Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
Вобласцю вызначэння тангенса з’яўляецца мноства ўсіх сапраўдных лікаў, не роўных ^ + k^.
42
Калі з мноства ўсіх сапраўдных лікаў выключыць лікі віду ^ + kit, то застанецца бясконцае мноства інтэрвалаў *:
••' ’(Тя’г)’ (Ь ~г)’ ("b "Т") ’ •■ (чаРц 41)
3°. Вобласцю вызначэння функцыі ctga служыць мноства ўсіх □ сапраўдных лікаў, не роўных kit, о—о*о~—э—о г. зн. бясконцае мноства інтэрвалаў: ~іп ~т 7 Г^ Гл ... , (—it, 0), (0, it), (it, 2it),... (дугі, якіявымяраюцца лікамі kit, не маюць катангенса). Іарц' 41
§ 28. Уласцівасць абмежаванасці і неабмежаванасці трыганаметрычных функцый
Функцыя называецца абмежаванай (у вобласці яе вызначэння), калі існуе такі дадатны лік М, што значэнні функцыі па абсалютнай велічыні не больш ліку М пры ў с і х значэннях аргумента. Калі функцыя можа прымаць якія хочаце вялікія значэнні па абсалютнай велічыні, то яна называецца неабмежав а н а й.
Абмежаванасць і неабмежаванасць трыганаметрычных функцый вынікае з іх уласцівасцей, устаноўленых у § 13, а іменна: функцыі cos a і sina абмежаваныя, таму што кожная з іх можа прымаць любое сапраўднае значэнне.
I COS a | < 1, sina I < 1.
Функцыі tga i ctga неабмежаваныя, таму ійто кожная з ix можа прымаць любое сапраўднае значэнне.
§ 29. Інтэрвалы знакапастаянства
Калі пры ў с і х значэннях аргумента, што належаць некатораму лікаваму прамежку, значэнні функцыі аднолькавыя па знаку (дадатныя або адмоўныя), то гэты прамежак называецца прамежкам знакапастаянства дадзенай функцыі.
На аснове сказанага ў § 9 маем:
1° У інтэрвалах (^ + 2k it, ^ + 2k it j (дзе k — любыцэлы
лік) функцыя cos a дадатная. На самай справе, калі£ + | 2^ it < a < ^ 4 2^ , то вугал, які вымяраецца лікам а, заканч
а b * Напамінаем азначэнне інтэрвалу. Няхай a і Ь — два
—ст=»—о сапраудныя лікі і a < Ь. Інтэрвалам ад а да Ь называецца
а<х<Ь мностеа ўсіх сапраўдных лікаў х, заключаных па
між а і Ь. г. зн. a < х < b. На лікавай прамой (чарц. 42) Чарц. 42. інтэрвал паказваецца адрэзкам, абмежаваным пунктамі а і Ь, прычым самі гэтыя пункты да інтэрвалу не прылічваюцца. Інтэрвал ад a да 6 абазначаецца так: (а, Ь).
43
ваецца ў правай паўплоскасці, а таму cosa>0. У інтэрвалах (у+ 2Ь, yit|2hj (левая паўакружнасць) косінус адмоўны.
2Э. У інтэрвалах [2k, (2^41)“] (верхняя паўакружнасць) функцыя sin a дадатная, а ў інтэрвалах (—ж42Ь, 2k п) (ніжняя паўакружнасць) адмоўная.
3°. У інтэрвалах [k^, —^г k^j (пры k цотным— I чвэрць, а пры k няцотным — II/ чвэрць) функцыі tg a і ctg a дадатныя, а ў інтэрвалах (^ + k~, k~j (пры k цотным— IV чвэрць, a
пры k няцотным — II чвэрць) адмоўныя.
§ 30. Уласцівасць перыядычнасці трыганаметрычных функцый
Функцыя называецца перыядычнай, калі існуе такі лік IФ 0, называемы перыядам, што значэнне функцыі н е з м яняецца пры дадаванні (або адыманні) гэтага ліку да любога
значэння яе аргумента.
На чарцяжы 43 паказан графік перыядычнай функцыі, ён складаецца з бясконцага мноства «паўтараючыхся» дуг.
Чарц. 43
Перыядычныя функцыі маюць вялікае значэнне ў фізіцы, механіцы і тэхніцы пры вывучэнні розных перыядычных працэсаў (ваганні, рухі механізмаў, сіла пераменнага электрычнага току і да т. п.).
Тэарэма Г. Трыганаметрычныя функцы і з’ яўляюцца
перыядычнымі з агульным перыядам 2.
2°. Найменшы дадатны перыяд функцый cosa і sina
роўны 2к.
3°. Найменшы дадатны перыяд функцый tga і ctga роўны .
Доказ. Значэнні любой трыганаметрычнай функцыі ад аргументаў a і a 4 2^ тс (дзе k — любы цэлы лік) аднолькавыя (гл. стар. 34):
cos (a 4* 2k ) = cos a, sin (a + 2k 4 = sin a i г. д.,
значыць кожны з лікаў + 2я, ± 4 к, + 6 ^ і г. д. з’яўляецца агульным перыядам усіх*чатырох трыганаметрычных функцый. У прыватнасці, 2 ёсць іх агульны перыяд.
Для функцыі cosa лік 2 ёсць найменшы дадатны перыяд. Дапусцім адваротнае, што дадатны лік I, меншы за 2, ёсць перыяд косінуса; тады роўнасць cos (a 4 0 = cos a мае месца пры ўсіх значэннях аргумента а. Паклаўшы ў гэтай тоеснасці a = 0, атрымаем cos / = 1, што немагчыма, таму што дадатная
44
/<• еГ
дуга, якая вымяраецца лікам I, меншым за 2л, не заканчваецца ў пункце A (1, 0), а таму яе косінус не роўны 1.
Аналагічна даказваецца, што 2л ёсць найменшы дадатны перыяд сінуса: калі выконваецца тоеснасць sin (а + /) = sina, то пры a = у атрымаем sin (у + /^ = cos / = 1, але пры 0 х2.
Такім чынам: cosa1> cosa2, калі ах < а2, г. зн. большаму
45
значэнню аргумента ў I чвэрці адпавядае меншае значэнне косінуса. Значыць, у I чвэрці функцыя cos а убывае.
Найбольшае і найменшае значэнні косінус мае ў гранічных
пунктах 1 чвэрці: 1
пры a = 0 і 0 пры a = у.
Калі значэнні аргумента 04 і а2 належаць II чвэрці і у < Uj < a2 < it, то, выканаўшы пабудаванне (чарц. 45), убачым, што адлегласць ад цэнтра круга да хорды, адпавядаючай дузе a1F меншая за адлегласць ад цэнтра да хорды, адпавядаючай дузе а2. Гэтыя адлегласці роўны абсалютным велічыням |хх| і |х2| абсцыс канцоў дуг ax і а2, а таму |xj < |х2|. Паколькі абсцысы пунктаў другой чвэрці адмоўныя, то хг > х2. Значыць, cos ax > cos a2,
г. зн. у другой чвэрці функцыя cos a убывае.
Найбольшае і найменшае значэнні косінус прымае ў гранічных
пунктах II чвэрці: 0 пры a = ^ і — 1 пры a = it.
Будучы ўбываючай у I і II чвэрцях, функцыя cos a убывае ў верхняй паўакружнасці; найбольшае і найменшае значэнні
cos 0 = 1 і cos it = — 1 яна прымае ў гранічных пунктах верхняй паўакружнасці. Усякае значэнне т, заключанае паміж — 1 і 1, функцыя cos a прымае пры галоўным значэнні аргумента a = arc cos т.
Лікаваму сегменту * 0 < a < it адпавядае верхняя паўакружнасць (уключаючы гранічныя пункты).
Устаноўленыя ўласцівасці функцыі cos a фармулююць так: на сегменце [0, ] функцыя cos a убывае ад 1 да — I.
Разгледзеўшы функцыю cos a у ніжняй паўакружнасці, можна
паказаць, што на сегменце — г^ а ^ 0 (ніжняя паўакружнасць) функцыя cos a узрастае ад — I да 1,
Будучы перыядычнай з перыядам 2 it, функцыя cos a убывае ад } да — I на ўсякім сегменце [2^it, (24+ l)it] (верхняя паўакружнасць) і ўзрастае ад — 1 да 1 на ўсякім сегменуе [(24—l)it, 24it] (ніжняя паўакружнасць).
a b
а^х^Ь
Чарц. 46
адрэзкам, абмежаваным в а ю ц ц а да сегмента.
* Няхай a і Ь — два сапраўдныя лікі і а< b (чарц. 46); лікавым сегментам ад a da b (не змешваць з кругавым сегментам) назызаецца мноства, якое складаецца з усіх сапраўдных літў, заключаных паміж а і Ь, і саміх лікаў а і Ь, г. зн. мноства ўсіх сапраўдных лікаў х, задавальняючых няроўнасцям a <. х < Ь На лікавай прамой сегмент паказваецца пунктамі а і Ь, прычым самі гэтыя пункты п р ы л і чСегмент ад a да & абазначаецца та<: [а, Ь\
46
Калі пункт М рухаецца ў дадатным напрамку па адзінкавай акружнасці, то яго праекцыя на вось абсцыс рухаецца ўздоўж гарызантальнага дыяметра (чарц. 47). Калі пункт Д4 апісвае верхнюю паўакружнасць, то яго праекцыя апісвае гарызантальны
дыяметр справа налева, а яго абсцыса, г. зн. косінус дугі a = AM, убывае ад 1 да — 1. Калі пункт М апісвае ніжнюю паўакружнасць, то яго праекцыя на вось абсцыс апісвае гарызантальны дыяметр злева направа; пры гэтым абсцыса пункта М узрастае ад — 1 да 1.
Калі пункт М рухаецца раўнамерна па акружнасці, то яго праекцыя на прамую робіць перыядычны рух, які называецца ў фізіцы гарманічным ваганнем. Гарманічнае ваганне разглядаецца як найпрасцейшы від перыядычнага руху.
Функцыя sin а. Калі значэнні аргумента ^ і а2 належаць першай чвэрці і 0 < a± < а2< —, то (чарц. 44) большую дугу сцягвае большая хорда, а таму
2^ < 2у2 і у± < у2. Паколькі у} = sin av Чарц. 47.
у2 = sin a2, to sin Sj < sin a2, калі ax < a2.
Такім чынам, y I чвэрці большаму значэнню аргумента ад
павядае б о л ь ш а е значэнне сінуса.
У Рершай чвэрці функцыя sin a узрастае ад 0 да 1.
Разгледзеўшы функцыю sin a у IV чвэрці, дакажам, што ў гэтай чвэрці яна ўзрастае ад — 1 да 0.
I і IV чвэрці ў сукупнасці складаюць правую паўакружнасць.
На сегменце —^< a <^ (правая паўакружнасць)
функцыя sin a узрастае ад — 1 да 1.
3 разгляду функцыі sin a у левай паўакружнасці вынікае, што
на сегменце
2 ’
2 2
функцыя sin a убывае ад 1 da — 1.
Будучы перыядычнай з перыядам 2к, функцыя sin a узрастае ад — \ да \ на ўсякім сегменце |^ + 2Н, ^—Н24я| (пра
вая паўакружнасць) і ўбывае ад 1 da — 1 на ўсякім сегменце [г 3 1
у+ 2feK, ~<р^ + 2fen (левая паўакружнасць).
Пры руху пункта М у дадатным напрамку па правай паўакружнасці яго праекцыя на вось ардынат апісвае вертыкальны дыяметр знізу ўверх, а ардыната пункта М, г. зн. сінус дугі AM, узрастае ад — 1 да 1. Пры руху пункта па левай паўакружнасці яго праекцыя апісвае вертыкальны дыяметр зверху ўніз, а ардыната ўбывае ад 1 да — 1 (чарц. 48).
КНІГІ ОНЛАЙН
