Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
У дадэкаэдра грані — правільныя пяцівугольнікі. У кожнай вяршыні зыходзяцца па тры канты.
У ікасаэдра грані — правільныя трохвугольнікі, але ў адроз-ненне ад тэтраэдра і актаэдра ў кожнай вяршыні зыходзяцца па пяць кантаў.
Задача (81). Знайдзіце двухгранныя вуглы правіль-нага тэтраэдра.
Р а ш э н н е. Правядзём з вяршыні S тэтраэдра вышыні SA, SB, SC яго граней, якія зыходзяцца ў гэтай вяршыні, і вышыню SO тэтраэдра (рыс. 426). Калі кант тэтраэдра абазначыць праз а, то вышыні граней будуць роўны ^у. 3 роўнасці вышынь SA, SB, SC вынікае роўнасць адрэзкаў ОА, OB, ОС. А яны перпен-
дыкулярныя старанам трохвуголь-ніка ў аснове тэтраэдра (па тэарэме аб трох перпендыкулярах). Адсюль вынікае, што пункт О з’яўляецца цэнтрам акружнасці, упісанай у аснову тэтраэдра. Значыць, адрэзкі
ОА, OB і ОС роўны . Аба-
значым праз ср двухгранны вугал пры канце, які змяшчае пункт А. Тады
ОА COS(P=AS
й\3.ауЗ
(рж 70°32'.
1
Т’
Відавочна, двухгранныя вуглы пры астатніх кантах тэтраэдра такія ж па велічыні.
Рыс. 426
§ 19. Мнагаграннікі
311
^ КАНТРОЛЬНЫЯ ПЫТАННІ
1. Што такое двухгранны вугал (грань вугла, кант вугла)?
2. Што такое лінейны вугал двухграннага вугла?
3. Чаму мера двухграннага вугла не залежыць ад выбару лі-нейнага вугла?
4. Растлумачце, што такое трохгранны вугал (грані і канты трохграннага вугла).
5. Растлумачце, што такое плоскія і двухгранныя вуглы трох-граннага вугла).
6. Што такое мнагаграннік?
7. Які мнагаграннік называецца выпуклым?
8. Што такое грань выпуклага мнагагранніка, кант, вяр-шыня?
9. Што такое прызма (асновы прызмы, бакавыя грані, канты)?
10. Дакажыце, што ў прызме асновы ляжаць у паралельных плоскасцях і роўныя, бакавыя канты паралельныя і роў-ныя, бакавыя грані — паралелаграмы.
11. Што такое вышыня прызмы?
12. Што такое дыяганаль прызмы?
13. Што ўяўляе сабой сячэнне прызмы плоскасцю, якая пара-лельная бакавым кантам, у прыватнасці дыяганальнае сячэнне?
14. Як будуецца сячэнне прызмы плоскасцю, якая прахо-дзіць праз дадзеную прамую ў плоскасці асновы прызмы і дадзены пункт на адной з бакавых граней?
15. Якая прызма называецца прамой (нахіленай)?
16. Якая прызма называецца правільнай?
17. Што такое бакавая паверхня прызмы (поўная паверхня прызмы)?
18. Дакажыце, што бакавая паверхня прамой прызмы роўна здабытку перыметра асновы на вышыню прызмы.
19. Што такое паралелепіпед?
20. Дакажыце, што ў паралелепіпеда процілеглыя грані пара-лельныя і роўныя.
21. Дакажыце, што дыяганалі паралелепіпеда перасякаюцца ў адным пункце і пунктам перасячэння дзеляцца папалам.
22. Дакажыце, што пункт перасячэння дыяганалей паралелепі-педа з’яўляецца яго цэнтрам сіметрыі.
23. Які паралелепіпед называецца прамавугольным? Што та-кое лінейныя размеры прамавугольнага паралелепіпеда?
24. Што такое куб?
25. Дакажыце, што ў прамавугольным паралелепіпедзе квад-рат дыяганалі роўны суме квадратаў трох яго вымярэнняў.
26. Колькі плоскасцей сіметрыі ў прамавугольнага паралеле-піпеда?
312 11 клас
27. Што такое піраміда (аснова піраміды, бакавыя грані, кан-ты, вышыня)?
28. Што ўяўляюць сабой сячэнні піраміды плоскасцямі, якія праходзяць праз яе вяршыню?
29. Што такое дыяганальнае сячэнне піраміды?
30. Як пабудаваць сячэнне піраміды плоскасцю, якая прахо-дзіць праз дадзеную прамую ў плоскасці асновы піраміды і зададзены пункт на адной з бакавых граней?
31. Дакажыце, што плоскасць, якая перасякае піраміду, паралельная аснове піраміды, адсякае ад яе падобную піраміду.
32. Растлумачце, што такое ўсечаная піраміда.
33. Якая піраміда называецца правільнай? Што такое вось пра-вільнай піраміды?
34. Што такое апафема правільнай піраміды?
35. Дакажыце, што бакавая паверхня правільнай піраміды роў-на здабытку паўперыметра асновы на апафему.
36. Які мнагаграннік называецца правільным?
37. Пералічыце пяць тыпаў правільных мнагаграннікаў і апі-шыце іх.
фЗАДАЧЫ
1. 3 пунктаў А ІВ, якія ляжаць у гранях двухграннага вугла, апушчаны перпендыкуляры A А । і ВВ\ на кант вугла. Знай-дзіце: 1) даўжыню адрэзка АВ, калі АА\=а, ВВ\ = Ь, АіВ' = с і двухгранны вугал роўны а; 2) двухгранны вугал а, калі АА । = 3, ВВі =4, А|В| = 6, АВ = 7.
2. У трохграннага вугла (abc) двухгранны вугал пры канце с — прамы, двухгранны вугал пры канце Ь роўны ф, a плоскі вугал (Ьс) роўны у^ф, у < у^. Знайдзіце два іншыя плоскія вуглы: а= А(аЬ), р= Z_(ac\
3. У трохграннага вугла адзін плоскі вугал роўны у, а пры-леглыя да яго двухгранныя вуглы роўны ф(ф<уУ Знайдзіце два іншыя плоскія вуглы а і вугал [3, які ўтварае плоскасць вугла у з процілеглым кантам.
4*. У трохграннага вугла два плоскія вуглы вострыя і роўныя а, а трэці вугал роўны у. Знайдзіце двухгранныя вуглы <р, процілеглыя плоскім вуглам а, і вугал Р паміж плоскасцю у і процілеглым кантам.
5. Дакажыце, што сячэнне прызмы, паралельнае асновам, роўна асновам.
6. Колькі дыяганалей мае n-вугольная прызма?
7. Пабудуйце сячэнне чатырохвугольнай прызмы плоскасцю,
§19. Мнагаграннікі
313
якая праходзіць праз старану і адну з вяршынь другой асновы.
8. Пабудуйце сячэнне чатырохвугольнай прызмы плоскасцю, якая праходзіць праз тры пункты на бакавых кантах прызмы.
9. У прызмы адзін бакавы кант перпендыкулярны плоскасці асновы. Дакажыце, што астатнія бакавыя канты таксама перпендыкулярныя плоскасці асновы.
10. У прамой трохвугольнай прызме стораны асновы роўны 10 см, 17 см і 21 см, а вышыня прызмы 18 см. Знайдзіце плошчу сячэння, праведзенага праз бакавы кант і меншую вышыню асновы.
11. Бакавы кант нахіленай прызмы роўны 15 см і нахілены да плоскасці асновы пад вуглом 30°. Знайдзіце вышыню прызмы.
12* . У нахіленай трохвугольнай прызме адлегласці паміж бака-вымі кантамі роўны 37 см, 13 см і 40 см. Знайдзіце адлег-ласць паміж большай бакавой гранню і процілеглым бака-вым кантам.
13. Асновай прызмы з’яўляецца правільны шасцівугольнік са стараной a, а бакавыя грані — квадраты. Знайдзіце дыяга-налі прызмы і плошчы яе дыяганальных сячэнняў.
14*. У правільнай шасцівугольнай прызме, у якой бакавыя гра-ні — квадраты, правядзіце плоскасць праз старану ніжняй асновы і процілеглую ёй старану верхняй асновы. Старана асновы роўна а. Знайдзіце плошчу пабудаванага сячэння (рыс. 427).
15. Праз старану ніжняй асновы правільнай трохвугольнай прызмы праведзена плоскасць, якая перасякае бакавыя гра-ні па адрэзках, вугал паміж якім а. Знайдзіце вугал нахілу гэтай плоскасці да асновы прызмы (рыс. 428).
16. У правільнай чатырохвугольнай прызме праз сярэдзіны дзвюх сумежных старон асновы праведзена плоскасць, якая
Рыс. 427
Рыс. 428
314
11 клас
перасякае тры бакавыя канты і нахілена да плоскасці асно-вы пад вуглом а. Старана асновы роўна а. Знайдзіце пло-шчу атрыманага сячэння.
17. У правільнай чатырохвугольнай прызме плошча асновы 144 см2, а вышыня 14 см. Знайдзіце дыяганаль прызмы.
18. У правільнай чатырохвугольнай прызме плошча бакавой грані роўна Q. Знайдзіце плошчу дыяганальнага сячэння.
19*. Старана асновы правільнай чатырохвугольнай прызмы роўна 15, вышыня роўна 20. Знайдзіце найкарацейшую адлегласць ад стараны асновы да дыяганалі прызмы, якая яе не перасякае (рыс. 429).
20. У прамой трохвугольнай прызме ўсе канты роўныя. Бака-вая паверхня роўна 12 м\ Знайдзіце вышыню.
21. Бакавая паверхня правільнай чатырохвугольнай прызмы роўна 32 м2, а поўная паверхня 40 м2. Знайдзіце вышыню.
22*. У нахіленай прызме праведзена сячэнне, якое перпенды-кулярнае бакавым кантам і перасякае ўсе бакавыя канты. Знайдзіце бакавую паверхню прызмы, калі перыметр сячэн-ня роўны р, а бакавыя канты роўны I.
23. Адлегласці паміж паралельнымі прамымі, якія змяшчаюць бакавыя канты нахіленай трохвугольнай прызмы 2 см, 3 см і 4 см, а бакавыя канты 5 см. Знайдзіце бакавую паверхню прызмы.
24. Па старане асновы а і бакавому канту b знайдзіце поўную паверхню правільнай прызмы: 1) трохвугольнай; 2) чаты-рохвугольнай; 3) шасцівугольнай.
25. Плоскасць, якая праходзіць праз старану асновы правіль-най трохвугольнай прызмы і сярэдзіну процілеглага канта, утварае з асновай вугал 45°. Старана асновы I. Знайдзіце бакавую паверхню прызмы.
26. У паралелепіпеда тры грані маюць плошчы 1 м2, 2 м2 і 3 м2. Чаму роўна поўная паверхня паралелепіпеда?
27. Вядомы вуглы, утвараемыя кантамі паралелепіпеда, якія зыходзяцца ў адной вяршыні. Як знайсці вуглы паміж кантамі, якія зыходзяцца ў любой іншай вяршыні?
28. Дакажыце, што адрэзак, які злучае цэнтры асноў пара-лелепіпеда, паралельны бакавым кантам.
29. У прамым паралелепіпедзе стораны асновы 6 м і 8 м утва-раюць вугал 30°; бакавы кант роўны 5 м. Знайдзіце поўную паверхню гэтага паралелепіпеда.
30. У прамым паралелепіпедзе стораны асновы 3 см і 8 см; ву-гал паміж імі 60°. Бакавая паверхня роўна 220 см2. Знай-дзіце поўную паверхню.
31. У прамым паралелепіпедзе стораны асновы 3 см і 5 см, а ад-на з дыяганалей асновы 4 см. Знайдзіце большую дыяга-наль паралелепіпеда, ведаючы, што меншая дыяганаль утварае з плоскасцю асновы вугал 60°.
§ 19. Мнагаграннікі
315
32. Знайдзіце дыяганалі прамога паралелепіпеда, у якога кож-ны кант роўны a, а вугал асновы роўны 60°.
33*. Бакавы кант прамога паралелепіпеда роўны 5 м, стораны асновы роўны 6 м і 8 м, адна з дыяганалей асновы роўна 12 м. Знайдзіце дыяганалі паралелепіпеда.
34. У прамым паралелепіпедзе бакавы кант роўны 1 м, стораны асновы роўны 23 дм і 11 дм, а дыяганалі асновы адносяцца як 2:3. Знайдзіце плошчы дыяганальных сячэнняў.
35. Знайдзіце дыяганалі прамавугольнага паралелепіпеда па трох яго вымярэннях: 1) 1, 2, 2; 2) 2, 3, 6; 3) 6, 6, 7.
36*. Кант куба роўны а. Знайдзіце адлегласць ад вяршыні куба да яго дыяганалі, якая злучае дзве другія вяршыні.
37. У прамавугольным паралелепіпедзе стораны асновы 7 дм і 24 дм, а вышыня паралелепіпеда роўна 8 дм. Знайдзіце плошчу дыяганальнага сячэння.
38. Знайдзіце паверхню прамавугольнага паралелепіпеда па трох яго вымярэннях: 10 см, 22 см, 16 см.
39. Знайдзіце бакавую паверхню прамавугольнага паралелепі-педа, калі яго вышыня h, плошча асновы Q, а плошча дыя-ганальнага сячэння М.
40. Дыяганалі трох граней прамавугольнага паралелепіпеда, якія зыходзяцца ў адной вяршыні, роўны а, Ь, с. Знайдзіце лінейныя размеры паралелепіпеда (рыс. 430).
КНІГІ ОНЛАЙН
