Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
Задача (1). 3 пунктаў A і В, якія ляжаць у гранях двухграннага вугла, апушчаны перпендыкуляры ААі і BB] на кант вугла. Знайдзіце даўжыню адрэзка АВ, калі АА\ = а, ВВ\ = Ь, А\В\=с і двухгранны вугал роўны a (рыс. 399).
Рашэнне. Правядзём прамыя А\С\\ВВ\ і ВС\\АіВ\. Чатырохвугольнік А\В\ВС — паралелаграм, значыць АіС = ВВ\ = Ь. Прамая А\В\ перпендыкулярная плоскасці
294
11 клас
трохвугольніка АА\С, таму што яна перпендыкулярная дзвюм прамым у гэтай плоскасці АА\ і САі. Значыць, паралельная ёй прамая ВС таксама перпендыкулярная гэтай плоскасці. Такім чынам, трохвугольнік ABC прамавугольны з прамым вуглом С. Па тэарэме косі-нусаў AC2 = АА2 + А іС2 — 2АА\- А\С • cos a = а2 + b2 -— 2ab cos a.
Па тэарэме Шфагора
АВ = д/АС2 + ВС2 = д/а2 -\- b2 — 2ab cos a + с2.
167. ТРОХГРАННЫ I МНАГАГРАННЫ ВУГЛЫ
Разгледзім тры прамені а, Ь, с, якія выходзяць з аднаго пункта і не ляжаць у адной плоскасці. Трохгранным вуглом (abc) называецца фігура, складзеная з трох плоскіх вуглоў {ab), (be) і (ас) (рыс. 400). Гэтыя вуглы называюцца гранямі трохграннага вугла, а іх стораны — кантамі. Агульная вяршы-ня плоскіх вуглоў называецца вяршыняй трохграннага вугла. Двухгранныя вуглы, утвораныя гранямі трохграннага вугла, называюцца двухграннымі вугламі трохграннага вугла.
Рыс. 400
Рыс. 401
§ 19. Мнагаграннікі
295
Аналагічна вызначаецца паняцце мнагаграннага вугла (рыс. 401).
Задача (2). У трохграннага вугла (abc) двухгранны вугал пры канце с прамы, двухгранны вугал пры канце b роўны ф, а плоскі вугал (be) роўны ў^фі, у < у^. Знайдзі-це два іншыя плоскія вуглы: a = A(ab), р= А(ас\
Р а ш э н н е. Апусцім з адвольнага пункта А канта a перпендыкуляр АВ на кант b і перпендыкуляр AC на кант с (рыс. 402). Па тэарэме аб трох перпендыкулярах СВ — перпендыкуляр да канта Ь.
3 прамавугольных трохвугольнікаў ОАВ, ОСВ, АОС і ABC атрымліваем:
tg a = АВ :ОВ = —: cos <р tg у cos ф
tg ^ = AC: ОС = ВС tg ср: ^^ = tg ф sin у.
3 а ў в а г а. Атрыманыя залежнасці паміж вугламі a, р, у, ф: tg а = tg 0 = tg ф sin у —
дазваляюць, ведаючы два вуглы, знайсці два іншыя.
296
11 клас
168. МНАГАГРАННІК
У стэрэаметрыі вывучаюцца фігуры ў прасторы, якія называюцца целамі. Наглядна (геаметрычнае) цела трэба ўяўляць сабе як частку прасторы, якая занята фізічным целам і абмежавана паверхняй.
Мнагаграннік — гэта такое цела, паверхня якога складаец-ца з канечнага ліку плоскіх многавугольнікаў (рыс. 403). Мна-гаграннік называецца выпуклым, калі ён размешчаны з аднаго боку плоскасці кожнага плоскага многавугольніка на яго па-верхні. Агульная частка такой плоскасці і паверхні выпукла-га мнагагранніка называецца гранню. Грані выпуклага мнага-гранніка з’яўляюцца плоскімі выпуклымі многавугольнікамі. Стораны граней называюцца кантамі мнагагранніка, а вяршы-ні — вяршынямі мнагагранніка.
Растлумачым сказанае на прыкладзе знаёмага вам куба (рыс. 404). Куб ёсць выпуклы мнагаграннік. Яго паверхня складаецца з шасці квадратаў: ABCD, BEFC, ... . Яны з’яў-ляюцца яго гранямі. Кантамі куба з’яўляюцца стораны гэтых квадратаў AB, ВС, BE, ... . Вяршынямі куба з’яўляюцца вяршыні квадратаў A, В, С, D, Е, ... . У куба шэсць граней, дванаццаць кантаў і восем вяршынь.
Найпрасцейшым мнагаграннікам — прызмам і пірамідам, якія будуць асноўным аб’ектам нашага вывучэння, мы дадзім такія азначэнні, якія, па сутнасці, не выкарыстоўваюць паняцце цела. Яны будуць вызначаны як геаметрычныя фігуры з ука-заннем усіх пунктаў прасторы, якія ім належаць. Паняцце геаметрычнага цела і яго паверхні ў агульным выпадку будзе дадзена пазней.
Рыс. 403
Рыс. 404
§ 19. Мнагаграннікі
297
169. ПРЫЗМА
Прызмай называецца мнагаграннік, які складаецца з двух плоскіх многавугольнікаў, якія ляжаць у розных плоскасцях і сумяшчаюцца паралельным пераносам, і ўсіх адрэзкаў, якія злучаюць адпаведныя пункты гэтых многавугольнікаў (рыс. 405). Многавугольнікі называюцца асновамі прызмы, a адрэзкі, якія злучаюць адпаведныя вяршыні,— бакавымі кан-тамі прызмы..
Рыс. 405
Паколькі паралельны перанос ёсць рух, то асновы прызмы роўныя.
Паколькі пры паралельным пераносе плоскасць перахо-дзіць у паралельную плоскасць (ці ў сябе), то ў прызмы асновы ляжаць у паралельных плоскасцях.
Паколькі пры паралельным пераносе пункты сумяшчаюцца на паралельных (ці супадаючых) прамых на адну і тую ж адлег-ласць, то ў прызмы бакавыя канты паралельныя і роўныя.
Паверхня прызмы складаецца з асновы і бакавой паверхні. Бакавая паверхня складаецца з паралелаграмаў. У кожнага з гэтых паралелаграмаў дзве стараны з’яўляюцца адпаведнымі старанамі асноў, а дзве іншыя — суседнімі бакавымі кантамі.
Вышын'ёй прызмы называецца адлегласць паміж плоскасця-мі яе асноў. Адрэзак, які злучае дзве вяршыні, што не належаць адной грані, называецца дыяганаллю прызмы.
Прызма называецца n-вугольнай, калі яе асновы — л-ву-гольнікі. У далейшым мы будзем разглядаць толькі прызмы, у якіх асновы — выпуклыя многавугольнікі. Такія прызмы з’яўляюцца выпуклымі мнагаграннікамі.
298
11 клас
На рысунку 405 паказана пяцівугольная прызма. Яе аснова-мі з’яўляюцца пяцівугольнікі А^г ... А5, А|Аг ... As. XX' — адрэзак, які злучае адпаведныя пункты асноў. Бакавыя канты прызмы — адрэзкі А\А\, А2А2, ..., А5А5. Бакавыя грані прызмы — паралелаграмы А1А2А2АІ, А2А3А3А2, ••• •
170. ПАКАЗ ПРЫЗМЫ I ПАБУДАВАННЕ ЯЕ СЯЧЭННЯЎ
У адпаведнасці з правіламі паралельнага праектавання відарыс прызмы будуецца наступным чынам. Спачатку будуец-ца адна з асноў Р (рыс. 406). Гэта будзе некаторы плоскі мно-гавугольнік. Затым з вяршынь многавугольніка Р праводзяцца бакавыя канты прызмы ў выглядзе паралельных адрэзкаў роў-най даўжыні. Канцы гэтых адрэзкаў злучаюцца і атрымліваец-ца другая аснова прызмы. Нябачныя канты праводзяцца штрыхавымі лініямі.
Сячэнні прызмы плоскасцямі, паралельнымі бакавым кантам, з’яўляюцца паралелаграмамі. У прыватнасці, парале-лаграмамі з’яўляюцца дыяганальныя сячэнні. Гэта сячэнні плоскасцямі, якія праходзяць праз два бакавыя, не належачыя адной грані канты (рыс. 407).
На практыцы, у прыватнасці, пры рашэнні задач, часта даводзіцца будаваць сячэнне прызмы плоскасцю, якая прахо-дзіць праз зададзеную прамую g на плоскасці адной з асноў прызмы. Такая прамая называецца следам сякучай плоскасці на плоскасці асновы. Для пабудавання сячэння прызмы да-статкова пабудаваць перасячэнні сякучай плоскасці з гранямі
Рыс. 406
Рыс. 407
§19. Мнагаграннікі
299
прызмы. Пакажам, як будуецца такое сячэнне, калі вядомы які-небудзь пункт А на паверхні прызмы, які належыць сячэнню (рыс. 408).
Калі дадзены пункт А належыць другой аснове прызмы, то яго перасячэнне з сякучай плоскасцю ўяўляе сабой адрэзак ВС, паралельны следу g, які змяшчае дадзены пункт A (рыс. 408, а).
Калі дадзены пункт А належыць бакавой грані, то перася-чэнне гэтай грані з сякучай плоскасцю будуецца, як паказана на рысунку 408, б. Менавіта, спачатку будуецца пункт D, у якім плоскасць грані перасякае зададзены след g. Потым праводзіц-ца прамая праз пункты AID. Адрэзак ВС прамой AD на грані, якая разглядаецца, і ёсць перасячэнне гэтай грані з сякучай плоскасцю. Калі грань, якая змяшчае пункт А, паралельная следу g, то сякучая плоскасць перасякае гэту грань па адрэзку ВС, які праходзіць праз пункт А і паралельны прамой g.
Канцы адрэзка ВС належаць і суседнім граням. Таму апісаным спосабам можна пабудаваць перасячэнне гэтых гра-ней з цашай сякучай плоскасцю. I г. д.
На рысунку 409 паказана пабудаванне сячэння чатырохву-гольнай прызмы плоскасцю, якая праходзіць праз прамую а ў плоскасці ніжняй асновы прызмы і пункт А на адным з бакавых кантаў.
300
11 клас
171. ПРАМАЯ ПРЫЗМА
Прызма называецца прамой, калі яе бакавыя канты перпен-дыкулярныя асновам. У адваротным выпадку прызма назы-ваецца нахіленай.
У прамой прызмы бакавыя грані з’яўляюцца прамавуголь-нікамі. Пры паказе прамой прызмы на рысунку бакавыя канты звычайна праводзяць вертыкальна (рыс. 410).
Прамая прызма называецца правільнай, калі яе асновы з’яў-ляюцца правільнымі многавугольнікамі.
Бакавой паверхняй прызмы (дакладней, плошчай бакавой паверхні) называецца сума плошчаў бакавых граней. Поўная паверхня прызмы роўна суме бакавой паверхні і плошчаў асноў.
Тэарэма 19.1. Бакавая паверхня прамой прызмы роўна здабытку перыметра асновы на вышыню прызмы, г. зн. на даў-жыню бакавога канта.
Доказ. Бакавыя грані прамой прызмы — прамавугольнікі. Асновы гэтых прамавугольнікаў з’яўляюцца старанамі многа-вугольніка, які ляжыць у аснове прызмы, а вышыні роўны даўжыні бакавых кантаў. Адсюль вынікае, што бакавая па-верхня прызмы роўна
S — dil а^І ~I- ... ~\~ dnl == ply
§ 19. Мнагаграннікі
301
дзе аі, ..., ап — даўжыні кантаў асновы, р — перыметр асновы прызмы, a I — даўжыня бакавых кантаў. Тэарэма даказана.
Рыс. 411
3 а д а ч a (22). У нахіленай прызме праведзена сячэнне, Г * якое перпендыкулярнае бакавым кантам і перасякае ўсе бакавыя канты. Знайдзіце бакавую паверхню прызмы, ка-лі перыметр сячэння роўны р, а бакавыя канты роўны I. Рашэнне. Плоскасць праведзенага сячэння разбівае прызму на дзве часткі (рыс. 411). Падвергнем адну з іх паралельнаму пераносу, які сумяшчае асновы прызмы. Пры гэтым атрымаем прамую прызму, асновай якой слу-жыць сячэнне зыходнай прызмы, а бакавыя канты роўны I. Гэта прызма мае тую ж бакавую паверхню, што і зыход-ная. Такім чынам, бакавая паверхня зыходнай прызмы роўна рі.
172. ПАРАЛЕЛЕПІПЕД
Калі аснова прызмы ёсць паралелаграм, то яна называецца паралелепіпедам. У паралелепіпеда ўсе грані — паралела-грамы.
На рысунку 412, а паказан нахілены паралелепіпед, а на рысунку 412, б — прамы паралелепіпед.
Грані паралелепіпеда, якія не маюць агульных вяршынь, называюцца процілеглымі.
302
11 клас
Рыс. 412
Тэарэма 19.2. У паралелепіпеда процілеглыя грані паралельныя і роўныя.
Д о к а з. Разгледзім якія-небудзь дзве процілеглыя грані паралелепіпеда, напрыклад ААгААЛ і А.АА4А3 (рыс. 413). Паколькі ўсе грані паралелепіпеда — паралелаграмы, то пра-мая ААа паралельная прамой ААз> прамая ААі паралельная прамой ААІ. Адсюль вынікае, што плоскасці разглядаемых граней паралельныя.
3 таго, што грані паралелепіпеда — паралелаграмы, выні-кае, што адрэзкі ААь ААі, А2Аз і А2А3— паралельныя і роўныя. Адсюль робім вывад, што грань A А2А2А1 сумяшчаец-ца паралельным пераносам уздоўж канта ААі з гранню А3А4АА3. Значыць, гэтыя грані роўныя.
КНІГІ ОНЛАЙН
