Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

С. I. НАВАСЁЛАЎ UI Трыганаметрыя ПАДРУЧНІК ДЛЯ 9—10 КЛАСАЎ СЯРЭДНЯЙ ШКОЛЫ Выдавецтва „Народная azeema" Мін с к 1965 64 С. I. НАВАСЁЛАЎ ТРЫГАНАМЕТРЫЯ ПАДРУЧНІК ДЛЯ 9—10 КЛАСАЎ сярэдняй школы Зацверджан Міністэрствам асветы РСФСР ВЫДАННЕ ВОСЬМАЕ 3 ДЗЕВЯТАГА РУСКАГА ВЫДАВЕЦТВА «НАРОДНАЯ АСВЕТА» МІНСК 1965 На белорусском языке Сергей Носйфовйч Новоселов Трнгонометрня Учебннк для 9—10 классов средней школы Нздательство «Народная асвета» Государственного комнтета Совета Мнннстров БССР по печатн, Мннск, Ленннскнй проспект, 83а Рэдактар Т. М. Белая Тэхнічны рэдактар В. Н. Жук Карэктар В. П. Матукоўская Здадзена ў набор 25/ІХ 1964 г. Падпісана да друку І8/ІІ 1965 г. Фармат 60х90*/1в. Друк. арк. 6. Уч.выд. арк. 5,4. Тыраж 26 000 экз. Цана 12 кап. Заказ 429. Паліграфкамбінат імя Я. Коласа Дзяржаўнага камітэта Савета Міністраў БССР па друку, Мінск, Чырвоная, 23. Раздзел I ВУГЛЫ 1 ДУГІ; IX ВЫМЯРЭННЕ § 1. Вуглы адвольнай велічыні У геаметрыі вуглом называюць фігуру, утвораную двума праменямі, якія зыходзяць з аднаго пункта. Усякі вугал можа быць утворан вярчэннем у плоскасці праменя вакол пачатковага пункта. Так, пры вярчэнні праменя вакол пункта 0 ад пачатковага становішча ОА да канечнага становішча ОВ утвараеццавугал АОВ (чарц. 1). Пры вярчэнні праменя можа ўтварыцца вугал, большы за разгорнуты (чарц. 2). Прамень, які верціцца, апісаўшы ў плоскасці некалькі поўных абаротаў вакол пункта 0, супадзе з першапачатковым становішчам. Паварот праменя можа складацца з некалькіх поўных абаротаў і вугла, які складае частку поўнага абароту (чарц. 3). Прыкладам можа служыць рух спіцы кола, якое верціцца. Вярчэнне праменя ў плоскасці можа адбывацца ў двух узаемна процілеглых напрамках (чарц. 4). Так, напрыклад, два зубчастыя колы аднолькавага радыуса, счэпленыя адно з другім, як паказана на чарцяжы 5, верцяцца ва ўзаемна процілеглых напрамках і пры павароце аднаго з іх на некаторы Чарц. 1. Чарц. 2. Чарц. 3. Чарц. 4 вугал другое павернецца на такі ж вугал, але ў процілеглым напрамку. Адзін з деух магчымых напрамкаў вярчэння на плоскасці будзем лічыць дадатным, а другі адмоўным. Тады вугал, утвораны вярчэннем праменя ў дадатным напрамку, лічыцца да Чарц. 5. 3 датным, а вугал, утвораны вярчэннем праменя ў адмоўным напрамку, — адмоўным. Л ю б ы з двух магчымых напрамкаў вярчэння ў плоскасці можна прыняць за дадатны. У далейшым дадатным напрамкам вярчэння мы будзем лічыць напрамак, процілеглы вярчэнню стрэлкі гадзінніка, пакладзенага на плоскасць, у якой адбываецца вярчэнне, і павернутага цыферблатам да назіральніка. Калі прамень ОА, не зрабіўшы ніякага вярчэння, застаўся ў першапачатковым становішчы, то гавораць, што вугал павароту праменя роўны н у л ю. Азначэнне. Пачатковае становішча праменя, які верціцца, называецца пачатковай стараной адпаведнага вугла павароту, а канечнае становішча праменя — канечнай стараной гэтага вугла. Існуе бясконцае мноства вуглоў, для якіх пачатковая і канечная стораны маюць дадзенае становішча; усе гэтыя вуглы адрозніваюцца адзін ад другога цэлым лікам поўных (дадатных або адмоўных) абаротаў. § 2. Дугі акружнасці адвольнай велічыні Усякаму вуглу, утворанаму двума радыусамі акружнасці, адпавядае дуга гэтай акружнасці, абмежаваная канцамі дадзеных Чарц. 6. радыусаў (чарц. 6). Калі радыус ОА верціцца вакол цэнтра 0, то канец А радыуса рухаецца па акружнасці. Гавораць, што пункт рухаецца па акружнасці ў дадатным (або адмоўным) напрамку, калі радыус, які злучае яго з цэнтрам, верціцца ў дадатным (адпаведна адмоўным) напрамку. Дуга, утвораная рухам пункта па акружнасці ў дадатным напрамку, лічыцца дадатнай, а ў адмоўным напрамку — адмоўнай (чарц. 7). Калі радыус зробіць п о ў н ы (дадатны або адмоўны) а б а р о т, то канец радыуса, апісаўшы п о ў н у ю акружнасць, вернецца ў пачатковае становішча. Можна разглядаць дугі, што змяшчаюць які хочаце лік дадатных або адмоўных поўных акружнасцей. Уяўленне аб такой дузе дае наматаная на шпульку тонкая нітка: яна можа змяшчаць любую колькасць віткоў, наматаных у тым або іншым напрамку. Чарц. 7. § 3. Вымярэнне вуглоў і дуг Паняцце аб вымярэнні вуглоў вядома з геаметрыі. Для вымярэння вуглоў прымаюць некаторы пэўны вугал за адзінку вымярэння і з яе дапамогай вымяраюць усе іншыя вуглы. За адзінку вымярэння можна прыняць любы вугал. 4 На практыцы часта вуглы вымяраюць у градусах, прымаючы за адзінку вымярэння частку поўнага абарсту, якая называецца градусам. Для вымярэнняў, якія патрабуюць вялікай дакладнасці, градус дзеліцца на 60 роўных частак — мінуты; мінута дзеліцца на 60 роўных частак — секунды. У геаметрыі часам вуглы вымяраюць «у долях d», прымаючы за адзінку вымярэння прамы вугал. У тэхніцы часта за адзінку вымярэння вуглоў прымаюць п о ў н ы абарот. Так, паварот кола машыны або прапелера самалёта звычайна вымяраецца лікам абаротаў. У артылерыі за адзінку вымярэння вуглоў прымаюць ^ частку поўнага абароту, г. зн. ^ = 6°; гэты вугал называюць в я л і к і м дзяленнем вугламера. Для больш дакладнага вымярэння вуглоў вялікае дзяленне вугламера дзеляць на 100 роўных частак; ву6° гал = 3'36" называюць м а л ы м дзяленнем вугламера. Велічыня дадатнага вугла выражаецца дадатным лікам, a адмоунага вугла — адмоўным лікам. Вуглы, якія вывучаюцца ў трыганаметрыі, могуць вымярацца любымі сапраўднымі лікамі, бо пры вярчэнні ўтварыцца вугал адвольнай велічыні (дадатны, адмоўны, нулявы, змяшчаючы любы лік поўных абаротаў). Пры вымярэнні дуг дадзенай акружнасці за адзінку прымаюць дугу, на якую абапіраецца цэнтральны вугал, узяты за адзінку вымярэння вуглоў. Тады велічыня цэнтральнага вугла і велічыня дугі, на якую ён абапіраецца, выразяцца праменя можа Чарц. 8. адным і тым жа лікам у вуглавых і ў дугавых адзінках (адпаведна). Радыяннае вымярэнне вуглоў і дуг. 3 геаметрыі вядома, што пры а д н ы м і тым ж а цэнтральным вугле даўжыні дуг дзвюх акружнасцей адносяцца, як даўжыні іх радыусаў (чарц. 8)*: АіВ2 _ Ді ^і^і _______ А2В2 а^2 “ ’ Такім чынам, пры адным і тым жа цэнтральным вугле адносіна даўжыні дугі акружнасці да яе радыуса не залежыць ад велічыні радыуса. Пры змяненні цэнтральнага вугла велічыня гэтай адносіны змяняецйа. Азначэнне. Радыяннай мерай вугла называецца адносіна даўжыні дугі акружнасці, для якой дадзены вугал * Сектары ОА1В1 і ОА2В2 падобныя. 5 з'яўляецца цэнтральным, да даўжыні радыуса гэтай дугі. Пры радыянным вымярэнні вуглоў адзінкай вымярэння служыць дадатны цэнтральны вугал, які абапіраецца на дугу, роўную па даўжыні радыусу. Гэты вугал называецца радыянам (чарц. 9). Пры радыянным вымярэнні д у г акружнасці Чарц. 9 адзінкай служыць дугавы радыян; гэта ёсць дуга, роўная па даўжыні радыусу. Пераход ад градуснай меры да рад ы я н н а й. Радыянная мера поўнага (дадатнага) абароту роўна даўжыні акружнасці, падзеленай на радыус: = 2^ = 6,283185... Радыянная мера 1° роўна |^ =^ = 0,017453... Калі вугал змяшчае А°, то яго радыянная мера а роўна: a = — 180 (1) Вылічым радыянную меру вугла І': *' = ¥ <градуса) = ^ • j^ (РаДыянаЎ) ^ 0,00029088... (радыяна). Радыянная мера некаторых часта сустракаючыхся вуглоў дадзена ў наступнай табліцы: Градусы 30’ 45° 60’ 90° 180’ 270’ 360’ Радыяны т ~ Й 0,5236 Т ~ й 0,7854 Т ~ й 1,0472 » 1,5708 й 3,1416 3* 2 ~ st 4,7124 2к й »6,2832 Пераход ад радыяннай меры да градуснай. 3 роўнасці (1) вынікае, што вугал, роўны a радыянаў, змяшчае до 180° У прыватнасці, 1 радыян = ^^ 57,295 (градуса)^ 3438'^ 206265" ^57° 17'45". Прыклад. Градусная мера (з дакладнасцю да мінуты) вугла ў 2 радыяны роўна 2. 180° —— » 2 • (57°17'45") « 114’36' (секунды адкідаем па правілах акруглення). 6 Лік, атрыманы ў выніку вымярэння якойнебудзь велічыні, як правіла, суправаджаецца найменнем адзінкі вымярэння, напрыклад: 5 км, 10 руб., 7° і да т. п. Аднак для радыяннай меры вуглоў і дуг увайшло ў звычай выключэнне: велічыня вугла (або дугі), выражаная у радыянах, запісваецца лікам без наймення. Замест слоў «вугал, які вымяраецца лікам а», коратка гавораць «вугал а». Так, напрыклад, гавораць: «вугал 0,5» замест «вугал, велічыня якога роўна 0,5 радыяна» Для пераходу ад градуснай меры да радыяннай можна карыстацца гатовымі табліцамі. У школьных табліцах У. М. Брадзіса, у табліцы XVI, дадзены значэнні радыяннай меры вуглоў ад 0 да 90° праз кожныя 6 мінут. Гэтыя значэнні вылічаны набліжана з дакладнасцю да чацвёртага дзесятковага знака. Прыклады. 1) Знайсці радыянную меру а вугла 130°26'. Рашэнне. Дадзены вугал складаецца з вугла 903 і з вугла 40°26'. 3 табліцы знойдзем радыянную меру вуглоў: 90° і 40°24'; збоку ў табліцы змешчана папраўка на 2', якую трэба дадаць да апошняга дзесятковага знака: 90’ — 1,5708 40°24' — 0,7051 2' — 6 a = 2,2765 2) Знайсці градусную меру (з дакладнасцю да 1°) вугла, роўнага (набліжана) 1,25 радыяна. Рашэнне. У табліцах У. М. Брадзіса (стар. 48) знойдзем, што лік ’1,2497 — найбліжэйшы да 1,2500; яму адпавядае вугал 71°36'. Акруглім знойдзенае значэнне з дакладнасцю да 1°, тады атрымаем (набліжана) 72°. Ведаючы радыус акружнасці R і радыянную меру a дугі, можна вылічыць даўжыню I гэтай дугі. На самай справе, па азначэнню радыяннай меры: a = —адкуль I = zR. Такім чынам, даўжыня дугі акружнасці роўна здабытку яе радыяннай меры на радыус. Прыклад. Кола радыусам 2,2 лі павярнулася на вугал 30,5°; знайсці даўжыню шляху, пройдзенага пунктам на вобадзе кола. Р а ш э н н е Па формуле I = a R знойдзем даўжыню шляху: 1^2,2 0,532 я 1,1704 « 1,2. З'а ў в а г а. Радыянная мера вугла 30°30' узята з табліц Брадзіса: 0,5323. Паколькі набліжанае значэнне R дадзена з дзвюма значачымі лічбамі, то і значэнне a трэба акругліць, захаваўшы толькі тры значачыя лічбы: a » 0,532 (трэцяя лічба запасная). § 4. Каардынатная плоскасць, адзінкавы круг Установім на плоскасці дадатны напрамак вярчэння і выберам на ёй восі каардынат. Дадатны напрамак на восі ардынат заўсёды выбіраецца так, каб пры павароце дадатнага праменя ОХ восі абсцыс на дадатны прамы вугал ён сумясціўся з дадатным 7 праменем OY восі ардынат. Так, на чарцяжы 10 дадзены: дадатны напрамак вярчэння — супраць гадзіннікавай стрэлкі, дадатны напрамак восі абсцыс — управа, дадатны напрамак восі ардынат — уверх. Вуглы на каардынатнай плэскасці прынята