Выдавец: Народная асвета
Памер: 383с.
Мінск 1995
41. Аснова піраміды — раўнабедраны трохвугольнік, аснова якога роўна 12 см, а бакавая старана 10 см. Бакавыя грані ўтвараюць з асновай роўныя двухгранныя вуглы, якія змя-шчаюць па 45°. Знайдзіце вышыню піраміды.
Рыс. 429
Рыс. 430
316
11 клас
42. Аснова піраміды — прамавугольнік са старанамі 6 см і 8 см. Кожны бакавы кант піраміды роўны 13 см. Вылічыце вышыню піраміды.
43. Асновай піраміды з’яўляецца правільны трохвугольнік; адна з бакавых граней перпендыкулярная аснове, а дзве другія нахілены да яе пад вуглом а. Як нахілены да пло-скасці асновы бакавыя канты?
44. У аснове піраміды ляжыць прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай а. Кожны бакавы кант утварае з плоскасцю асновы вугал (3. Знайдзіце вышыню піраміды.
45. Аснова піраміды — прамавугольны трохвугольнік з катэ-тамі 6 см і 8 см. Усе двухгранныя вуглы пры аснове піра-міды роўны 60°. Знайдзіце вышыню піраміды.
46. Аснова піраміды — паралелаграм, у якога стораны 3 см і 7 см, а адна з дыяганалей 6 см; вышыня піраміды прахо-дзіць праз пункт перасячэння дыяганалей, яна роўна 4 см. Знайдзіце бакавы кант піраміды.
47*. Аснова піраміды — ромб з дыяганалямі 6 м і 8 м; вышыня піраміды праходзіць праз пункт перасячэння дыяганалей ромба і роўна 1 м. Знайдзіце бакавую паверхню піраміды.
48. Аснова піраміды — раўнабедраны трохвугольнік са стара-намі 40 см, 25 см і 25 см. Яе вышыня праходзіць праз вяр-шыню вугла, процілеглага старане 40 см, і роўна 8 см. Знайдзіце бакавую паверхню піраміды.
49. Аснова піраміды — квадрат, яе вышыня праходзіць праз адну з вяршынь асновы. Знайдзіце бакавую паверхню піра-міды, калі старана асновы роўна 20 дм, а вышыня 21 дм (рыс. 431).
50. Пабудуйце сячэнне піраміды плоскасцю, якая праходзіць праз вяршыню піраміды і два дадзеныя пункты на яе аснове.
51. Пабудуйце сячэнне трохвугольнай піраміды плоскасцю, якая праходзіць праз старану асновы піраміды і дадзены пункт на процілеглым канце.
52. Пабудуйце сячэнне чатырохвугольнай піраміды плоскасцю, якая праходзіць праз старану асновы і пункт на адным з бакавых кантаў.
53. У чатырохвугольнай усечанай піраміды стораны адной асновы роўны 6, 7, 8, 9 см, а меншая старана другой асновы роўна 5 см. Знайдзіце астатнія стораны гэтай асновы.
54. Бакавы кант піраміды падзелен на чатыры роўныя часткі і праз пункты дзялення праведзены плоскасці, паралель-ныя аснове. Плошча асновы роўна 400 см'. Знайдзіце плошчы сячэнняў.
55. Вышыня піраміды роўна 16 м. Плошча асновы роўна 512 м2. На якой адлегласці ад асновы знаходзіцца сячэнне, паралельнае яму, калі плошча сячэння 50 м"?
§ 19. Мнагаграннікі
317
56. У правільнай трохвугольнай пірамідзе з вышынёй h праз старану асновы а праведзена плоскасць, якая перасякае процілеглы бакавы кант пад прамым вуглом. Знайдзіце плошчу сячэння.
57. Вышыня правільнай чатырохвугольнай піраміды роўна 7 см, а старана асновы — 8 см. Знайдзіце бакавы кант.
58. У правільнай чатырохвугольнай пірамідзе плоскі вугал пры вяршыні роўны а. Знайдзіце двухгранны вугал х пры аснове піраміды.
59. Па дадзенай старане асновы а і бакавому канту b знайдзіце вышыню правільнай піраміды: 1) трохвугольнай; 2) чаты-рохвугольнай; 3) шасцівугольнай.
60. Па дадзенай старане асновы а і вышыні b знайдзіце апафе-му правільнай піраміды: 1) трохвугольнай; 2) чатырохву-гольнай; 3) шасцівугольнай.
61. Па старане асновы а і вышыні h знайдзіце поўную паверхню правільнай піраміды: 1) трохвугольнай; 2) чатырохвуголь-най; 3) шасцівугольнай.
62. Знайдзіце поўную паверхню правільнай шасцівугольнай піраміды з бакавым кантам а і радыусам акружнасці, упіса-най у аснову, г.
63. У правільнай чатырохвугольнай пірамідзе бакавая паверх-ня роўна 14,76 м2, а поўная паверхня — 18 м2. Знайдзіце старану асновы і вышыню піраміды.
64. Па старане асновы а знайдзіце бакавую паверхню правіль-най чатырохвугольнай піраміды, у якой дыяганальнае ся-чэнне роўнавялікае аснове.
65. Знайдзіце бакавую паверхню піраміды, калі плошча асно-вы Q, а двухгранныя вуглы пры аснове q.
66. Знайдзіце двухгранныя вуглы пры аснове правільнай піра-міды, плошча асновы якой роўна Q, а бакавая паверх-ня — S.
67. Знайдзіце старану асновы і апафему правільнай трохву-
Рыс. 431
Рыс. 432
318
11 клас
гольнай піраміды, калі яе бакавы кант роўны 10 см, а бака-вая паверхня роўна 144 см2.
68. У правільнай чатырохвугольнай пірамідзе знайдзіце стара-ну асновы, калі бакавы кант роўны 5 см, а поўная паверх-ня — 16 см2.
69. Дакажыце, што бакавая паверхня правільнай усечанай піраміды роўна здабытку паўсумы перыметраў асноў на апафему.
70. Вышыня правільнай чатырохвугольнай усечанай піраміды роўна 7 см. Стораны асноў роўны 10 см і 2 см. Знайдзіце бакавы кант піраміды.
71. Стораны асноў правільнай усечанай трохвугольнай пірамі-ды 4 дм і 1 дм. Бакавы кант 2 дм. Знайдзіце вышыню піраміды.
72. У правільнай чатырохвугольнай усечанай пірамідзе вы-шыня роўна 2 см, а стораны асноў 3 см і 5 см. Знайдзіце дыяганаль гэтай піраміды.
73. Стораны асноў усечанай правільнай трохвугольнай піра-міды 2 см і 6 см. Бакавая грань утварае з большай асновай вугал 60°. Знайдзіце вышыню.
74. У правільнай усечанай трохвугольнай пірамідзе старана большай асновы а, старана меншай Ь. Бакавы кант утварае з асновай вугал 45°. Знайдзіце плошчу сячэння, якое прахо-дзіць праз бакавы кант і вось піраміды1.
75. Вышыня правільнай чатырохвугольнай усечанай піраміды роўна 4. Стораны асноў роўны 2 і 8. Знайдзіце плошчы дыя-ганальных сячэнняў.
76. У правільнай трохвугольнай усечанай пірамідзе старана ніжняй асновы 8 м, верхняй — 5 м, а вышыня 3 м. Правя-дзіце сячэнне праз старану ніжняй асновы і процілеглую вяршыню верхняй асновы. Знайдзіце плошчу сячэння і двухгранны вугал паміж сячэннем і ніжняй асновай (рыс. 432).
77. У правільнай чатырохвугольнай усечанай пірамідзе стора-ны асноў 8 м і 2 м. Вышыня роўна 4 м. Знайдзіце поўную паверхню.
78. Знайдзіце поўную паверхню правільнай усечанай пірамі-ды: 1) трохвугольнай; 2) чатырохвугольнай; 3) шасціву-гольнай, калі вышыня роўна h, а стораны асноў а і Ь.
79. Дакажыце, што цэнтры граней куба з’яўляюцца вяршынямі актаэдра, а цэнтры граней актаэдра з’яўляюцца вяршынямі куба.
80. Дакажыце, што канцы дзвюх непаралельных дыяганалей
1 Вось правільнай уеечанай піраміды супадае з воссю адпаведнай поўнай піраміды.
§ 20. Целы вярчэння
319
процілеглых граней куба з’яўляюцца вяршынямі тэтра-эдра.
81. Знайдзіце двухгранныя вуглы правільнага тэтраэдра.
82*. Знайдзіце двухгранныя вуглы актаэдра.
83. Якія плоскасці сіметрыі мае правільны тэтраэдр?
84*. Колькі плоскасцей сіметрыі ў правільнага актаэдра, да-дэкаэдра і ікасаэдра?
§ 20. ЦЕЛЫ ВЯРЧЭННЯ
181. ЦЫЛІНДР
Цыліндрам (дакладней, кругавым цыліндрам) называецца цела, якое складаецца з двух кругоў, якія не ляжаць у адной плоскасці і сумяшчаюцца паралельным пераносам, і ўсіх адрэзкаў, што злучаюць адпаведныя пункты гэтых кругоў (рыс. 433). Кругі называюцца асновамі цыліндра, а адрэзкі, якія злучаюць адпаведныя пункты акружнасцей кругоў,— утва-раючымі цыліндра.
Паколькі паралельны перанос ёсць рух, то асновы цыліндра роўныя.
Паколькі пры паралельным пераносе плоскасць пераходзіць у паралельную плоскасць (ці ў сябе), то ў цыліндра асновы ляжаць у паралельных плоскасцях.
Паколькі пры паралельным пераносе пункты зрушваюцца па паралельных (ці супадаючых) прамых на адну і тую ж адлегласць, то ў цыліндра ўтваральныя паралельныя і роўныя.
Рыс. 433
Рыс. 434
320
11 клас
Паверхня цыліндра складаецца з асноў і бакавой паверхні. Бакавая паверхня складзена з утваральных.
Цыліндр называецца прамым, калі яго ўтваральныя перпендыкулярныя плоскасцям асноў.
У далейшым мы будзем разглядаць толькі прамы цыліндр, называючы яго для кароткасці проста цыліндрам. Прамы цы-ліндр наглядна можна ўяўляць сабе як цела, якое апісвае прамавугольнік пры вярчэнні яго вакол стараны як восі (рыс. 434).
Радыусам цыліндра называецца радыус яго асновы. Вышы-нёй цыліндра называецца адлегласць паміж плоскасцямі яго асноў. Воссю цыліндра называецца прамая, якая прахо-дзіць праз цэнтры асноў. Яна паралельная ўтваральным.
182. СЯЧЭННІ ЦЫЛІНДРА ПЛОСКАСЦЯМІ
Сячэнне цыліндра плоскасцю, паралельнай яго восі, уяўляе сабой прамавугольнік (рыс. 435). Дзве яго стараны — утвараль-ныя цыліндра, а дзве іншыя — паралельныя хорды асноў. У прыватнасці, прамавугольнікам з’яўляецца восевае сячэнне. Гэта — сячэнне цыліндра плоскасцю, якая праходзіць праз яго вось (рыс. 436).
3 а д а ч a (2). Восевае сячэнне цыліндра — квадрат, плошча якога Q. Знайдзіце плошчу асновы цыліндра.
Рашэнне. Старана квадрата роўна ^Q. Яна роўна
Рыс. 435
Рыс. 436
Рыс. 437
§ 20. Целы вярчэння
321
дыяметру асновы. Таму плошча асновы роўна л^у = __ nQ
4 '
Тэарэма 20.1. Плоскасць, паралельная плоскасці асновы цыліндра, перасякае яго бакавую паверхню па акружнасці, роўнай акружнасці асновы.
Д о к а з. Няхай 0 — плоскасць, паралельная плоскасці асно-вы цыліндра (рыс. 437). Паралельны перанос у напрамку восі цыліндра, які сумяшчае плоскасць 0 з плоскасцю асновы цыліндра, сумяшчае сячэнне бакавой паверхні плоскасцю 0 з акружнасцю асновы. Тэарэма даказана.
183. УПІСАНАЯ I АПІСАНАЯ ПРЫЗМЫ
Прызмай, упісанай у цыліндр, называецца такая прызма, у якой плоскасцямі асноў з’яўляюцца плоскасці асноў цы-ліндра, а бакавыя канты — утваральныя цыліндра (рыс. 438).
Задача (7). У цыліндр уяісана правільная шасці-вугольная прызма. Знайдзіце вугал паміж дыяганаллю яе бакавой грані і воссю цыліндра, калі радыус асновы роўны вышыні цыліндра.
Р а ш э н н е. Бакавыя грані прызмы — квадраты, па-колькі старана правільнага шасцівугольніка, упісанага ў акружнасць, роўна радыусу (рыс. 439). Канты прызмы паралельныя восі цыліндра, таму вугал паміж дыяганал-лю грані і воссю цыліндра роўны вуглу паміж дыяга-наллю і бакавым кантам. А гэты вугал роўны 45°, паколькі грані — квадраты.
Рыс. 438
11 Геаметрыя, 7 —11 кл.
322
11 клас
Датычнай плоскасцю да цыліндра называецца плоскасць, якая праходзіць праз утваральную цыліндра і перпендыку-лярная плоскасці восевага сячэння, якая змяшчае гэту ўтва-ральную (рыс. 440).
Прызмай, апісанай каля цыліндра, называецца прызма, у якой плоскасцямі асноў з’яўляюцца плоскасці асноў цыліндра, а бакавыя грані датыкаюцца да цыліндра (рыс. 441).
КНІГІ ОНЛАЙН
