Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
Ў lg (p — a) = 0,6126 lg (P — a) = 1,2253
g lg (p — b) = 0,5807 lg (p — 6) = 1,1614
lg (P — c) = 0,4488 lg (P — c) = 0,8976
lg 2S = 2,7397
Далей lg 2S = 2,7397
— Ig 5 = 276073 lg&= 1,3927 — lgc = 2,5045 lg c = 1,4955 igsinA^TSsiS; A a 45’20'.
73
Вылічваем В. Маем: 1g sin В = 1g 25 — 1g a — 1g c.
1g 23 = 2J397 — 1g a = 2.6498 — 1g c = 2,5045
1g sin B = 1.8940.
Iga = 1,3502;
B « 51°30'.
C = 180° — (A + B)k 83°10'.
§ 46. Ужыванне трыганаметрыі пры вымярэннях на мясцовасці
3 дапамогай трыганаметрыі рашаюцца многія вымяральныя задачы на мясцовасці, як, напрыклад, вылічэнне адлегласцей паміж
рознымі пунктамі зямной паверхні (калі гэту адлегласць нелыа вымераць непасрэдна), вылічэнне вышыні дадзенага прадмета (гары, будынка і да т. п.), складанне планаў і карт і да т. п. Будзем меркаваць, што вымярэнні выконваюцца на м а л ы м участку, так што можна лічыць яго плоскім і не ўлічваць крывізны зямпой паверхні*.
Вымярэнне невялікіх адлегласцей робіцца непасрэдна, пры дапамозе, напрыклад, стальных вымяральных стужак.
Вымярэнне вуглоў на мясцовасці робіцца пры дапамозе вугламерных інструментаў. Найбольш распаўсюджаным сучасным вугламерным інструментам з’яўляецца т э а д а л і т (чарц. 69). Падзорная труба тэадаліта можа круціцца як у гарызантальнай, так і ў вертыкалfaHaft плоскасці. Калі вось падзорнай трубы, якая знаходзіцца ў гарызантальным становішчы ў пункце С зямной паверхні, накіраваць спачатку ў пункт А, а затым у пункт В, то
вугал яе павароту ёсць вугал С трохвугольніка ABC; пад гэтым вуглом з пункта С відаць адлегласць АВ (чарц. 70). Пры дапамозе
* Вылічэнні, звязаныя з вымярэннямі на вялікіх участках, дзе нельга не звяртаць увап на шарападобнасць Зямлі, робяцца сродкамі сферычнай трыганаметрыі
74
павароту падзорнай трубы можна вымяраць вуглы і ў вертыкальнай плсскасці (чарц. 71).
Вуглы павароту падзорнай трубы можна вымяраць з вялікай дакладнасцю пры дапамозе дзяленняў на гарызантальным і вертыкальным кругах і мікраметрычных шрубаў.
Пры адсутнасці тэадаліта карыстаюцца (напрыклад, у навучальных мэтах) больш простымі прыладамі. Адна з такіх прылад — астралябія — паказана на чарцяжы 72. Асноўныя часткі астралябіі
наступныя: круг, падзелены на
якая можа круціцца вакол
цэнтра круга. Для навядзення лінейкі на дадзены пункт служаць прымацаваныя да яе канцоў вертыкальныя пласцінкі з вузкімі падоўжнымі проразямі.
Разгледзім некалькі найпрасцейшых задач на вылічэнне адлегласцей і вышынь.
Задача. Вылічыць адлег.'іасць ад даступнага пункта А да недаступнага пункта В, бачнага з пункта А (пункты A і В ля
градусы (лімб), і лінейка (алідада),
Чарц. 72.
жаць у адной і той жа гарызантальнай плоскасці, чарц. 73).
Растлумачэнне. Пункт
А лічыцца даступным, калі
ў ім можа знаходзіцца назіральнік з вымяральнымі інструментамі. Пункт В лічыцца недаступным, калі адлегласць АВ не можа быць вымерана непасрэдна (напрыклад, ёсць перашкода: рака, яр
і да т. п.).
Р а ш э н н е. Выберам паблізу пункта А даступны пункт С,
75
з якога відаць пункт В. Вымераем непасрэдна адрэзакбазіс AC = = b і вуглы A і С. Старану х = с трохвугольніка ABC знойдзем па тэарэме сінусаў:
с Ь ___________„ bsinC bsinC
sin С sin S ’ а&кУль x sinB £Іп(Л + СГ
Чарц. 73.
Вылічыць
Задача.
Чарц. 74. адлегласць паміж деума
пунктамі A i B, бачнымі з даступнай мясцовасці.
недаступнымі Размяшчэнне
пунктаў дадзена на чарцяжы
74.
Р а ш э н н е. Выберам у даступнай мясцовасці адрэзакбазіс; вымераем базіс і вуглы a = Z AMN, Р = Z BMN, у = Z ANM, 8 = = Z BNM паміж базісам і напрамкамі з яго канцоў на пункты /1 і В. Вылічым адлегласці МА і MB (гл. папярэднюю задачу).
МА = MB =
sm (a + ()’ sin 0 + 5)
Ведаючы дзве стараны трохвугольніка АМВ і вугала — р паміж імі, можна вылічыць трэцюю старану, напрыклад па тэарэме косінусаў:
х = АВ = У MA2 + MB* — 2МА ■ MB cos (a — ^).
Задача Вылічыць вышыню вертыкальнага прадмета, аснова якога недаступная (чарц. 75).
Р а ш э н н е. Дапусцім, што можна выбраць гарызантальны базіс АВ — Ь, з канцоў якога бачна вяршыня S вымяраемай вышыні. Няхай h — вышыня вугламернага інструмента. Вымераўшы вуглы a 1 3 трохвугольніка S^jBp знойдзем (па тэарэме сінусаў):
AS Ь л с bsinfi
. = —т—т, адкуль 4.5 = —7—;—Чг,
Sin р Sin (a — ₽) J 1 Sin (a — p)
i, нарэшце, os = oo,+0,3=h+as sina=h + •
76
§ 47. Ужыванне трыганаметрыі пры рашэнні геаметрычных задач
Планіметрычныя задачы. Трыганаметрыя ўжываецца пры рашэнні задач на вылічэнне элементаў розных геаметрычных фігур. Звычайна пры вылічэнні элементаў многавугольніка яго разбіваюць на трохвугольнікі з тым разлікам, каб шукаемыя элементы можна было вылічыць шляхам пасля
доўнага рашэння рада трохвугольнікаў.
Задача. Вылічыць плошчу кругавога сегмента, дуга якога (у радыяннай меры) вымяраецца лікам а; радыус круга роўны R (чарц. 76).
Р а ш э н н е. Плошча S сегмента роўна плошчы адпаведнага сектара ОАВ мінус плошча трохвугольніка ОАВ. 3 геаметрыі вядома, што плошча кругавога сектара вылічваецца па формуле s1 =^Rl,
Чарц. 76.
дзе I — даў
жыня дугі, якая яго абмяжоўвае Паколькі I = aR, то^ = у R2a. Плошча трохвугольніка роўна s2 =
_ _ Шукаемая плошча сегмента роўна
в ь с
с/ \ — $і $2 — 2 2 2 a Sina).
/7 a D Задача. Асновы трапецыі роўны а і Ь, бакаЧарц. 77 выя стораны роўны с і d. Вызначыць вуглы трапецыі.
Р а ш э н н е. Няхай a — большая аснова, A — вугал, утвораны старанамі а і с (чарц 77). Правядзём прамую, паралельную d; тады трапецыя разаб’ецца на трохвугольнік АВЕ і паралелаграм BCDE. У трохвугольніку АВЕ вядомы даўжыні трох старон: с, d, a — b. Па тэарэме косінусаў знойдзем вугал А:
d2 — (а — Ь)2 + с2 — 2с(а — b) cos А, адкуль cos A =
Аналагічна вылічым:
„ (a — М2 + d2 — с2 . D л п
cosD = —;.—— '. нарэшце, В = я— A; С = — D.
2а (а — Ь) г
Стэрэаметрычныя задачы. Трыганаметрыя ўжываецца пры вылічэнні розных элементаў прасторавых фігур: аб’ёмаў, паверхняў, плошчаў сячэнняў, плоскіх і двухгранных вуглоў і да т. п. Звычайна робяць дапаможныя пабудаванні (правядзенне сячэнняў, ліній і да т п.) з тым разлікам, каб шукаемыя элементы можна было знайсці шляхам паслядоўнага рашэння рада трохвугольнікаў. Пры рашэнні задач на вылічэнне з лікавымі данымі звычайна спачатку рашаюйь задачу ў агульным выглядзе, а затым падстаўляюць дадзеныя ва ўмове лікі. Агульную формулу
77
рашэння прадстаўляюць у выглядзе, які найбольш зручны для наступных вылічэнняў.
Задача. Асновай піраміды служыць квадрат. Адна з бакавых граней — раўнабедраны гпрохвугольнік і ўтварае з асновай тупы вугал а. Процілеглая грань утварае з асновай вугал ^. Вышыня піраміды роўна Н; знайсці аб’ём піраміды.
Рашэнне. Няхай ABCD—^аснова піраміды; S— вяршыня; OS — вышыня; ASB — грань, якая утварае з асновай вугал а; DSC — грань, якая ўтварае з асновай вугал 3 (чарц. 78).
Нахільныя SA і SB роўныя; таму іх праекцыі ОА і ОВ на плоскасць асновы роўныя. Няхай L — сярэдзіна стараны АВ. У раўнабедраных трохвугольніках АОВ і ASB медыяны 0L і SL ёсць таксама і вышыні; таму OL I AB і SL ± АВ. Значыць, Z OLS ёсць лінейны вугал двухграннага вугла OABS (з кантам AB), а таму Z OLS = 180° — а. Няхай К— пункт перасячэння прамой OL са стараной CD, маем: DK = КС і OK I CD. Нахільная SK I CD (па тэарэме аб 3х перпендыкулярах). Паколькі OK ± CD і SK I CD, to Z OKS = р. Паўплоскасці ABS і DCS перасякуцца ў тым і толькі ў тым выпадку, калі 180° — a > 13, г. зн. a + 8 < 180° (вугал 180° — a ёсць знешні вугал трохвугольніка SLK, а 3 — унутраны вугал); гэту ўмову будзем лічыць выкананай. Адрэзак LK роўны старане асновы а. Паколькі OL = Н ctg (180° — a) = — 7/ ctg a (з трохвугольніка SOL) і OK = Н ctg^i (з трохвугольніка SOK), to a = OK — OL = Н (ctg р I ctg a) Вылічваем аб’ём:
V = a2H = 4^3 (ctg 3 4 ctg a)2.
Гэта форма адказу зручная для вылічэнняў з дапамогай натуральных табліц. Калі вылічэнні праводзяцца пры дапамозе лагарыфмічных табліц або лінейкі. то трэба суму катангенсаў пераўтварыць у здабытак:
у _ * /уз ZiHlIZdZ^L
3 sin2 a sin2 fi
Вылічым аб’ём пры наступных даных: Н
1) Н3 « (12,53)3 » 1967
« 12,53; a a 110°48', ₽ « 32°30'. (табліца ХШ Брадзіса).
78
2) ctg 3 + ctg a « ctg 32°30' + ctg 110°48' = ctg 32°30' — ctg 69°12' »
» 1,5697 — 0,3799 » 1,1898 « 1,190 (табліца IX Брадзіса).
3) (ctg ₽ + ctg a)2 » (l,190)2 » 1,416 (табліца XI Брадзіса).
i, нарэшце, V =
H3 (ctg 3 + ctg a)2
3
■1967 • 1,416 3
« 928,4.
§ 48. Аб ужыванні трыганаметрыі ў фізіцы, механіцы, тэхніцы
Трыганаметрыя мае шматлікае ўжыванне ў розных пытаннях фізікі, механікі, тэхнікі.
/. У механіцы і фізіцы часта ўжываецца наступная тэарэма аб праекцыі вектара на вось.
Тэарэма. Праекцыя вектара на вось роўна даўжыні вектара, памножанай на косінус вугла, утворанага вектарам з воссю.
Доказ. Няхай F—дадзены вектар, / — вось (паказана ў гарызантальным становішчы), ф — вугал вектара з воссю / (чарц. 79).
Пры паралельным пераносе вектара велічыня яго праекцыі на вось не мяняец
ца, таму можна перанесці вектар у ста Чарц 7д
новішча ОЛ4, змясціўшы яго пачатак у некаторым пункце 0 восі I. Прыняўшы пункт 0 за пачатак каардынат, а вось I за вось абсцыс, атрымаем:
cos ср = ^, або х = r cos ф,
дзе х = nptOM = npLF, а г ёсць даўжыня |F вектара np[ F = |F|cos <р
Вылічэнне работы. Калі пад дзеяннем
F. Значыць, ш. т. д. пастаяннай
сілы F цела апісвае прамалінейны шлях S, то для вылічэння раС боты А трэба велічыню праекцыі сілы F на р4 шлях памножыць на даўжыню шляху; значыць:
/ A = np F • S = F\ S cos ф.
царц go. //• Каб вылічыць велічыню раўнадзеючай F
дзвюх сіл Fr і F2, якія ўтвараюць паміж сабой вугал а, дастаткова вылічыць даўжыню ОС стараны трохвугольніка ОВС (чарц. 80). Па тэарэме косінусаў атрымаем:
ОС2 = OB2 + ВС2 — 2ОВ • ВС • cos (180° — a), або
ІЛ2 = (ЛІ2 + № + 2|FX| • 1^1 cos a.
III. 3 фізікі вядома, што далёкасць палёту цела, кінутага з пачатковай скорасцю о0 пад вуглом a (дзе 0 < a < 90°) да гарызонта,
79
oo2sin 2і , .» „ .
роўнах=^(супрашуленне паветра не ўлічваецца, g — паскарэнне сілы цяжару). Далёкасць палёту з’яўляецца найбольшай, калі sin 2a =1, адкуль 2a = 90° і a = 45°. Такім чынам, далёкасць палёту будзе найбольшай, калі цела кінута пад вуглом 45° да гарызонта.
КНІГІ ОНЛАЙН
