Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
X АОМ — a і XAON — ^ (чарц. 40).
У сістэме XOY пункты M i N маюць наступныя каардынаты:
Xj = cos a, yx = sin a; x2 = cos p, y^ = sin P;
квадрат адлегласці паміж пунктамі Л4 і N роўны:
d2 = (х2 — хі)2 + (.Уі — Уі)2 = (cos р — cos a)2 f (sin Р — sin a)2 = = (cos2 p + cos2 a — 2 cos p cos a) + (sin2 p + sin2 a — 2sin p sin a) = = (cos2 p + sin2 P) + (cos2 a + sin2 a) — 2 (cos a cos p + sin a sin P) = = 2 — 2 (cos a cos p 4 sin a sin P).
Павернем восі каардынат на вугал р. У новым становішчы напрамак ОХ' восі абсцыс супадае з напрамкам радыуса ON. Радыус ОМ складзе з воссю ОХ’ вугал, роўны a — р. Сапраўды, Z ХОХ’ 4 Z Х'ОМ = Z ХОМ, або р + Z Х'ОМ = а, адкуль Z Х'ОМ = a — р.
Пункты М і N у сістэме X'OY' будуць мець наступныя каардынаты:
х\ = cos (a — Р), у\ = sin (a — Р); х'2 = 1, у'г = 0.
28
Вылічым квадрат адлегласці паміж пунктамі М і N, ведаючы іх каардынаты ў сістэме X'OY':
d2 = (х'2 — х\)2 + (у'2 — у\)2 = [ 1 — cos (а — р)]2 + sin2 (а р) =
= [cos2 (а — Р) + sin2 (а — ₽)] + 1 — 2 cos (а — ^) =
= 2 — 2 cos (а — Р).
Прыраўняем два знойдзеныя выразы для d2:
2 — 2 cos (a — ₽) = 2 — 2 (cos a cos p + sin a sin P),
адкуль i атрымаем формулу (II):
cos (a — 6) = cos a cos p + sin a sin 3.
Для вываду формулы (I) заменім y формуле (II) аргумент р на —^:
cos [a — (—3)] = cos (a + р) = cos a cos (— P) 4 sin a sin (— P).
Выкарыстаўшы ўласцівасці цотнасці косінуса і няцотнасці сінуса, атрымаем:
cos (a f р) = cos a cos P— sin a sin p, ш. т. д.
Даказаныя формулы (I) і (II) справядлівыя для адвольных вуглоў a і р. Сапраўды, гэтыя формулы даказаны на аснове агульнага правіла складання і адымання вуглоў і дуг і формулы адлегласці паміж двума пунктамі, а гэта апошняя формула справядліва пры адвольным размяшчэнні пунктаў.
Прыклад. Вылічыць cos 15°.
Рашэнне. Паколькі 15° = 45° — 30° і вядомы
1
cos 45° = sin 45° = —g— * cos 30° = —2— sin 30° = y,
TO
cos 15° = cos (45° — 30°) = cos 45° cos 30° 4 sin 45° sin 30° =
= T"' 2 +V'T= 4 (/3 +1)~ 0,9659.
§ 16. Формулы дапаўняльных аргументаў
Вуглы (дугі) a і Р называюцца дапаўняльнымі да ~, калі іх сума роўна у, г. зн. a 4 р = у, або, што тое ж, a = ^р.
Лема. Хосінус аднаго з двух дапаўняльных да ~ аргументаў роўны сінусу другога: cos 3 = sin a; cos a = sin 3.
Доказ. Выкарыстаўшы формулу косінуса рознасці, атрымаем: cos р = cos I ~a = cos 4s cos а 4 sin 4ў sin a i
cos a — COS ^ = COS у COS P 4" 5ІП y sin p.
29
Падставіўшы cos у = 0, siny = 1, атрымаем даказваемыя тоеснасці, ш. т. д.
Прыклады. 1) cos у = sin у = у,
§ 17. Тэарэма складання для сінуса
Тэарэма. Сінус сумы (рознасці) двух аргументаў роўны здабытку сінуса першага аргумента на косінус другога плюс (мінус) здабытак косінуса першага аргумента на сінус другога:
sin (і + Р) = sin a cos 3 + cos a sin p; (III)
sin (a — 3) = sin a cos ? — cos a sin ?• (IV)
Доказ. Сінус сумы a + 8 роўны косінусу дапаўняльнага аргумента у(a + р); апошні можна прадставіць у выглядзе рознасці
аргумента, дапаўняльнага да ^ адносна я, і аргумента р, г. зн.
^(.+ » = (1 _.)_().
Значыць,
sin (a + 8) = cos
[y (« + P) = cos ^ — a) — p
= cos^a) cos 3 + sin ^aj sin p =
(па формуле косінуса рознасці) — sin a cos р + cos a sin p (па формулах дапаўняльных аргументаў).
Замяніўшы ў выведзенай формуле (III) р на — р, атрымаем формулу для сінуса рознасці:
sin (a — р) = sin [a + (— Р)] = sin a cos (— P) + cos a sin (— 0) = = sin a cos p — cos a sin p, ш. т. д.
Прыклад. Вылічыць sin 15°
P а ш э н н e. Маем:
sin 15° = sin (45° ■— 30°) = sin 45° cos 30° — cos 45° sin 30° =
V 2 /3 /2 1
“ 2 ' 2 ~ 2 ’ 2
У 2 _
( У 3 — 1) a; 0,258a
30
§ 18. Тэарэма складання для тангенса
Тэарэма. Пры ўсіх дапушчальных значэннях аргументаў a / р мае месца формула:
1 _ tg a tg
(V)
Растлумачэнне. Дапушчальнымі значэннямі a i 3 з’яўляюцца ўсе тыя іх значэнні, пры якіх тангенсы дуг a, р і a + р маюць сэнс. Значыць, гэтыя дугі не павінны заканчвацца ў канцах вертыкальнага дыяметра і тады для' кожнай з трох разглядаемых дуг значэнне косінуса не роўна нулю.
Доказ. Маем:
. , . _ sin (a + 3) sin a COS P + cos a sin )
® ' ' 1 ' cos ( a+ P) cos a cos P — sin a sin 3
Падзяліўшы пачленна лічнік i назоўнік на cos a cos р =# 0, атрымаем формулу (V):
sin a cos 3 I cos a sin )
° cos a cos g sjn a sjn 3 J — tg a tg p ’ ’ ’
COS a cos p COS a COS p
Заменім y формуле (V) p на —° i выкарыстаем уласцівасць няцотнасці тангенса, тады атрымаем:
♦ , / очі tga + tg(—Р) tga —tgP
tg tg [a + ( = itg^icsj tgatgp
Такім чынам:
— 3) = —______^~ " l + tgatg?
(VI)
Прыклад. Вылічыць
Р а ш э н н е.
tgT + tg» _ ,+tga 1 — tg^Hga 1 tg “
§ 19. Аб формулах складання для некалькіх аргументаў
Шляхам паслядоўнага ўжывання тэарэм складання для выпадку двух аргументаў можна вывесці формулы складання для трыганаметрычных функцый ад сумы трох, чатырох і г. д. аргументаў. Так, для трыганаметрычных функцый ад сумы трох аргументаў атрымаем:
sin (’ + Нт) = sin [(a + 3) + 7] = sin (a + 3) cos 7 + cos (a + ₽) sin 7 =
= (sin a COS 3 + cos a sin p) cos 7 + (cos a cos 3 — sin a sin p) sin 7 = = sin a cos p cos 7 + cos a sin p cos 7 + cos a cos £ sin 7 — sin a sin ,3 sin 7;
31
і аналагічна
cos (a + 3 + 7) = cos (a + ,3) cos 7 — sin (a + ?) sin 7 =
= cos a cos 3 cos 7 — sin a sin 3 cos 7 — sin a cos 3 sin 7 — COS a sin 3 sin 7;
i, нарэшце,
* , , □ , ' _ ^ (‘' + Нт) _ tg a + tg ? + tg 7 — tg a tg 3 tg 7 g P + 7) cos (a 4 ‘I 4 f) 1 — tg a tg 3 — tg a tg Y — tg 3 tg 7 '
§ 20. Формулы прывядзення
Формуламі прывядзення называюцца формулы, якія выражаюць трыганаметрычныя функцыі ад аргументаў:
— Ч у ± ч ~ + аі у ~ ± а; 2it + a, праз функцыі ад аргумента а, дзе a — адвольнае (дапушчальнае) значэнне аргумента. Усе гэтыя формулы выпісаны ў табліцу, змешчаную на старонцы 33.
Табліцай формул прывядзення карыстаюцца наступным чынам.
Няхай, напрыклад, патрабуецца вылічыць tg ^ 4 aj. Бяром радок (другі) з паметкай у + ® і слупок (трэці) з паметкай tg; на іх перасячэнні напісана —ctga. Адпаведная формула пішацца так: tg^ + aj = — ctga.
Для формул прывядзення асобы доказ не патрэбен. Формулы першага радка выражаюць уласцівасці цотнасці і няцетнасці трыганаметрычных функцый (гл. § 12), іншыя ж формулы вынікаюць з тэарэм складання для косінуса і сінуса. Для ўзору з
выведзем формулы для аргумента у it 4 а. Прыняўшы пад увагу,
3 3
што cosy it = 0; sin —it = — 1, атрымаем:
(3 і 3 3
уя + »І = cosy it cos a — sin у itsin a = — (— l)sin a=sin a;
(3 \ 3 3
—n 4 a I = sin y it cos a 4 cos y it sin a = — cos a;
* Фо^мула тангенса сумы неўжывальная, таму што tg у it не існуа
32
^\Функцыя Аргумент Радыяны (градусы)"— COS sin tg ctg
1 — a cos a — sin a — tga — Ctga / /
\ \
2 ^ + a (90° + a) — sin a COS a — ctga — tga / / 1 \ \ / ^z
3 у a <90° — a) sin a COS a Ctg a tga / /
\ X / / z
4 к + a (180° f a) — cos a — sin a tga Ctg a /
5 It — a (180° — a) — cos a sin a — tga — ctga \
3 6 g к + a (270°+a) sin a — COS a — Ctg a — tga — A /
3 7 g к — a (270°—a) — Sin a — COS a Ctga tga
/
8 2 л + a (360° + a) COS a sin a tga ctga
9 2 k —a (360° —a) COS a — sin a — tga — Ctg a
3 Трыганаметрыя, 9—10 кл.
33
У апошнім слупку табліцы дадзена геаметрычнае тлумачэнне формул прывядзення. 1—9 для вострага вугла а (роўныя трохвугольнікі заштрыхаваны).
Формулы чацвёртага і восьмага радкоў можна вывесці таксама і геаметрычна. Калі да вугла a дадаць к, г. зн. палавіну поўнага абароту, то рухомы радыус зойме дыяметральна процілеглае становішча. Абсцыса х і ардыната у канца рухомага радыуса, г. зн. косінус і сінус вугла, зменяць знакі (не змяняючы абсалютнай велічыні) на процілеглыя:
cos (л + a) = — cos a; sin (к 4* a) = — sin a, а ix адносіны не зменяцца:
± \ — sin a . X I \ — COS a . ' tgO' + ^z^^tga; ctg (k 4a) = ^^^ = 0^ a
Калі да вугла a дадаць любы цэлы лік поўных абаротаў, то рухомы радыус зойме ранейшае становішча і каардынаты яго канца не зменяцца. Таму значэнні трыганаметрычных функцый ад аргументаў a і a + 2h пры любым цэлым й = 0, +1, ±2, + 3, + 4, ... роўныя паміж сабой:
cos (a + 2/г ) = cos a; sin (a + 2A я) = sin a;
tg (a + 2/г ) = tg a; ctg (a 4 2/г n) = ctg a.
Пры k = 1 атрымаюцца формулы, выпісаныя ў восьмым радку табліцы.
Формулы прывядзення паказваюць, што ў практычных вылічэннях дастаткова ведаць значэнні трыганаметрычных функцый толькі вострых вуглоў (і нават не болыйых 45°).
На самай справе, няхай 3 — адвольны вугал. Калі вугал 3 а д м о ў н ы, то (выкарыстаўшы ўласцівасць цотнасці і няцотнасці) можна выразіць значэнні яго трыганаметрычных функцый вугла праз іх значэнні ад дадатнага вугла —р.
Няхай р — любы дадатны вугал. Калі р > 360°, то можна выключыць цэлы лік поўных абаротаў і выразіць трыганаметрычныя функцыі вугла р праз трыганаметрычныя функцыі дадатнага вугла, меншага 360°.
Няхай р — любы дадатны вугал, меншы 360°. Разгледзім два вострыя вуглы, якія ўтварае канечная старана вугла 3 з восямі каардынат. Абазначым праз a якінебудзь з гэтых вуглоў (найменшы з іх не больш 45°). Пры дапамозе адпаведных формул прывядзення можна выразіць трыганаметрычныя функцыі вугла ^ праз трыганаметрычныя функцыі вугла a
Прыклад. Вылічыць cos (— 1000°).
Рашэнне: cos (— 1000°) = cos 1000° = (цотнасць косінуса) = cos (2 • 360° 4 280°) = cos 280° = (выключэнне поўных абаротаў) = cos (270° 4 10°) = sin 10° « (па формуле прывядзення) ® 0,1736 (табліца VIII У. М. Брадзіса).
34
Пры карыстанні формуламі прывядзення можна кіравацца наступным правілам.
Правіла. Калі вугал а адкладваецца ад гарызантальнага дыяметра (формулы для вуглоў —а, к + а, 2тс + a), то функцыі ў абедзвюх частках роўнасці маюць адно і тое ж найменне; калі вугал a адкладваецца ад вертыкальнага дыяметра (формулы для 3
вуглоў ^ ± «, у я + a), то функцыі ў абедзвюх частках роў
насці маюць падобныя найменні (сінус і косінус, тангенс і катангенс); каб вызначыць знак, з якім трэба ўзяць трыганаметрычную функцыю ў правай частцы, дастаткова, лічачы вугал a вострым, вызначыць шукаемы знак па знаку левай часткі
я — al
Р а ш э н н е. Паколькі вугал a адкладваецца ад вертыкальнага дыяметра, то ў правай частцы неабходна паставіць катангенс. Будучы правільнай пры ўсіх (дапушчальных) значэннях а, формула правільная і для вострага вугла, але
КНІГІ ОНЛАЙН
