Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
54.39 МБ
S = ±bhb.	(2)
Калі вугал А востры, то з трохвугольніка АВН (чарц. 67) знойдзем:
ВН = hb — csin A
Калі вугал А тупы, то ВН = hb = с sin (к — Л) = с5ІпЛ.
Калі вугал А прамы, to sin Д = 1 і hb = AB = с — csin Д.
Значыць, ва ўсіх выпадках hb = csinA Падставіўшы ў роўнасць(2), атрымаем даказваемую формулу, ш. т. д.
Зусім гэтак жа атрымаем формулы:
S =	ad sin С = Ц ос sin В.
3°. На аснове тэарэмы сінусаў:
, a sin В a sin С 0 = ■	С = ——
sin A sin A
Падставіўшы гэтыя выразы ў формулу (1), атрымаем наступную формулу:
2___a2 sin В sin С
2біпЛ ‘
§ 41. Тэарэма тангенсаў
Тэарэма. Рознасць дзвюх старон трохвугольніка адносіцца да іх сумы, як тангенс паўрознасці процілеглых вуглоў да тангенса паўсумы гэтых вуглоў;
А — В
a — b	2
а + > ~ , А+ В tg 2
(і дзве аналагічныя формулы для іншых пар старон а, с і Ь, с).
5«
67
Доказ. Па тэарэме сінусаў маем:
a — b = 2R (sin A — sin В) = 4R cos Л й sin A 2—;
a + b = 2R (sin A + sin B) = AR sin +5 cos Л ~ g.
Падзяліўшы пачленна гэтыя роўнасці, атрымаем даказваемую формулу, ш. т. д.
§ 42. Рашэнне трохвугольніка па двух яго вуглах і старане
Задача. Дадзены два вуглы трохвугольніка і адна старана; вылічыць другія стораны і вуглы.
Дадзены В, С \ а\ трэба знайсці b, с і А.
Рашэнне. Умову магчымасці пабудавання трохвугольніка па гэтых даных: A + В < 180°, будзем лічыць выкананай.
Можна лічыць вядомымі ўсе тры вуглы, таму што
A == 180° — (B + Q.
Для вылічэння старон b і с дастаткова ўжыць тэарэму сінусаў:
b	_ а с __________ a
sinB sin Л ’ sinC	sin ’
адкуль:
, a sin В a sin C b	r. C = ——t
sin Л	sin .4
Плошча вылічваецца па формуле:
с a2 sin В sin С
Ь ~ 2sirT4 ’
Прыклад. Рашыць трохвугольнік па наступных даных: a xs 17,4, В xs 44°30'> С « 64°.
Рашэнне пры дапамозе натуральных табліц. Знаходзім вугал:
A = 180° — (В + С) as 180° — (44с 30' + 64°) » 71° 30'.
Вылічваем стораны. Маем:
sin В xs 0.7009; sin С xs 0,8988; sin A xs 0,9483 i далей
a sinB	17,40,7009	12,20
b= зіпЛ ~	0.9483	~ 0,9483 ~ 12,86 ~ 12,9;
a sin C	17,40,8988	15,64
c “ sin Л ~	0,9483	~ 0,9483 ~ 16,49 ~ 16,5
Дзяленне на sin A можна замяніць множаннем на адваротны лік.
Па табліцах Брадзіса (гл. табл XVII) знойдзем: ^ 94'83 ~ 1,055
Вылічэнні выкананы па правілах набліжаных вылічэнняў. Значэнпі сінусаў узяты з табліц Брадзіса; ва ўсіх прамежкавых рэзультатах захоўваюцца чатыры значачыя лічбы (правіла запасной лічбы), а канчатковы рэзультат акруглен да трох значачых лічбаў.
68
Р а ш э н н е
пры дапамозе лагарыфмічных табліц. a sin В
b = ііГА’ 1g 6 = Ig a + Ig sin В — 1g sin A
Маем:
Па табліцах знойдзем:
Iga = 1.2405
Ig sin B = 1.8457 — 1g sin A = 0,0230 Ig 6 = 1.1092
Ig sin A = f.9770.
Па табліцах Брадзіса знойдзем b = 12,86. Аднак у адказе трэба пакінуць тры значачыя лічбы, таму што значэнне а дадзена з трыма значачымі лічбамі; таму b v 12,9.
Старана с вылічваецца аналагічна:
a sin С
с = ІйГд'' Ig с = 1g ° + Ig sin С — Ig sin A
Ig a = 1,2405
Ig sin C = L9537
— Ig sin A = 0,0230 lgc= 1,2172; c « 16,5
§ 43. Рашэнне трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу паміж імі
Задача. Дадзены дзве стараны трохвуго/іьніка і вугал паміж імі; вылічыць трэцюю старану і два другія вуглы.
Няхай, напрыклад, дадзены a, b \ С; трэба вылічыць A, В і с.
Рашэнне пры дапамозе натуральных табліц.
Формула косінусаў дае выражэнне стараны с непасрэдна праз вядомыя элементы:
е = У a2 + b2 — 2ab cos С.
Для вылічэння А можна таксама выкарыстаць формулу косінусаў:
а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos A.
Паколькі 0 < A < 180°, to
A = arc cos ■~^f~’ ’• нарэшце, B = 180° — (A + C).
Рашэнне пры дапамозе лагарыфмічных табліц. Вядома сума вуглоў A + S — 180° — С, адкуль 1Ц^ = 90° —~. Рознасць вуглоў A — В можна вылічыць, скарыстаўшы тэарэму тангенсаў:
АВ
tg 2 a~b	, А — В а — Ь , С
~Ws=T+T адкУль —=TFTctsT
69
Вуглы A і В вызначаюцца з сістэмы ўраўненняў:
Ч^ _ 90  4. ^ „ arc tg (^ ctg 4).
Старану с можна вылічыць па тэарэме сінусаў:
a sin С с = —— sin A
Прыклад. Дадзены: а « 49,4; b « 26,4 і С я; 47=20’; знайсці A, В і с.
Рашэнне пры дапамозе натуральных табліц.
Маем:
с2 = а2 _|_ й2_ 2ab cos С « (49,4)2 4 (26,4)2 — 2 • 49,4 ■ 26,4 • cos 47=20'.
Па табліцах квадратаў знойдзем:
а2 а (49,4)2 « 2440. Ь2 » (26,4)2 « 697,0 і далей
2 • 49,4 • 26,4 • cos 47=20' ® 2 • 49,4 • 26,4 • 0,6778 » 1768.
Значыць,
с2 » 2440 + 697 — 1768 « 1369.
Па табліцах квадратных кораняў с « 37,0
Далей
Ь2 + с2 —а2 697 4 1369 — 2440	374	„
созЛ = 2Ьс ~	2 • 26,4 • 37,0	1954 ~~0,191;
Л « arc cos (—0,191); вугал A — тупы. Знаходзім дапаўняльны вугал:
180° — Л » arc cos (0,191) w 794 Л « 180= — 79= = 101°
(з акругленнем да 10') В = 180=— (4 + Qa 31° 40'.
Рашэнне пры дапамозе лагарыфмічных табліц. Вылічым вуглы Л і В.
A — В	С
lg tg —2— = 1g (a — ft) 4 1g ctg y — lg (a 4 ft)
Дапаможныя вылічэнні:
]g(a —Ь)= 1,3617 1g ctg у = 0,3583 — 1g (a 4 ft) = 2Л 203	a — ft » 49,4 — 26,4 = 23,0; a 4 ft « 75,8; C y « 23=40'; 1g (a 4 ft) = 1,8797.
A — B — A — B
Igtg—— = 1,8403 i  2  « 34=40'.
3 сістэмы ўраўненняў:
A + B
2
= 66=20'
знойдзем: Л « 101°> B « 31=40'
§ 44. Рашэнне
трохвугольніка па дзвюх старанах і вуглу, процілегламу адной з іх
Задача. Дадзены дзве стараны трохвугольніка і вугал, які ляжыць супраць адной з іх; вылічыць трэцюю старану і два астатнія вуглы.
Няхай дадзены a, b \ А\ трэба вылічыць В, С і с.
70
Рашэнне. Выпадак Г. а>Ь, г. зн. зададзены вугал A ляжыць супраць большай стараны. Пабудаванне паказана на чарцяжы 68, а. 3 пункта С (як з цэнтра), узятага на адной з старон вугла А на адлегласці b ад вяршыні, апісана акружнасць радыуса а; пункт В ёсць пункт перасячэння гэтай акружнасці з другой
стараной вугла А. Пабудаванне заўсёды магчыма, задача мае адзінае рашэнне.
Востры вугал В, процілеглы меншай старане, знаходзіцца па тэарэме сінусаў:
sin В = —sin A, a
адкуль В = arc sin [~ sin А^
і затым С = 180° — (A + В).
Старана с знаходзіцца па тэаа sin С рэме сінусаў: с = ^.
Чарц. 68.
Выпадак 2°. a 90° задача не мае рашэння. Няхай вугал А востры. 3 пабудавання на чарцяжы 68, b відаць, што акружнасць радыуса а з цэнграм у пункце С перасячэ другую старану вугла А у двух пунктах пры ўмове a > CD, дзе D — аснова перпендыкуляра, апушчанага з пункта С на другую старану вугла А. Паколькі CD=6sin/l (з трохвугольніка ACD), то ўмова запішацца так: a>bsinA Для вугла В магчымы два значэнні: В — В1 (востры) і В = В2 (тупы). Задача мае два рашэнні.
Значэнні вугла В вылічваюцца па тэарэме сінусаў:
sin В = — sin A, a
адкуль В' = arc sin ^sin Л^ i B2 = 18СГ — B,.
Значэнні вугла C i стараны c вылічваюцца гэтак жа, як у папярэднім выпадку (гл. ніжэй, прыклад).
3	чарцяжа 68, с відаць, што пры CD = /;sin А>а акружнасць не перасячэ другой стараны вугла А\ задача не мае рашэнняў.
У гэтым выпадку sin В = —— > 1 і вугал В вылічыць нельга.
Пры CB = bsinA задача мае адзінае рашэнне: трохвугольнік ABC прамавугольны (чарц. 68, d).
Выпадак 3°.а = Ь. У гэтым выпадку трохвугольнік ABC раўнабедраны. Такі трохвугольнік можна рашыць, разбіўшы яго вышынёй CD на два прамавугольныя трохвугольнікі:
В^А; С = 180°'— 2Л; с = 2AD = 2а cos A.
71
Прыклад. Вылічыць стораны і вуглы трохвугольніка, калі дадзена: а х 73,5; b х 86,4; А х 49 0'.
Р а ш э н н е. Маем:
b sin A sin 5 =
86,4 • 0,7547
73,5
65,21
х 0,8872 х 0.887
/3,0
^дзяленне на 73,5 можна замяніць множаннем b sin A
Паколькі ў дадзеным выпадку a < b і ——
на____5___х 0,0136, табл. XVII
73,5
< 1, то задача мае два рашэнні:
1) Вх х arc sin 0,887 х 62’30'; Сг х 180’ — (49° + 62°30') = 68 30' (з акругленнем да 10');
«і
a sin Ci 73,5 • 0,9304
— sin А ~	0,755
68,38
0,755
« 90,56 « 90,6
2)
В2 = 180’ — Bj « 117’30'; С, х a sin С2 ,73,5 • 0,2334 °2 = sin Л ' ~ ’	0755
180’ —(49° + 117’30') = 13’30';
~ 0,755 ~ 22,72 ~ 22,7
§ 45. Рашэнне трохвугольніка па трох старанах
Задача. Дадзены тры стараны трохвугольніка; вылічыць яго вуглы.
Няхай дадзены даўжыні трох старон трохвугольніка. Абазначым праз 'а меншую старану, праз b — сярэднюю, а праз с — большую: a < & < с. Па трох дадзеных старанах можна пабудаваць адзіны трохвугольнік, калі большая старана менш сумы дзвюх іншых старон: с < a + 6. Калі ж с ^ a А Ь, то трохвугольнік з дадзенымі старанамі не існуе. Будзем лічыць, што с <а + Ь.
Рашэнне пры дапамозе натуральных табліц.
Вуглы трохвугольніка можна вылічыць па тэарэме косінусаў: а2 = Ь2 + с2 — 2bc cos A; b2 = a2 + с2 — 2ac cos B, адкуль:
. b2 A c2 — a2 . .	62 + c2 — a2 (	■ л
cos A = —, i A = arc cos —(паколькі 0 < A < 180 I.
2bc	2bc \	J
Аналагічна знойдзем:
B = arc cos a ~^c~ &~! ’• нарэшце, C = 180° — (A + B).
Рашэнне пры дапамозе лагарыфмічных табліц. Вылічым спачатку плошчу трохвугольніка (формула Герона):
 a A Ь \ с
S^Vp(pa) (р — Ь) (р — с), дзе р= 2‘
Маем далей;
с &с sin A	.	. 2S
S =5, адкуль sin A =
72
Вугал A — востры, таму што ён ляжыць супраць меншай стараны; значыць,
.	■ 2S
A = arc sin — be 2S
Такім жа чынам B = arcsin—; і, нарэшце, С = 180°— (А + В).
Значыць, пры рашэнні трохвугольніка па трох старанах пры дапамозе лагарыфмічных табліц вуглы, якія ляжаць супраць меншых старон, знаходзяцца па формулах, а вугал, які ляжыць супраць найболыйай стараны, вылічваецца як рознасць паміж 180° і сумай двух знойдзеных вуглоў.
Прыклад. Рашыць трохвугольнік, ведаючы даужыні (набліжаныя) яго старон: 24,7; 22,4 і 31,3. Абазначым a a 22,4; b a 24,7; c « 31,3.
Рашэнне пры дапамозе натуральных табліц. Маем:
(24,7)Ч(31,3)і(22,4)»	610,1 +979,7501,8
cos A »	2 24 7 . 31 3	»	1546	~ 0,7038,
адкуль A x 45’20' (з акругленнем да 10').
(22,4)2+ (31,3)2 — (24,7)2	501,8 + 979,7 — 610,1
cos S 2 22,4 . 31,3	~	1402	~ °6215'
адкуль В х 51°30', і, нарэшце. С = 180° — (45’20' + 51 °30') « 83’10'.
Рашэнне пры дапамозе лагарыфмічных т а б л і ц. Маем:
2S
sin A = ^, 1g sin A = 1g 2S — 1g & — lg c
Вылічваем:
lg 2S = Ig (2Уp (p — a) (p —b) (p — c)) = lg 2 + ~ Igp + ^ lg (p — a) +
+ 2~ lg (P — W + !g (P — c).
дзе	a + 5 + c 22,4 + 24,7 + 31,3		
		2 p — a « 39,2 — 22,4 = 16,8; p ig 2 = 0,3010 1 "2~lg P = 0,7966	2 — bx 14,5; IgP	p — c «7,9 = 1,5933
<1 2...5 6 7 8 9 101112 13 14 15 >