КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

IV. Задача з геаметрычнай о п т ы к і: вызначыць зрушэнне праменя святла пасля яго праходжання праз плоскапаралельную пласцінку (чарц. 81).
Няхай d — таўшчыня пласцінкі, п — яе паказчык праламлення, MN і PQ—
плоскасці.якія абмяжоўваюць пласцінку, а—вугал падзення праменя. Прамень АВ, сустрэўшы пласцінку, зменіць напрамак і пойдзе па прамой ВС, якая складае вугал р з перпендыкулярам да плоскасці PQ, дзе (па закону праламлення святла):	= п. Пры выха
дзез плаецінкі прамень складзе з перпендыкулярам да плоскасці MN sin 3	1	„	.	.	.
вугал у, дзе = —. Значыць, sin a = sin т, і паколькі a і у —
вострыя вуглы, to a = у. Зрушэнне КС знойдзем ніка ВКС:
КС = ВС sin Z СВК = ВС sin (a — 3); але ВС
з трохвуголь
(з трохвугольніка BCL), а таму КС =
V. Рух крывашыпнага
d sin (я — 3) cos 3
d
COS 3
чэнні стрыжня крывашыпа АВ паўзун Рух перадаецца пры дапамозе шатуна AC (чарц. 82) Няхай a — вугал, утвораны крывашыпам AB, а ^ — вугал, утвораны шатуном з прамой BL, г — даўжыня крывашыпа, I — даўжыня шатуна. Залежнасць паміж a і р можна знайсці з трохвугольніка ABC.
механізма.
С рухаецца
Пры вярпа прамой BL.
< I	■ a r .
—T—Q = —:■, адкуль sin p = 7 sin a.
sin P sin a J “ I
У многіх механізмах	i тады 3 = arc sin ■■'"—.
Для разліку можна скласці, напрыклад, такую табліцу набліжаных значэнняў ₽:
a	0=	10=	20=	30	40=	50°	60=	70’	80J	90°
	о=	2=	4°	5,5=	7,5°	9=	10°	11 =	11,5°	11,5°
80
Калі крывашып ад пачатковага становішча павернецца на вугал а, то адлегласць паўзуна ад цэнтра вярчэння В зробіцца роўнай
ВС = r cos a + Z cosp.
Адхіленне паўзуна ад яго першапачатковага становішча роўна r + I — (r cos a + / cos ^) = r (1 — cos a) + / (1 — cos ^).
V/. 3 фізікі вядома, што ваганне пераменнага электрычнага току выражаецца формулай:
/ = A sin (ш/ + «).
дзе A — амплітуда ваганняў, <» — частата, t = — — перыяд, a — фаза.
Звычайны трохфазны ток, які вырабляе электрагенератар, мае тры фазы: a, a 4—у, « + у, якія атрымліваюцца адна з другон шляхам паслядоўнага дадавання трэці перыяду сінуса. Такім чынам, ваганне току для кожнай фазы паасобку выразіцца формуламі:
/j = A sin (id t + a); /2 = A sin ( id t 4 a 4 yj;
/3 = A sin (w f + a 4 y
Пры гэтым y любы момант часу ў нулявым провадзе ток роўны нулю, г. зн. /х 4/2 4/3 = 0. На самай справе:
Л + ^2 + ^з = ^ sin (ш^+а) + sin(u><4 a 4^)4Sin I u>/4a4—) =
= A sin
a) / 4 a 4	—sin
6 Трыганаметрыя, 9—10 кл.
Раздзел VII
ТРЫГАНАМЕТРЫЧНЫЯ ЎРАЎНЕННІ
§ 49 Прасцейшыя трыганаметрычныя ўраўненні
Азначэнне. ГІрасцейшымі трыганаметрычнымі ўраўненнямі называюцца ўраўненні:
cos х = т\ sin х = т; tg х = т; ctg х — т, дзе т — дадзены лік.
Рашыць прасцейшае трыганаметрычнае ўраўненне — значыць знайсці мноства ўсіх вуглоў (дуг), якія маюць дадзенае значэнне т трыганаметрычнай функцыі. У § 13 гэта задача рашалася пабудаваннем.
1.	Ураўненне cosx = m. Калі |м<1, то існуюць дзве сіметрычныя адносна восі абсцыс дугі
arc cos m і —arc cos m, косінус якіх мае зададзенае значэнне (пабудаванне гл. у § 13). Прамежак ад —  да т, на якім заканчваюцца гэтыя дугі, роўны па велічыні поўнай акружнасці (перыяду косінуса); усе іншыя шукаемыя дугі заканчваюцца ў тых жа пунктах. Агульнае рашэнне ўраўнення (г. зн. мноства ўсіх яго рашэнняў) выразіцца формулай:
х = ± arc cos m+2k~ .
Пэўнае — прыватнае — рашэнне ўраўнення атрымаецца, калі ў правай частцы формулы агульнага рашэння выбраць знак і прыдаць k некаторае цэлалікавае значэнне.
Калі |m|> 1, то ўраўненне не мае рашэнняў.
1	1	
Прыклады. 1) cos х = у, х = ± arc cos + 2kn = ± “3“+ (у радыянах) = ± 60° ± 360° k (у градусах).
2)	cos х = 0,7251; х = ± arc cos 0,7251 + 360° ft « ± 43° 32' + 360° k (у градусах) « ± 0,7598 f2b (у радыянах) (arc cos 0,7251 ss 43° 32' знаходзіцца па табліцы VIII Брадзіса. градусы пераведзены ў радыяны па табліцы XVI).
82
2.	Ураўненне sinx = m. Калі |m| <1, то сінусы дуг arcsinm і it — arcsinm маюць зададзенае значэнне tn (гл. § 13). Канцы гэтых дуг сіметрычныя адносна восі ардынат. Мноства ў с і х шукаемых дуг атрымаецца дадаваннем да знойдзеных дзвюх дуг любога цэлага ліку поўных абаротаў (перыядаў сінуса):
arc sin tn + 2ktt (arc sin m + 2ktz
5 — arc sin tn + 2kit ~ (— arc sin tn + (2k + 1) tv.
(1)
Агульнае рашэнне можна запісаць адной формулай;
х = (—1)" arc sinm + пя (дзе п — адвольны цэлы лік).
На самай справе, пры цотным п = 2k атрымліваецца верхні, а пры няцотным п = 2k + 1 — ніжні радок формулы (1).
Калі :т| > 1, то ўраўненне не мае рашэнняў.
Прыклады. 1) sin х = ^^, х — (— 1)" arc sin І^ + nn = ( — 1)л ^ + tin
2)	sin х = 1. Усе дугі. якія маюць сінус роўны 1, заканчваюцца ў верхнім канцы вертыкальнага дыяметра, таму маем х = ^ 4 2&л: (дзе k — любы цэлы лік).
Такім жа чынам рашаецца урауненне sin х =— 1; маем х = — у + 2&тг
3.	Уpaўнeннetgx = m. Пры любым значэнні т у інтэрвале ( — у, роўным па даўжыні к, г. зн. перыяду тангенса, існуе адзіная дуга arctgm, якая мае дадзены тангенс.
Для канцоў шукаемых дуг магчымы два дыяметральна процілеглыя становішчы. Усе шукаемыя дугі можна атрымаць, дадаючы да дугі arctgm любы цэлы лік паўабаротаў (перыядаў тангенса). Таму мноства ўсіх шукаемых дуг выразіцца формулай:
х = arc tgm + k~ .
4.	Ураўненне ctgx = m. Пры любым т мае бясконцае мноства рашэнняў:
х = arc ctg tn [ kn
(разважанні такія ж, як і ў папярэднім выпадку).
Прыклады.
1)	ctg х = — 1; х = arc ctg (— 1) + fct = — + kn.
1	1
2)	tg x = y; x ='arc tg y + 180° k « arc tg 0,3333 + 180’ k »
ss 18° 26' + 180' й (y градусах) » 0,3217 y A (y радыянах).
6*
83
Заўвага. Агульныя рашэнні прасцейшых трыганаметрычных ураўненняў cos х = m; sinх = т\ ig х = tn: ctg х — т часам абазначаюцца наступным чынам:
Arc cos m, Arc sin tn, Arc tgm, Arc ctg m.
Такім чынам:
Arc cos m = + arc cos m + 2Az; Arc sin m = (— 1)* arc sin m + Ait;
Arc tgm = arc tg tn + k~; Arc ctg m = arc ctg m + Ait, дзе k — адвольны цэлы лік.
Ha ніжэйпададзеных прыкладах паказана рашэнне трыганаметрычных ураўненняў, якія прыводзяцца да прасцейшых.
Прыклады.
1)	Рашыць ураўненне: 2 sin х — 1 = 0
Р а ш э н н е
1	л
sin х = ў. адкуль х = (— 1)" g + nit.
2)	Рашыць ураўненне: 2 cos х + 3 = 0.
Рашэнне Ураўненне не мае рашэнняў. таму што раўназначнае яму прасценшае ураўненне cosx =— не мае рашэнняў.
3)	Рашыць ураўненне: 2 cos Зх + 1 = 0.
Р а ш э н н е. Прамежкавы аргумент Зх знаходзім з ураўнення:
1	2"
cos (Зх) = —Q: Зх = ± ~5~ + 26; адсю.іь знойдзем агульнае рашэнне дадзе
. .	2п 2
нага ураунення х = ± _ + — ^
4)	Рашыць ураўненне: 2 sin х + cos х = 0.	*	(1)
Рашэнне ГІадзяліўшы абедзве часткі ўраўнення на cos х! атрымаем:
2 tg х + 1 = 0,	(2)
адкуль tg х = — g і х « — 26° 34' 4 180° й
Пры пераходзе да ўраўнення (2) з мноства дапушчальных значэнняў невядомага выключаюцца лікі “ + kit таму што пры х = у+ k левая частка ўраўнення (2) траціць сэнс. Гэтыя значэнні не задавальняюць ураўненню (1), а таму страты кораняў не адбываеіша.
§ 50. Спосаб прывядзення да адной функцыі
Разгледзім, напрыклад, ураўненне:
2 cos2 х — 7 cos х + 3 = 0. квадратнае адносна cosx. Рашыўшы гэта ўраўненне адносна косінуса:
7 + /49 — 24	7 ± 5
COS X = ——; =  7—,
4	4
складзём два прасцейшыя ўраўненні:
cos х = у і cos х = 3.
84
Першае ўраўненне мае агульнае рашэнне:
х = ± — + 2h, (1) другое не мае рашэнняў. Формула (1) дае мноства ўсіх рашэнняў дадзенага ўраўнення.
Калі ўраўненне мае розныя трыганаметрычныя функцыі ад невядомага, то можна ўсе гэтыя функцыі выразіць праз адну і, выканаўшы падстаноўку, атрымаць ураўненне, якое мае толькі адну трыганаметрычную функцыю ад невядомага.
Ужыванне формул, якія выражаюць трыганаметрычныя функцыі адна праз другую, можа ўнесці ва ўраўненне радыкалы, і пры вызваленні ўраўнення ад іх магчыма з’яўленне пабочных рашэнняў. Таму рэкамендуецца (калі гэта магчыма) выбіраць такую падстаноўку, якая не ўносіць ва ўраўненне радыкалаў.
Прыклады. 1) Рашыць ураўненне:
2 cos2 х + 3 sin х = 0
Р а ш э н н е. Замяніўшы cos2 х на 1 — sin2 х, атрымаем:
2	— 2 sin2 х + 3 sin х = 0.
1 адкуль: sin х = — і sin х = 2.
Першае ўраўненне мае агульнае
або 2 sin х — 3 sin х — 2 = 0, рашэнне:
другое не мае рашэнняў
3	а ў в а г а. Калі ўжыць падстаноўку sin х = ± / 1 — cos2 х, то атрымаецца ўраўненне якое мае радыкал. Таму пры рашэнні дадзенага ўраўнення мэтазгодна выразіць косінус праз сінус, але не сінус праз косінус.
2) Рашыць ураўненне: sin х + cos х = 1.	(1)
Р а ш э н н е. Падставіўшы cos х = ± У1 — sin2 х атрымаем:
sin х ± /1 — sin2 х = 1. або ± /1 — sin2 х =1 — sin х.
Пасля ўзвядзення ў квадрат абедзвюх частак і скарачэння атрымаем:
sin2 х — sin х = 0,	(2)
адкуль:
sin х = 1 і sin х = 0.
Рашыўшы гэтыя прасцейшыя ўраўненні, знойдзем дзве серыі рашэнняў:
X = у + 2^71. х = mz(k i n — цэлыя ЛІКІ).
Праверка Для рашэнняў першай серыі:
sin ("IF ^" ^”) = '’ cos ("T” ^ ^л) = 0’
Ураўненне (1) задавальняецца. Для рашэнняў другой серыі:
{I калі п цотнае;
— I, калі п няцотнаа
85
Ураўненне (1) задавальняецца толькі пры цотных значэннях п = 2m. Рашэнні другой серыі пры няцотным n = 2m + 1 з’яўляюцца пабочнымі (другі спосаб рашэння гэтага ўраўнення гл. ніжэй на стар. 89).
Агульнае рашэнне ўраўнення (1) складаецца з дзвюх серый:
х = у + 2fa і х = 2тк.
Для ўраўнення, якое змяшчае невядомае пад знакам трыганаметрычных функцый ад складаных аргументаў, у радзе выпадкаў таксама можна, выразіўшы ўсе трыганаметрычныя функцыі праз адну, атрымаць ураўненне, якое змяшчае толькі адну трыганаметрычную функцыю ад невядомага.
Прыклады.
1)	Рашыць ураўненне: cos2x = sin2x.
Р а ш э н н е. Выканаўшы падстаноўку:
1	— cos 2х sin2 х =	2 — ' ■
атрымаем наступнае ўраўненне, якое змяшчае толькі адну функцыю ад невядомага:
1	— cos 2х
cos 2х =, або 3 cos 2х = 1.
адкуль:
1	1
cos 2х = у; 2х = ± arc cos у 4 360° k i, нарэшце,
x = ± 4" arc cos T + 180°A » ± 35° 16' + 180°&.
2)	Рашыць ураўненне:
cos 2x 4 sin (2x — it) sin x =
0.
P a ш э н н e. Падставіўшы
cos x i sin (2x — n) = — sin 2x,
прывядзём ураўненне да наступнага выгляду:
cos х cos 2х — sin х sin 2x = 0, або cos 3x = 0, адкуль:
it	it	it (24 + 1) it
3x = y + fa i » = y 4y = —"g
§ 51. Спосаб раскладання на множнікі