Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
Сама назва «трыганаметрыя» грэчаскага паходжання. у перакладзе на беларускую мову яна абазначае «вымярэнне трохвугольнікаў»! xpqo^ov ітрыганон) — трохвугольнік, ретрёЬ (метрэйн) — вымярэнне.
Зараджэнне трыганаметрыі адносіцца да глыбокай старажытнасці. Яшчэ задаўга да н. э старажытнававілонскія вучоныя ўмелі прадказваць зацьменні Сонца і Месяца. Гэта дазваляе зрабіць вывад, што ім былі вядомы некаторыя найпрасцейшыя звесткі з трыганаметрыі
У II ст. да н. э. для сабранага матэрыялу астранамічных назіранняў спатрэбілася матэ.матычная апрацоўка. Адным з заснавальнікаў трыганаметрыі лічыцца старажытнагрэчаскі астраном Г і п а р х. які жыў у II ст да н. э. Гіпарх з’яўляецца аўтарам першых трыганаметрычных табліц. Гэтыя табліцы да нас не дайшлі, але яны ўвайшлі (ва ўдасканаленым выглядзе) у твор «Вялікае пабудаванне» (Альмагест) славутага александрыйскага астранома К л а ў д з і я Пталемея, які жыў у другой палавіне II ст. н. э. У гэтых табліцах даваліся значэнні хорд акружнасці для розных значэнняў адпаведнага цэнтральнага
92
вугла. Адзінкай вымярэння хорд служыла gg частка радыуса. Гэтыя табліцы, гаворачы сучаснай мовай, з'яўляюцца табліцамі значэнняў падвоенага сінуса палзвіны адпаведнага цэнтральнага вугла. У іх былі дадзены значэнні хорд для вуглоў 0,5°; 1°; 1,5°; 2°; 2,5°; ...; 180°. Аднак трэба мець на ўвазе, што ў старажытнай Грэцыі трыганаметрыя не вылучалася ў самастойную навуку, а лічылася часткай астраноміі.
Важны ўклад у развіццё трыганаметрыі быў унесен індыйскай матэматыкай у перыяд V—XII стст. н. э. Індыйскія матэматыкі сталі вылічваць не поўную хорду, як гэта рабілі грэкі, а яе палавіну (г. зн. лінію сінуса). Індыйцы склалі табліцу «сінусаў», у якой былі дадзены значэнні паўхорд, вымераных часткамі (мінутамі) акружнасці. Індыйскім матэматыкам былі вядомы суадносіны, якія ў сучасных абазначэннях пішуцца так:
sin2 a + COS2 a = 1; COS a = sin (90° — a)
У перыяд IX — XV стст. вядучая роля ў развіцці матэматыкі належала народам Сярэдняй Азіі і Закаўказзя. Развіццё сярэднеазіяцкай матэматыкі адбывалася таксама ў цеснай сувязі з неабходнасцю рашэння практычных вылічальных задач, якія ставіліся астраноміяй, геаграфіяй, геадэзіяй. Сярэднеазіяцкімі вучонымі былі ўведзены ў разгляд шэсць трыганаметрычных ліній (сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса). Для рашэння задач аб вызначэнні вышыні Сонца сірыйскі астраном АльБатані (які жыў у X ст.) склаў*невялікую табліцу значэнняў катангенса. Славуты астраном і матэматык АбульВефа з Харасана (цяпер тэрыторыя Ірана) выразіў на словах алгебраічныя суадносіны паміж трыганаметрычнымі функцыямі; ён жа склаў
1
табліцы сінусаў з дакладнасцю да праз кожныя 1О'> а таксама табліцы тангенсаў.
Працамі сярэднеазіяцкіх вучоных трыганаметрыя сфарміравалася ў самастойную навуковую дысцыпліну, у якой сродкам даследавання з’явіліся не толькі геаметрычныя пабудаванні, але і алгебраічныя суадносіны паміж трыганаметрычнымі функцыямі. Славуты азербайджанскі матэматык і астраном Насірэддзін Тусі (які жыў у XIII ст.) у творы «Трактат аб поўным чатырохстаронніку» (трактат перакладзен на рускую мову) выклаў трыганаметрыю ў выглядзе самастойнай навукі. У гэтым творы быў упершыню ўведзен рад новых паняццяў і атрыман рад важных вынікаў.
У абсерваторыі славутага астранома Улугбека, які жыў у Самаркандзе (XV ст.), быў распрацаван вельмі дакладны спосаб складання трыганаметрычных табліц.
У радзе найважнейшых адкрыццяў сярэднеазіяцкая матэматыка значна апярэдзіла заходнееўрапейскую навуку. Насірэддзін Тусі развіў трыганаметрыю як самастойную дысцыпліну амаль на 200 год раней заснавальніка трыганаметрыі ў Еўропе Рэгіямантана.
Першыя навуковыя работы па трыганаметрыі ў Заходняй Еўропе адносяцца да XV ст. Развіццё мараплавання патрабавала ўмення дакладна вызначаць становішчы нябесных свяціл што прывяло да неабходнасці складання вельмі дакладных трыганаметрычных табліц. У XV ст. нямецкі вучоны Р э г і ям а н т а н (Іаган Мюлер) напісаў трактат «Пяць кніг аб рознага роду трохвугольніках», дзе было дадзена сістэматычнае выкладанне трыганаметрыі ў выглядзе самастойнай навуковай дысцыпліны. Ім жа былі складзены табліцы сінусаў з дакладнасцю да уду, У табліцах Рэгіямантана радыус круга прымаўся замест ліку кратнага 60 за 10 000 000, г. зн. па сутнасці справы быў зроблен пераход ад шасцідзесяцярычнай сістэмы вымярэння да дзесятковай.
Развіццё алгебраічнай сімволікі дазволіла запісваць трыганаметрычныя суадносіны ў выглядзе формул; ужыванне тэорыі адмоўных лікаў дазволіла разглядаць накіраваныя вуглы і дугі і распаўсюдзіць паняцце трыганаметрычных ліній для любых вуглоў. Такім чынам, стварылася база для вывучэння
93
трыганаметрычных функцый як функцый ад лікавага аргумента. Аналітычны апарат, які дазваляе вылічваць значэнні трыганаметрычных функцый з любой ступенню дакладнасці, быў распрацаван Н ь ю т а н а м.
Далейшае развіццё трыганаметрыі звязана з імем вялікага вучонага, члена Рускай акадэміі навук Л. Эйлера (1707— 1783). Да Эйлера трыганаметрычныя функцыі разглядаліся як адрэзкі ў кругу (так званыя трыганаметрычныя лініі); Эйлер стаў разглядаць значэнні трыганаметрычных функцый як лікі — велічыні трыганаметрычных ліній у кругу, радыус якога прынят за адзінку. Эйлер даў канчатковае рашэнне пытання аб знаках трыганаметрычных функцый у розных чвэрцях спрасціў і даў агульныя доказы рада тэарэм трыганаметрыі, адкрыў сувязь паміж трыганаметрычнымі і паказальнай функцыямі ад комплекснага аргумента.
Аналітычнае (не залежачае ад геаметрыі) пабудаванне тэорыі трыганаметрычных функцый, пачатае Эйлерам, атрымала завяршэнне ў працах вялікага рускага вучонага М. I. Лабачэўскага.
Сучасны пункт гледжання на трыганаметрычныя функцыі як на функцыі лікавага аргумента ў многім абумоўлен развіццём фізікі, механікі, тэхнікі. Гэтыя функцыі ляглі ў аснову матэматычнага апарату, пры дапамозе якога вывучаюцца розныя перыядычныя працэсы: вагальныя рухі, распаўсюджванне хваль, рухі механізмаў, ваганне пераменнага электрычнага току. Як паказаў Ж. Фур’е (1763— 1830), усякі перыядычны рух з любой ступенню дакладнасці можна прадставіць у выглядзе сумы прасцейшых сінусаідальных (гарманічных) ваганняў.
На першапачатковых стадыях свайго развіцця трыганаметрыя служыла сродкам рашэння вылічальных геаметрычных задач і яе зместам лічылася вылічэнне элементаў прасцейшых геаметрычных фігур, г. зн. трохвугольнікаў. У сучаснай трыганаметрыі самастойнае і такое ж важнае значэнне мае вывучэнне ўласцівасцей трыганаметрычных функцый.
Гэтым функцыям належыць выключна важнае значэнне ў сучасным матэматычным апараце, неабходным для вывучэння заканамернасцей з’яў прыроды і для выкарыстання гэтых заканамернасцей у практычнай дзейнасці чалавека.
94
ЗМ ECT
Раздзел I. Вуглы і дугі; іх вымярэнне
Стар.
§ 1. Вуглы адвольнай велічыні 3
§ 2. Дугі акружнасці адвольнай велічыні 4
§ 3. Вымярэнне вуглоў і дуг —
§ 4. Каардынатная плоскасць, адзінкавы круг 7
§ 5. Праекцыя вектара на вось 9
§ 6. Адлегласць паміж двума пунктамі на каардынатнай плоскасці 11
< Раздзел II. Трыганаметрычныя функцыі
§ 7. Вызначэнне трыганаметрычных функцый адвольнага вугла 12
§ 8. Значэнні трыганаметрычных функцый ад некаторых вуглоў 16
§ 9. Знакі трыганаметрычных функцый 17
§ 10. Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці і іх вынікі 19
§11. Вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый па значэнню адной з іх 20
§ 12. Цотнасць і няцотнасць трыганаметрычных функцый 21
§ 13. Пабудаванне вугла па дадзенаму значэнню яго трыганаметрычнай функцыі 23
Раздзел III. Тэарэмы складання і іх вынікі
§ 14. Складанне 1 адыманне вуглоў 27
§ 15. Тэарэма складання для косінуса —
§ 16. Формулы дапаўняльных аргументаў 29
§ 17. Тэарэма складання для сінуса ' 30
§ 18. Тэарэма складання для тангенса 31
§ 19. Аб формулах складання для некалькіх аргументаў —
§ 20. Формулы прывядзення ' 32
§21. Формулы падваення аргумента 35
§ 22. Формулы дзялення аргумента папалам 36
§ 23. Формулы пераўтварэння здабытку трыганаметрычных функцый
У суму 37
§ 24. Формулы пераўтварэння сумы трыганаметрычных функцый у здабытак 38
§ 25. Пераўтварэнне ў здабытак выразу a sin a | fe cos a 40
§ 26. Формулы, якія выражаюць трыганаметрычныя функцыі праз тангенс палавіннага аргумента 41
95
Раздзел IV. Асноўныя ўласцівасці трыганаметрычных функцый
§ 27 Трыганаметрычныя функцыі лікавага аргумента і вобласці іх вызначэння 42
§ 28. Уласцівасць абмежаванасці і неабмежаванасці трыганаметрычных функцый 43
§ 29. Інтэрвалы знакапастаянства —
§ 30. Уласцівасць перыядычнасці трыганаметрычных функцый 44
§ 31. Прамежкі манатоннасці трыганаметрычных функцый 45
§ 32. Графікі трыганаметрычных функцый 49
Раздзел V Вылічэнні пры дапамозе табліц
§ 33. Трыганаметрычныя табліцы 56
§ 34. Аб ужыванні лагарыфмічнай лінейкі 60
Раздзел VI. Вылічэнне элементаў геаметрычных фігур
§ 35. Элементы трохвугольніка 62
§ 36. Аб рашэнні трохвугольнікаў —
§ 37. Рашэнне прамавугольных трохвугольнікаў 63
§ 38. Тэарэмы сінусаў 65
§ 39. Тэарэмы косінусаў 66
§ 40. Формулы для плошчы трохвугольніка 67
§ 41. Тэарэмы тангенсаў —
§ 42. Рашэнне трохвугольніка па двух яго вуглах і старане 68
§ 43. Рашэнне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу паміж ім! 69
§ 44. Рашэнне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу, процілегламу адной з іх 70
§ 45. Рашэнне трохвугольніка па трох старанах 72
§ 46. Ужыванне трыганаметрыі пры вымярэннях на мясцовасці 74
§ 47. Ужыванне трыганаметрыі пры рашэнні геаметрычных задач 77
§ 48. Аб ужыванні трыгана.метрыі ў фізіцы. механіцы. тэхніцы 79
Раздзел VII. Трыганаметрычныя ўраўненні
§ 49. Прасцейшыя трыганаметрычныя ўраўненні 82
§ 50. Спосаб прывядзення да адной функцыі 84
§ 51 Спосаб раскладання на множнікі 86
§ 52. Аб страце рашэнняў і з’яўленні пабочных рашэнняў пры выкананні пераўтварэнняў 87
§ 53. Прыватныя прыёмы рашэння трыганаметрычных ураўненняў 88
§ 54. Аб набліжаным рашэнні трыганаметрычных ўраўненняў 90
§ 55. Аб спосабе рацыяналізацыі 91
Гістарычны нарыс 92
Цана 12 кап.
КНІГІ ОНЛАЙН
