КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

* За адзінку даўжыні звычайна бярэцца 0,001 даўжыні шкалы.
60
саў), якая абазначае дадзены вугал, будзе стаяць лік, што ўтвараецца першымі (трыма) значачымі лічбамі сінуса (тангенса) гэтага вугла. Так, напрыклад, супраць паметкі 12° 30' шкалы сінусаў на асноўнай шкале стаіць паметка 2—1—6, што азначае sin 12° 30'= = 0,216. Значыць, пры дапамозе лінейкі можна знаходзіць значэнні трыганаметрычных функцый і адваротна значэнні вуглоў па іх трыганаметрычных функцыях. На лінейцы няма шкалы для косінусаў, таму што косінус можна замяніць сінусам вугла, дапаўняльнага да
90°. Шкала тангенсаў дадзена толькі для вострых вуглоў, не большых 45°, таму што для вугла, большага 45°, можна знайсці тангенс,
скарыстаўшы наступную тоеснасць: tg a =
прыклад, tg 70° = tg^0o; таму, устанавіўшы
1
tg(90°a) •
Так, на
паметку 20° шкалы
тангенсаў супраць правага канца асноўнай шкалы, прачытаем лік 2—7—5, які ўкажа пачатковы пупкт шкалы тангенсаў. Прыняўшы пад увагу, што tg 70° > 1 (але tg 70° < 10, таму што arc tg 10=;: 84°), атрымаем tg 70° ~ 2,75.
Каб пазбегнуць частага пераварочвання перамяшчальніка, на адваротным баку корпуса лінейкі нанесены штрыхі, якія знаходзяцца ў проразі строга супраць канцоў асноўнай шкалы. Калі супраць такога штрыха паставіць паметку вугла, то канец асноўнай шкалы ўкажа на пярэднім баку перамяшчальніка значэнне адпаведнай трыганаметрычнай функцыі.
Вылічэнне выразаў, якія з’яўляюцца здабыткамі і дзелямі, што змяшчаюць у якасці множнікаў і дзельнікаў значэнні трыганаметрычных функцый, робіцца па звычайных правілах вылічэнняў на лагарыфмічнай лінейцы. Так, напрыклад, каб вылічыць здабытак 22,8 • sin 18°30', ставім пачатковы пункт шкалы сінусаў (перавярнуўшы перамяшчальнік) супраць паметкі 2—2—8 асноўнай шкалы; тады на асноўнай шкале супраць паметкі шкалы сінусаў 18° 30' акажуцца значачыя лічбы шукаемага здабытку: 7—2—3; значыць, 22,8 • sin 18° 30' = 7,23.
3 а ў в a г а. Для малых вуглоў нанесці адпаведныя паметкі на агульную шкалу практычна немагчыма. Прыняўшы пад увагу, што sin 5,6° « tg 5,6° й 0,1 і што значэнні сінуса і тангенса малых вуглоў блізкія адзін да другога, змяшчаюць пасярэдзіне адваротнага боку перамяшчальніка агульную шкалу для сінусаў і тангенсаў вуглоў, меншых 5,6°. Пры дапамозе гэтай шкалы робяцца вылічэнні з малымі вугламі; правілы вылічэнняў застаюцца ранейшымі.
Раздзел VI
ВЫЛІЧЭННЕ ЭЛЕМЕНТАЎ ГЕАМЕТРЫЧНЫХ ФІГУР
§ 35. Элементы трохвугольніка
гэтымі ж літарамі
Чарц. 64.
У геаметрыі разглядаюцца розныя элементы трохвугольніка: стораны, вуглы, перыметр, плошча, бісектрысы, медыяны, вышыні і г. д.
Стораны трохвугольніка і яго вуглы называюцца асноўнымі элементамі.
Калі A, В, С — вяршыні вуглоў трохвугольніка, то прынята абазначаць і самі вуглы; малымі літарамі a, b і с прынята абазначаць стораны, процілеглыя вуглам, якія абазначаны т ы м і ж вялікімі літарамі (чарц. 64).
Дапушчальныя значэнні асноўных элементаў трохвугольніка павінны задавальняць наступным умовам:
1°. Вуглы трохвугольніка дадатныя і ў суме складаюць 180°:
В>0, С>0 і А + В + С= 180’.
Х7
2°. Стораны трохвугольніка дадатныя і усякая старана менш сумы дзвюх другіх старон:
0 <_а<Ь + с, 0 < й < с + а; 0 < с < a + 6.
§ 36. Аб рашэнні трохвугольнікаў
У геаметрыі разглядаюцца розныя задачы на пабудаванне трохвугольніка па дастатковаму ліку дадзеных яго элементаў. У трыганаметрыі разглядаюцца задачы на вылічэнне, у якіх трэба вылічыць тыя або іншыя элементы трохвугольніка па дастатковай колькасці лікавых значэнняў зададзеных яго элементаў. Гэтыя задачы звычайна называюцца задачамі на рашэнне трохвугольніка. У геаметрыі вывучаюцца наступныя асноўныя задачы на пабудаванне трохвугольніка: пабудаваць трохвугольнік па трох
62
дадзеных яго асноўных элементах, з якіх хоць бы адзін з’яўляецца стараной*.
У трыганаметрыі рашаюцца адпаведныя асноўныя задачы: па зададзеных велічынях трох асноўных элементаў трохвугольніка, з якіх хоць бы адзін з'яўляецца стараной, вылічыць велічыні трох іншых яго асноўных элементаў.
§ 37. Рапіэнне прамавугольных трохвугольнікаў
Няхай ABC — прамавугольны трохвугольнік, С — прамы вугал, a і b — катэты, процілеглыя вострым вуглам A і В, с—гіпа
в
a
тэнуза (чарц. 65); тады маем:
Косінус вострага вугла ёсць адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы:
а ь с
Чарц. 65.
Сінус катэта
А Ь cos A = — с
, cos В =— с
(1)
вострага вугла ёсць адносіна процілеглага да гіпатэнузы:
sin A = —, sin Я = — с	с
(2)
Тангенс вострага вугла ёсць адносіна процілеглага катэта да прылеглага:
tg4 = 4
6 ь
tgB = — ь a
(3)
Катангенс вострага вугла ёсць адносіна прылеглага катэта да процілеглага:
ctg A =^~, ctg В =4"
(4)
Сума вострых вуглоў роўна 90С
Асноўныя задачы на прамавугольныя трохвуг о л ь н і к і.
Задача I. Дадзены гіпатэнуза і адзін з вострых вуглоў; вылічыць іншыя элементы.
* Па трох вуглах A, В. С трохвугольнік або нельга пабудаваць (калі A + В \ С ^= 180°), або (калі Л + В + С = 180°) існуе бясконцае мноства падобных паміж сабоіі трохвугольнікаў з дадзенымі вугламі.
63
Р а ш э н н е. Няхай дадзены с і А Вугал В = 90° — А таксама вядомы; катэты знаходзяцца з формул (1) і (2):
а = сзіпЛ, д = ссозЛ.
Задача II. Дадзены катэт і адзін з вострых вуглоў; вылічыць іншыя элементы.
Рашэнне. Няхай дадзены a і А. Вугал В = 90°—А вядомы; з формул (3), (4) і (2) знойдзем;
d = atgB(= actgЛ), с = —^—г.
Задача III. Дадзены катэт і гіпатэнуза; вылічыць іншыя элементы.
Рашэнне. Няхай дадзены а і с (прычым a < с). 3 роўнасцей (2) знойдзем вугал А:
sin A = — і A = arc sin —, затым B = 90°— А і, нарэшце, катэт Ь: с	с 1	Г
Ь — с СОзЛ(=СЗІпВ)
Задача IV. Дадзены катэты а і Ь; знайсці іншыя элементы.
Рашэнне. 3 роўнасцей (3) знойдзем востры вугал, напрыклад Л. 1§Л = у, Л = arctg^, затым вугал В = 90°—Л, затым гіпатэнузу:
a [ b « \ с = — — I ==I.
sin Л \	sin В	cos В /
Ніжэй прыводзіцца прыклад рашэння прамавугольнага трохвугольніка пры дапамозе лагарыфмічных табліц*.
Пры вылічэннях па лагарыфмічных табліцах трэба выпісаць адпаведныя формулы, пралагарыфмаваць іх, падставіць лікавыя даныя, па табліцах знайсці патрабуемыя лагарыфмы вядомых элементаў (або іх трыганаметрычных функцый), вылічыць лагарыфмы шукаемых элементаў (або іх трыганаметрычных функцый) і па табліцах знайсці шукаемыя элементы.
Прыклад. Дадзены катэт a =166,1 і гіпатэнуза с= 187,3; вылічыць вострыя вуглы, другі катэт і плошчу.
Р а ш э н н е. Маем:
a	lg a = 2,2204
sin A = —, 1g sin Л = 1g a — 1g c;	1g c = 2,2725
1g sin Л= 1,9479.
Л ss 62° 30'; B « 90°— 62° 30' = 27° 30'.
Вылічваем катэт b:
fe = a tg B; lg b = lg a + lg tg B;	lg a = 2^2204
lgtgB= 1,7165
1g ft = 1,9369.	&« 86,48.
* Вылічэнне элементаў прамавугольных трохвугольнікаў па натуральн ы х табліцах вядома з курса геаметрыі VIII класа.
64
Плошчу трохвугольніка можна вылічыць па формуле:
S = ^ab = 0,5 a2tg B;	1g 0,5 = 1,6990 2 1g a = 4,4408 lgtgfi= 17165	1g	a = 2,2204
	tg S = 3,8563	S	« 7183.
Для кантролю падлічым вугал А на лагарыфмічнай лінейцы: a	166
A = arc sin — = arc sin ~~ ® 62°.
3	a ў в a r a. Катэт Ь можна вылічыць па тэарэме Піфагора. карыстаючыся табліцамі квадратаў і квадратных кораняў (табл. XI і XII):
Ь = / 187,32 — 166.12 = ]/ 35080 — 27590 » 86,54.
Разыходжанне з раней атрыманым значэннем Ь « 86,48 тлумачыцца пагрэшнасцямі табліц, у якіх даюцца н а б л і ж а н ы я значэнні функцый. Рэзультат 86,54 з’яўляецца больш дакладным л ?
§ 38. Тэарэма сінусаў
Тэарэма. Ва ўсякім трохвугольніку стораны прапарцыянальны сінусам процілеглых вуглоў:
a	b	c
sin A	sin 7?	sin C
Доказ. Апішам круг вакол дадзенага трохвугольніка ABC (чарц. 66). Няхай R — радыус гэтага круга. Возьмем адну з вяршынь трохвугольніка, на
прыклад А; праз адну з іншых вяршынь, напрыклад праз В, правядзём дыяметр ВА' апісанага круга. Дапаможны трохвугольнік А'ВС прамавугольны, таму што ўпісаны вугал А'СВ абапіраецца на дыя

Чарц. 66.
метр. 3 дапаможнага трохвугольніка знойдзем:
a = 2R sin А'.
Калі вугал А востры, то А=А', таму што ўпісаныя вуглы А і А' абапіраюцца на адну і тую ж дугу. Калі вугал А тупы, то вугал А' востры, які вымяраецца палавінай дугі ВАС:
А'=^ ВАС = |(2^ v ВА'С) = z ^В^ = к  A
Такім чынам, або A = А', або А' — п— А, у абодвух выпадках sin А' = sin A, а таму
a — 2R sin A.
5 Трыганаметрыя, 9—10 кл.
65
Калі вугал А прамы, to a = 2R, sinA = 1 і роўнасць (1) таксама справядліва.
Аналагічныя роўнасці знойдзем і для іншых вуглоў В і С. Такім чынам,
a = 2R sin A; b = 2RsinB; c = 2RsinC, адкуль
Cl	b	o o
sin Л sin B sinC ’	' Т' Д’
B ы h i к. Адносіна стараны трохвугольніка да сінуса процілеглага вугла роўна дыяметру круга, апісанага каля трохвугольніка.
nt
§ 39. Тэарэма косінусаў
Тэарэма. Квадрат стараны трохвугольніка роўны суме квадратаў дзвюх другіх яго старон мінус падвоены здабытак гэтых старон на косінус вугла паміж імі:
a2 = b2 А ^2 — 2bc cos A &2 = с2 + a2 — 2са cos В с2 = а2 + Ь2 — 2ab cos С
Доказ. Дакажам першую роўнасць.
востры. Няхай ВН — вышыня, апушча
Выпадак 1°. Вугал A
Чарц. 67.
ная з вяршыні В (чарц. 67); з геаметрыі вядома, што:
а2 = Ь2 + с2 — 2Ь ■ AH. (1)
3 прамавугольнага трохвугольніка АВН знойдзем AH = с cos А; падставіўшы ў формулу (1), атрымаем даказваемую роўнасць.
Выпадак 2°. Вугал А тупы. У гэтым выпадку
а2 = Ь2 + с2 + 2Ь ■ АН
(2)
3 трохвугольніка АВН знойдзем:
AH = с cos ^ BAH = с cos ( — A) — — с cos Л.
Падставіўшы ў формулу (2), атрымаем даказваемую роўнасць.
Выпадак 3°. Вугал А прамы. У гэтым выпадку (па тэарэме Піфагора): а2 = 62 + с2 — 62 + с2 — 2bccos А (таму што cos A = 0).
Такім чынам, ва ўсіх выпадках
a2 = b2 ф с2 — 2bc cos Л,	ш. т. д. і
66
§ 40. Формулы для плошчы трохвхгольніка
1°. 3 геаметрыі вядома формула Герона:
S =У р(р — а) (р —Ь) (р — с) ^дзе р = ?І^І£ _ паўперыметр^, якая дазваляе вылічваць плошчу трохвугольніка па яго старанах.
2°. Тэарэма. Плошча трохвугольніка роўна палавіне здабытку дзвюх старон на сінус вугла паміж імі:
3 = ўбс5ІпЛ.	(1)
Доказ. 3 геаметрыі вядома, што плошча трохвугольніка роўна палавіне здабытку стараны трохвугольніка на вышыню, якая апушчана на гэту старану з процілеглай вяршыні: