КНІГІ ОНЛАЙН

Геаметрыя

7-11 клас

Выдавец: Народная асвета

Памер: 383с.

Мінск 1995

209.59 МБ

Рыс. 471
338
11 клас
Рыс. 472
Рыс. 473
другая — пад вуглом 30° да першай. Знайдзіце плошчу сячэння.
38.	Цела абмежавана дзвюма канцэнтрычнымі шаравымі па-верхнямі (пусты шар). Дакажыце, што яго сячэнне плоска-сцю, якая праходзіць праз цэнтр, роўнавялікае сячэнню, датычнаму да ўнутранай шаравой паверхні (рыс. 473).
39.	Шар радыуса R датыкаецца да ўсіх старон правільнага трохвугольніка са стараной а. Знайдзіце адлегласць ад цэнтра шара да плоскасці трохвугольніка.
40.	Стораны трохвугольніка 13 см, 14 см і 15 см. Знайдзіце ад-легласць ад плоскасці трохвугольніка да цэнтра шара, які датыкаецца да ўсіх старон трохвугольніка. Радыус шара 5 см.
41.	Дыяганалі ромба 15 см і 20 см. Шаравая паверхня датыка-ецца да ўсіх яго старон. Радыус шара 10 см. Знайдзіце адлегласць ад цэнтра шара да плоскасці ромба.
42.	Праз датычную да паверхні шара праведзены дзве ўза-емна перпендыкулярныя плоскасці, якія перасякаюць шар па кругах радыусаў Г| і г2. Знайдзіце радыус ша-ра R.
43.	Шар радыуса R упісан ва ўсечаны конус. Вугал нахілу ўтва-ральнай да плоскасці ніжняй асновы конуса роўны а. Знай-дзіце радыусы асноў і ўтваральную ўсечанага конуса.
44.	Два роўныя шары радыуса R размешчаны так, што цэнтр аднаго ляжыць на паверхні другога. Знайдзіце даўжыню лініі, па якой перасякаюцца іх паверхні.
45.	Радыусы шароў роўны 25 дм і 29 дм, а адлегласць паміж іх цэнтрамі 36 дм. Знайдзіце даўжыню лініі, па якой перася-каюцца іх паверхні.
§ 21. Аб'ёмы мнагаграннікаў
339
46.	Знайдзіце радыус шара, апісанага каля куба са стараной а. 47. Дакажыце, што цэнтр шара, апісанага каля правільнай піраміды, ляжыць на яе восі.
48.	Дакажыце, што цэнтр шара, упісанага ў правільную піра-міду, ляжыць на яе вышыні.
49.	Знайдзіце радыус шара, апісанага каля правільнага тэтра-эдра з кантам а.
50.	У правільнай чатырохвугольнай пірамідзе старана асновы роўна a, а плоскі вугал пры вяршыні роўны а. Знайдзіце радыусы ўпісанага і апісанага шароў.
51*	. У шар радыуса R упісана правільная трохвугольная піра-міда з плоскімі вугламі а пры яе вяршыні. Знайдзіце вышы-ню піраміды.
52.	Правільныя n-вугольная прызма ўпісана ў шар радыуса R. Кант асновы прызмы роўны а. Знайдзіце вышыню прызмы, пры: 1) л = 3; 2) п = 4; 3) п = 6.
53.	Старана асновы правільнай тг-вугольнай піраміды роўна а, двухгранны вугал пры аснове роўны <р. Знайдзіце радыус шара, упісанага ў піраміду.
54.	Знайдзіце радыус шара, апісанага каля правільнай тг-ву-гольнай піраміды, калі старана асновы роўна a, а бакавы кант нахілены да плоскасці асновы пад вуглом а.
§ 21. АБ'ЕМЫ МНАГАГРАННІКАЎ
194.	ПАНЯЦЦЕ АБ'ЕМУ
Падобна да таго, як для фігур на плоскасці ўводзіцца па-няцце плошчы, для цел у прасторы ўводзіцца паняцце аб’ёму. Спачатку разгледзім толькі простыя целы. Цела называецца простым, калі яго можна разбіць на канечны лік трохвуголь-ных пірамід.
Для простых цел аб'ём — гэта дадатная велічыня, лікавае значэнне якой мае наступныя ўласцівасці:
1.	Роўныя целы маюць роўныя аб'ёмы.
2.	Калі цела разбіта на часткі, якія з'яўляюцца просты-мі целамі, то аб'ём гэтага цела роўны. суме аб'ёмаў яго ча-стак.
3.	Аб'ём куба, кант якога роўны адзінцы даўжыні, роўны адзінцы.
Калі куб, аб якім ідзе гаворка ў азначэнні, мае кант 1 см, то аб’ём будзе ў кубічных сантыметрах; калі кант куба роўны 1 м, то аб’ём будзе ў кубічных метрах; калі кант куба роўны 1 км, то аб’ём будзе ў кубічных кіламетрах і г. д.
340
11 клас
Прыкладам простага цела з’яў-ляецца любы выпуклы мнагагран-нік. Яго можна разбіць на канеч-ны лік трохвугольных пірамід наступным чынам. Адзначым якую-небудзь вяршыню S мнага-гранніка. Разаб’ём на трохвуголь-нікі ўсе грані мнагагранніка, якія не змяшчаюць вяршыню S. Тады трохвугольныя піраміды, для якіх асновамі з’яўляюцца гэтыя трох-вугольнікі, а агульнай вяршы-няй — пункт S, даюць разбіўку
мнагагранніка на трохвугольныя піраміды. На рысунку 474 паказана такая разбіўка для адвольнай піраміды.
195.	АБ'ЁМ ПРАМАВУГОЛЬНАГА ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА
Знойдзем аб’ём прамавугольнага паралелепіпеда з ліней-нымі размерамі а, Ь, с. Для гэтага спачатку дакажам, што аб’ёмы двух прамавугольных паралелепіпедаў з роўнымі асновамі адносяцца як іх вышыні.
Няхай Р і Pt — два прамаву-
гольныя паралелепіпеды з агуль-най асновай ABCD і вышынямі АЕ і АЕ\. Будзем лічыць для пэў-насці, што АЕ\<АЕ (рыс. 475). Няхай V і Vi — аб’ёмы паралеле-піпедаў. Разаб’ём кант АЕ парале-лепіпеда Р на вялікі лік п роўных АЕ частак. Кожная з іх роўна -----.
Няхай т — колькасць пунктаў дзя-лення, якія ляжаць на канце АЕ\. Тады
(^)m^,<(21) (» + !).
АЛСЮЛЬ	т _ V, т ,	1
__< __1 <______
п V п ' п ‘	'	7
Vi
3 няроўнасцей (*) і (♦*) мы бачым, што абодва лікі -=-
і знаходзяцца паміж — і — + — • Таму яны адрозніваюц-
АЕ	п п п
ца не больш чым на —. А паколькі п можна узяць неабмежа-вана вялікім, то гэта можа быць толькі пры — = -^-, што і патрабавалася даказаць.
Возьмем зараз куб, які з’яўляецца адзінкай вымярэння аб’ёму, і тры прамавугольныя паралелепіпеды з вымярэн-нямі: a, 1, 1; a, b, 1; а, Ь, с. Абазначым іх аб’ёмы V, і V2 і V адпаведна. Па даказанаму
V, _ a v2 _ b V _ с
Л Г’ Г’
Калі памножыць гэтыя тры роўнасці пачленна, то атры-маем:
V = abc.
Такім чынам, аб’ём прамавугольнага паралелепіпеда з лінейнымі размерамі а, Ь, с вылічваецца па формуле V = abc.
3 а д а ч a (3). Калі кожны кант куба павялічыць на 2 см, то яго аб’ём павялічыцца на 98 см3. Чаму роўны кант куба?
Рашэнне. Абазначым кант куба праз х, тады (х + 2)3 — х3 = 98, г. зн. х2 + 2х — 15 = 0. Ураўненне мае два карані: х = 3, х= —5. Геаметрычны сэнс мае толькі дадатны корань. Значыць, кант куба роўны 3 см.
196.	АБ'ЕМ НАХІЛЕНАГА ПАРАЛЕЛЕПІПЕДА
Знойдзем аб’ём нахіленага паралелепіпеда ABCDAiB\CiDi (рыс. 476).
Правядзём праз кант ВС плоскасць, перпендыкулярную
342
11 клас
аснове ABCD, і дапоўнім нахілены паралелепіпед трохвуголь-най прызмай ВВ1В2СС1С2 (рыс. 476, а). Адсячом цяпер ад атрыманага цела трохвугольную прызму плоскасцю, якая пра-ходзіць праз кант AD і перпендыкулярная аснове ABCD. Тады атрымаем зноў паралелепіпед. Гэты паралелепіпед мае аб’ём, роўны аб’ёму зыходнага паралелепіпеда.
Сапраўды, дабудаваная прызма і адсякаемая сумяшчаюцца паралельным пераносам на адрэзак АВ, значыць, маюць аднолькавыя аб’ёмы. Пры апісаным пераўтварэнні паралелепі-педа захоўваюцца плошча яго асновы і вышыня. Захоўваюцца таксама плоскасці дзвюх бакавых граней, а дзве іншыя ста-новяцца перпендыкулярнымі аснове.
Прымяняючы яшчэ раз такое пераўтварэнне да нахіленых граней, атрымаем паралелепіпед, у якога ўсе бакавыя грані перпендыкулярныя аснове, г. зн. атрымаем прамы парале-лепіпед.
Атрыманы прамы паралелепіпед аналагічна пераўтворым у прамавугольны паралелепіпед, дапаўняючы яго спачатку прызмай 1, а затым адсякаючы прызму 2 (рыс. 476, б). Гэта пераўтварэнне таксама захоўвае аб’ём паралелепіпеда, плошчу асновы і вышыню.
Аб’ём прамавугольнага паралелепіпеда роўны здабытку яго вымярэнняў. Здабытак двух вымярэнняў ёсць плошча асновы паралелепіпеда, а трэцяе вымярэнне — яго вышыня.
Такім чынам, у прамавугольнага паралелепіпеда аб’ём роўны здабытку плошчы асновы на вышыню. Паколькі пры апісаным вышэй пераўтварэнні дадзенага паралелепіпеда ў прамавугольны кожны раз захоўваюцца аб’ём, плошча асновы і вышыня, то і ў зыходнага паралелепіпеда аб’ём роўны зда-бытку плошчы асновы на вышыню.
Значыць, аб’ём любога паралелепіпеда роўны здабытку плошчы асновы на вышыню.
Рыс. 476
§ 21. Аб’ёмы мнагаграннікаў
343
Задача (11). У прамым пара-лелепіпедзе стораны асновы a і b утвараюць вугал 30°. Бакавая па-верхня роўна S. Знайдзіце яго аб’ём.
Рашэнне. Абазначым вышы-ню праз х (рыс. 477). Тады (2а + 2fe)x = S. Адсюль х = ■	- .
Z yd 0)
Плошча асновы паралелепіпеда роўна ab sin 30° = -^. Аб’ём роўны abS
4(a + b) •
197.	АБ'ЕМ ПРЫЗМЫ
Разгледзім спачатку трохвугольную прызму (рыс. 478). Дапоўнім яе да паралелепіпеда, як паказана на рысунку. Пункт О з’яўляецца цэнтрам сіметрыі паралелепіпеда. Таму дабудаваная прызма сіметрычная зыходнай адносна пункта О, значыць, мае аб’ём, роўны аб’ёму зыходнай прызмы. Такім чынам, аб’ём пабудаванага паралелепіпеда роўны падвоенаму аб’ёму дадзенай прызмы.
Аб’ём паралелепіпеда роўны здабытку плошчы яго асновы на вышыню. Плошча яго асновы роўна падвоенай плошчы трохвугольніка ABC, а вышыня роўна вышыні зыходнай прызмы. Адсюль робім вывад, што аб’ём зыходнай прызмы роўны здабытку плошчы яе асновы на вышыню.
Разгледзім цяпер адвольную прызму (рыс. 479). Разаб’ём
Рыс. 478
344
11 клас
Рыс. 479
Рыс. 480
яе аснову на трохвугольнікі. Няхай △ — адзін з гэтых трох-вугольнікаў. Правядзём праз адвольны пункт X трохвуголь-ніка △ прамую, паралельную бакавым кантам. Няхай ах — адрэзак гэтай прамой, які належыць прызме. Калі пункт х апісвае трохвугольнік △, адрэзкі ах запаўняюць трохвуголь-ную прызму. Пабудаваўшы такую прызму для кожнага трох-вугольніка △, мы атрымаем разбіўку дадзенай прызмы на трохвугольныя. Усе гэтыя прызмы маюць адну і тую ж вы-шыню, роўную вышыні зыходнай прызмы.
Аб’ём дадзенай прызмы роўны суме аб’ёмаў трохвуголь-ных прызмаў, складаючых яе. Па даказанаму аб’ём трох-вугольнай прызмы роўны здабытку плошчы яе асновы на вышыню. Адсюль вынікае, што аб’ём зыходнай прызмы роўны
V = S|H + S2H +... + впЯ = (S, + S2 +... + Sn)H, .
дзе Si, S2, ..., S„ — плошчы трохвугольнікаў, на якія разбіта аснова прызмы, a Н — вышыня прызмы. Сума плошчаў трох-вугольнікаў роўна плошчы S асновы дадзенай прызмы. Таму
V = SH.
Значыць, аб’ём любой прызмы роўны здабытку плошчы яе асновы на вышыню.
3 а д а ч a (24). У нахіленай прызме праведзена сячэн-не, якое перпендыкулярнае бакавым кантам і перасякае ўсе бакавыя канты. Знайдзіце аб’ём прызмы, калі плошча сячэння Q, а бакавыя канты роўны I.
J 21. Аб'ёмы мнагаграннікаў