е. Апусцім перпендыкуляр SO з вяршыні пі-раміды на плоскасць асновы (рыс. 449) і абазначым даўжыні бакавых кантаў піраміды праз I. Вяршыні асновы аддалены ад пункта О на адну і тую ж адлегласць
R=y[l2~OS2.
Адсюль вынікае, што наша піраміда ўпісана ў конус, у якога вяршыняй з’яўляецца вяршыня піраміды, а асно-вай — круг з цэнтрам О і радыусам R.
Датычнай плоскасцю да конуса называецца плоскасць, якая праходзіць праз утваральную конуса і перпендыкулярная плоскасці восевага сячэння, якое змяшчае гэту ўтваральную (рыс. 450).
Пірамідай, апісанай каля конуса, называецца піраміда, у якой асновай з’яўляецца многавугольнік, апісаны каля
326
11 клас
асновы конуса, а вяршыня супадае з вяршыняй конуса (рыс. 451). Плоскасці бакавых граней апісанай піраміды з’яўляюцца датычнымі плоскасцямі конуса.
187. ШАР
Шарам казываецца цела, якое складаецца з усіх пунктаў прасторы, што знаходзяцца на адлегласці, не большай за дадзеную ад дадзенага пункта. Гэты пункт называецца цэнтрам шара, а дадзеная адлегласць — радыусам шара.
Мяжа шара называецца шаравой паверхняй, або сферай. Такім чынам, пунктамі сферы з’яўляюцца ўсе пункты шара, якія аддалены ад цэнтра на адлегласць, роўную радыусу. Любы адрэзак, які злучае цэнтр шара з пунктам шаравой паверхні, таксама называецца радыусам.
Рыс. 452
§ 20. Целы вярчэння
327
Адрэзак, які злучае два пункты шаравой паверхні і пра-ходзіць праз цэнтр шара, называецца дыяметрам. Канцы любо-га дыяметра называюцца дыяметральна процілеглымі пунктамі шара.
Шар гэтак жа, як цыліндр і конус, з’яўляецца целам вярчэння. Ен атрымліваецца пры вярчэнні паўкруга вакол яго дыяметра як восі (рыс. 452).
188. СЯЧЭННЕ ШАРА ПЛОСКАСЦЮ
Т э а р э м a 20.3. Усякае сячэнне шара плоскасцю ёсць круг. Цэнтр гэтага круга ёсць аснова перпендыкуляра, апушчанага з цэнтра шара на сякучую плоскасць.
Д о к а з. Няхай a — сякучая плоскасць і О — цэнтр шара (рыс. 453). Апусцім перпендыкуляр з цэнтра шара на плоскасць a і абазначым праз О' аснову гэтага перпендыкуляра.
Няхай X — адвольны пункт шара, які належыць плоскасці а. Па тэарэме Піфагора ОХ2 = ОО'2 + О'Х2. Паколькі ОХ не большы за радыус R шара, to О'Х ^yR2 — ОО'2, г. зн. любы пункт сячэння шара плоскасцю a знаходзіцца ад пункта О' на адлегласці, не большай sa^R2 — ОО'2, значыць, ён належыць кругу з цэнтрам О' і радыусам yR2 — ОО'2.
Наадварот, любы пункт X гэтага круга належыць шару. А гэта значыць, што сячэнне шара плоскасцю a ёсць круг з цэнтрам у пункце О'. Тэарэма даказана.
Плоскасць, якая праходзіць праз цэнтр шара, называецца дыяметральнай плоскасцю. Сячэнне шара дыяметральнай пло-скасцю называецца вялікім кругам (рыс. 454), а сячэнне сфе-ры — вялікай акружнасцю.
328
11 клас
Рыс. 455
3 а д а ч a (30). Праз сярэдзіну радыуса шара праведзе-на перпендыкулярная яму плоскасць. Як адносіцца пло-шча атрыманага сячэння да плошчы вялікага круга?
Р а ш э н н е. Калі радыус шара R (рыс. 455), то радыус
круга ў сячэнні
. Адносіна
плошчы гэтага круга да плошчы вялікага круга роўна
189. СІМЕТРЫЯ ШАРА
Т э а р э м a 20.4. Любая дыяметральная плоскасць шара з'яўляецца яго плоскасцю сіметрыі. Цэнтр шара з'яўляецца яго цэнтрам сіметрыі.
Д о к а з. Няхай a — дыяметральная плоскасць і X — адвольны пункт шара (рыс. 456). Пабудуем пункт Х', сіметрыч-ны пункту X адносна плоскасці a.
Плоскасць a перпендыкулярная адрэзку XX' і перасякаецца
Рыс. 456
з ім у яго сярэдзіне (у пункце А). 3 роўнасці прамавугольных трох-вугольнікаў ОАХ і ОАХ' вынікае, што OX' = ОХ.
Паколькі OX ^ R, to OX' ^ R, г. зн. пункт, сіметрычны пункту X, належыць шару. Першае сцвер-джанне тэарэмы даказана.
Няхай цяпер X" — пункт, сі-метрычны пункту X адносна цэнтра шара. Тады OX" = OX ^ R, г. зн. пункт X" належыць шару. Тэарэма
даказана поўнасцю.
§ 20. Целы вярчэння
329
190. ДАТЫЧНАЯ ПЛОСКАСЦЬ ДА ШАРА
Плоскасць, якая праходзіць праз пункт А шаравой паверхні і перпендыкулярная радыусу, праведзенаму ў пункт А, называецца датычнай плоскасцю. Пункт А называецца пунк-там дотыку (рыс. 457).
Тэарэма 20.5. Датычная плоскасць мае з шарам толькі адзін агульны пункт — пункт дотыку.
Д о к а з. Няхай a — плоскасць, датычная да шара, і A — пункт дотыку (рыс. 458). Возьмем адвольны пункт X плоскасці а, які адрозніваецца ад А. Паколькі ОА — перпендыкуляр, а ОХ — нахіленая, to OX > ОА = R. Значыць, пункт X не належыць шару. Тэарэма даказана.
Прамая ў датычнай плоскасці шара, якая праходзіць праз пункт дотыку, называецца датычнай да шара ў гэтым пункце.
Паколькі датычная плоскасць мае з шарам толькі адзін агульны пункт, то датычная прамая мае з шарам толькі адзін агульны пункт — пункт дотыку.
Задача (39). Шар радыуса R датыкаецца да ўсіх ( ° старон правільнага трохвугольніка са стараной а. Знай-дзіце адлегласць ад цэнтра шара да плоскасці трох-вугольніка.
Рашэнне. Няхай A, В, С — пункты дотыку шара са старанамі трохвугольніка (рыс. 459). Апусцім з цэнтра О шара перпендыкуляр ОО\ на плоскасць трохвугольніка. Адрэзкі ОА, OB і ОС перпендыкулярныя старанам. Па тэарэме аб трох перпендыкулярах адрэзкі О\А, О\В і О\С таксама перпендыкулярныя адпаведным стара-нам трохвугольніка.
330
11 клас
3 роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў ООіА, ОО\В, ОО\С (у іх катэт агульны, а гіпатэнузы роўныя радыусу) вынікае роўнасць старон: ОіА = О\В = О\С. Значыць, Оі — цэнтр акружнасці, упісанай у трохвугольнік. Радыус гэтай акружнасці, як мы ведаем, роўны <ЦД- Па тэарэме Піфагора знахо-дзім шукаемую адлегласць. Яна роўна \ІОА2 — ОіА2 = -^R2 — ^-.
191. ПЕРАСЯЧЭННЕ ДЗВЮХ СФЕР
Тэарэма 20.6. Лінія перасячэння дзвюх сфер ёсць акружнасць.
Д о к а з. Няхай Оі і О2 — цэнтры сфер і A — іх пункт пера-сячэння (рыс. 460). Правядзём праз пункт А плоскасць, перпендыкулярную прамой OtO2.
Абазначым праз В пункт перасячэння плоскасці а з прамой О\Оч. Па тэарэме 20.3 плоскасць a перасякае абедзве сферы па акружнасці К з цэнтрам В, якая праходзіць праз пункт А. Такім чынам, акружнасць К належыць перасячэнню сфер.
Пакажам зараз, што сферы не маюць іншых пунктаў пера-сячэння, акрамя пунктаў акружнасці К. Дапусцім, пункт X перасячэння сфер не ляжыць на акружнасці К. Правядзём плоскасць праз пункт X і прамую О|О2. Яна перасячэ сферы па акружнасцях з цэнтрам О| і О2. Гэтыя акружнасці пера-сякаюцца ў двух пунктах, якія належаць акружнасці К, ды яшчэ ў пункце X. Але дзве акружнасці не могуць мець больш за два пункты перасячэння. Мы прыйшлі да супярэчнасці. Такім чынам, перасячэнне нашых сфер ёсць акружнасць (К). Тэарэма даказана.
A 3 а д а ч а (44). Два роўныя шары радыуса R размешча-( ° } ны так, што цэнтр аднаго ляжыць на паверхні другога. і—г Знайдзіце даўжыню лініі, па якой перасякаюцца іх па-верхні.
Р а ш э н н е. Правядзём сячэнне праз цэнтры шароў (рыс. 461). Лінія, аб якой гаворыцца ў задачы, ёсць акружнасць (тэарэма 20.6). Яе радыус роўны вышыні роўнастаронняга трохвугольніка ОАО\ са старанамі, роў-
нымі R. Вышыня роўна —у—• Значыць, даўжыня лініі роўна лЯ^З.
§ 20. Целы вярчэння
331
192. УПІСАНЫЯ I АПІСАНЫЯ МНАГАГРАННІКІ
Мнагаграннік называецца ўпісаным у шар, калі ўсе яго вяр-шыні ляжаць на паверхні шара. Мнагаграннік называецца апісаным каля шара, калі ўсе яго грані датыкаюцца да паверхні шара.
КНІГІ ОНЛАЙН
