КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

47
Функцыя tgx Калі значэнні аргумента ^ і а2 належаць пер
шай чвэрці і 0 < а} < а2 < ^, то, пабудаваўшы на восі танген
саў адпаведныя пункты, атрымаем трохвугольнікі (чарц. 49) з вугламі аг і а2 пры вяршыні 0. Паколькі а2 > ап то прамая 0L размяшчаецца паза трохвугольнікам ОАК і перасякае ў пункце Лпрадаўжэнне стараны АК.. Таму Aft < AL, ,г. зн. tgaj < tga2. Значыць, функцыя tg a у першай чвэрці ўзрастае.
OAK і OAL
Чарц. 50.
Чарц. 48
Чарц. 49.
Няхай ^ — адвольны зададзены (які хочаце вялікі) дадатны лік. Пабудуем на восі тангенсаў пункт (1, N) (чарц. 50) і адпаведную дугу ® = arc tg /V адзінкавай акружнасці Калі дуга, якая вымяраецца лікам а, заканчваецца паміж пунктамі ® і ^, то tg a > W.
Такім чынам, пры любым зададзеным дадатным ліку N і пры ўсіх значэннях аргумента а, дастаткова блізкіх да ^, але меншых, чым ^ ^а іменна arc tg A7 < a < yj, значзнні тангенса большыя, чым N. Гэта ўласцівасць тангенса запісваецца так:
пры a <
Разгледзеўшы функцыю tga у IV чвэрці, можна даказаць, што, папершае, у інтэрвале (у. oj яна ўзрастае, будучы адмоўнай, і, падругое, што пры любым зададзеным ліку V > 0 яе значэнні меншыя, чым —N:
tg ® < — А7. калі
y
2
У інтэрвале ^, 4>y (правая паўакружнасць) функцыя tg a узрастае i прымае адвольнае сапраўднае значэнне т пры a = arc tg т
Прынята гаварыць, што ў інтэрвале у~, ^у функцыя tga узрастае ад — co (мінус бесканечнасці) да+ co (плюс бесканечнасці).
Будучы перыядычнай з перыядам іт, функцыя tg a узрастае ад
— co да + co у кожным інтэрвале (^ 4 ^; у + kr.j, з якіх
складаецца яе вобласць вызначэння.
Пры руху пункта ў дадатньш напрамку (чарц. 51) як па правай, так і па левай паўакружнасці яе цэнтральная праекцыя з па
чатку каардынат на вось тангенсаў рухаецца знізу ўверх, а ардыната праекцыі ўзрастае ад — co да 4со,
Функцыя ctga у кожным з інтэрвалаў [k к, (k 4 1) d, з якіх складаецца вобласць яе вызначэння, убывае ад + °° да — о° (чарц. 52).
Даследаваць катангенс можна тым жа спосабам, якім быў да
следаван тангенс.
§ 32.	Графікі трыганаметрычных функцый
Пабудаванне графікаў функцый вядома з алгебры.
Ніжэй даецца пабудаванне графікаў трыганаметрычных функцый.
Пры пабудаванні графіка значэнне аргумента паказваецца пунктамі восі абсцыс (а не адзінкавай акружнасці); таму аргумент трыганаметрычнай функцыі будзем абазначаць літарай х (замест a).
4 Трыганаметрыя, 9—10 кл.
49
С і н у с о і д а (звычайная) — так называецца графік функцыі y=sinx. Функцыя у = sin х на сегменце
0 < х < ~ ^ 1,57 (I чвэрць) узрастае ад 0 да 1; значыць, лінія «падымаецца ўверх» ад пункта 0 (0, 0) да пункта р[^, 1)
Для пабудавання прамежкавых пунктаў графіка можна скласці, напрыклад, такую таблі
цу значэнняў сінуса (чарц. 53):
X	0	«0,26 "(15)	д «0,52	^«0.78 (45°)	«1.05 <60,	5л 32 1.31 (75°)	у «1,57 (90°)
у = sin X	0	0,26	0,50	0,71	0,87	0,97	1
Значэнні сінуса ўзяты з табліц У. М. Брадзіса (акругліць, захаваўшы два дзесятковыя знакі).
Пабудаваць сінусоіду з любой ступенню дакладнасці можна і геаметрычна. Першая чвэрць (чарц. 54) адзінкавай акружнасці і адрэзак восі абсцыс 0 < х < ^ ^ 1,57, роўны па даўжыні чвэрці акружнасці, падзелены на аднолькавую колькасць роўных частак
Чарц. 54.
(на чарцяжы 54 на 8 частак)*. Перпендыкуляры, апушчаныя з пунктаў дзялення акружнасці на вось ОХ (па даўжыні роўньі значэнням сінуса), перанесены і ўзведзены з адпаведных пунктаў адрэзка 0 < х < — восі абсцыс. Канцы гэтых перпендыкуляраў
* Каб не загрувашчваць чарцёж, адзінкавая акружнасць перанесена ўлева і яе цэнтр не знаходзіцца ў пачатку каардынат.
50
належаць сінусоідзе; для практычнага пабудавання сінусоіды іх трэба злучыць плаўнай лініяй пры дапамозе лякала.
У другой чвэрці “<х<тг сінус убывае ад 1 да 0. 3 геаметрычнага пабудавання відаць, што графік сінуса ў другой чвэрці сіметрычны яго графіку ў першай чвэрці адносна паралелі восі ардынат, якая праходзіць праз пункт Іу, о).
Чарц. 55.
3 уласцівасці няцотнасці сінуса вынікае, што нункты сінусоіды х, у = sin х і —х, — у = sin (— х), якія адпавядаюць узаемна процілеглым значэнням аргумента, сіметрычны адносна пачатку каардынат. Значыць, сінусоіда ёсць лінія, сіметрычная адносна пачатку каардынат. Таму, пабудаваўшы графік сінуса на сегменце !0,~], можна пабудаваць яго і на сегменце [—к,0]. Сегмент— л < х < л
роўны па даўжыні перыяду сінуса; таму для пабудавання ўсёй сінусоіды дастаткова яе частку, пабудаваную для гэтага сегмента, паслядоўна перанесці ўправа і ўлева на адлегласці 2^, 4z, 6~... Такім чынам, атрымліваецца хвалепадобная лінія (чарц. 55), якая складаецца з аднолькавых, перыядычна паўтараючыхся дуг.
Графікам функцыі у = cos х таксама служыць сінусоіда. На самай справе, з формулы прывядзепня y = cosx = sin (£+* вынікае, што ардыната графіка косінуса ў пункце з абсцысай х роўна ардынаце звычайнай сінусоіды ў пункце з абсцысай х4—у.
4*
51
Так, у прыватнасці, пры х = 0 ардыната графіка роўна cos 0 = = sin — = 1; пры х = ~4~ ардыната роуна cos^ = sin t~ = у; пры х=7 ардыната роўна sin  = 0. Увесь графік (чарц. 56) можа быць атрыман паралельным пераносам сінусоіды (на чарцяжы 56 паказана пункцірам) у напрамку восі абсцыс улева на адлегласць ^, што адпавядае дадаванню да аргумента х складаемага ^.
Уласцівасць цотнасці cosx = cos(—х) паказвае, што лінія сіметрычная адносна восі OY.
Тангенсоіда — так называецца графік функцыі у = tgx. У прамежку 0 < х <^ функцыя y = tgx узрастае ад 0 да co. Для пабудавання пунктаў графіка можна скласці, напрыклад, такую табліцу значэнняў тангенса (гл. табліцы Брадзіса):
X	0	12 (15°)	6 (30°)	л т (45°)	3 (60°)	5z 12 (75°)	л (90°)
У	0	0,27	0,58	1,00	1,73	3,73	—
Геаметрычнае пабудаванне тангенсоіды ў прамежку 0 < х <паказана на чарцяжы 57. Першая чвэрць адзінкавай акружнасці і адрэзак восі абсцыс ад 0 да ~ падзелены на некаторы лік роўных частак (на чарцяжы 57 на 8 частак). Пункты дзялення акружнасці праектуюцца з цэнтра круга на вось тангенсаў, а затым адрэзкі
52
восі тангенсаў пераносяцца ў выглядзе перпендыкуляраў, узведзеных з адпаведных пунктаў восі абсцыс. Канцы гэтых перпендыкуляраў трэба злучыць плаўнай лініяй.
3 уласцівасці няцотнасці функцыі tgx вынікае, што яе графік сіметрычны адносна пачатку каардынат. Таму, пабудаваўшы графік у прамежку 0 < х < •, можна прадоўжыць яго па сіметрыі
і на прамежак — у<х<0 (IV чвэрць).
Інтэрвал
складае перыяд тангенса; таму для пабу
давання ўсёй тангенсоіды дастаткова атрыманую галіну паслядоўна перанесці ўправа і ўлева на адлегласці it, 2~, 3, ... . Такім чынам, атрымаецца лінія, якая складаецца з бясконцага мноства адн&лькавых, перыядычна паўтараючыхся галін.
Графік функцыі y=ctgx паказан на чарцяжы 58. Для яго
пабудавання неабходна прыняць
пад увагу, што ў інтэрвале 0 < х < т функцыя ctgx убывае ад 4оо да — co. Для пабудавання асобных пунктаў трэба скласці табліцу значэнняў.
Прыклады пабудавання графікаў функцый.
1) Пабудаваць графік функцыі у = 3 sin х.
Р а ш э н н е. Дастаткова заўважыць, што пры дадзеным значэнні х ардыната графіка у = 3 sin х роўна патроенай ардынаце звычайнай сінусоіды. Значыць, графік — дэфармаваная сінусоіда — можа быць атрыман расцяжэннем усіх ардынат звычайнай сінусоіды ў тры разы (чарц. 59, пункцірам намечана звычайная сінусоіда). Функцыя у — 3 sin х мае тыя ж прамежкі знакапастаянства і той жа перыяд 2, як і функцыя у = sin х. Найбольшае і найменшае яе значэнні ёсць ± 3.
53
2)	Пабудаваць графік функцыі у = sin 2х.
Р а ш э н н е. Дастаткова заўважыць, што пры дадзеным значэнні х значэнне функцыі sin 2х роўна ардынаце звычайнай сінусоіды ў пункце з паг.	2х
двоеііай абсцысай 2х. Так, у прыватнасці, пры х =g маем у = sin g =
= sin
3 =	’■ ПРЫ * —  j маем У = s'n ^ = 1 Значыць, шукаемы графік —
дэфармаваная сінусоіда — можа быць атрыман са звычайнай сінусоіды шляхам яе сціскання ў напрамку восі абсцыс у два разы (чарц. 60).
Функцыя sin 2х перыядычная з перыядам гс, таму што яе значэнне не змяняецца ад дадавання ліку гс да яе аргумента:
sin 2 (х + л) = sin (2х + 2гс) — sin 2х.
3)	Пабудаваць графік функцыі у = sec х.
1
Р а ш э н н е. Маем у = cos х '• Вобласць вызначэння знаходзіцца з умовы
cos х ^ 0, адкуль х ^ g A Arc.
Функцыя цотная, таму што ны адносна восі OY.
1
COS (— X)
Функцыя перыядычная з перыядам 2гс
Значэнні sec х і cos х аднолькавыя
абодва адмоўныя.
= cos х ' значыць‘ графік сіметрыч
1	1
, таму што cos (х + 2гс) = cos х ' па знаку: або абодва дадатныя, або
У I чвэрці
(«< 0, маем i/ = sinx. У прамежках, у якіх sinx< 0. маем у =—sinx; таму трэба ўзяць ардынаты сінусоіды з адваротным знакам.
Раздзел V
ВЫЛІЧЭННІ ПРЫ ДАПАМОЗЕ ТАБЛІЦ
§ 33. Трыганаметрычныя табліцы
Для практычных вылічэнняў карыстаюцца табліцамі набліжаных значэнняў трыганаметрычных функцый і іх лагарыфмаў. У школьных вылічэннях ужываюцца чатырохзначныя табліцы У. М: Брадзіса. У больш дакладных вылічэннях ужываюцца табліцы значэнняў функцый з большым лікам значачых лічбаў (напрыклад, пяцізначныя, сямізначныя табліцы).
Натуральныя табліцы. Табліцы, у якіх даюцца значэнні трыганаметрычных функцый, называюцца натуральнымі трыганаметрычнымі табліцамі. У табліцы VIII (гл. табліцы Брадзіса) дадзены набліжаныя значэнні з чатырма дзесятковымі знакамі сінусаў і косінусаў вуглоў ад 0 да 90’ праз кожныя б'. Формулы дапаўняльных аргументаў: