Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
3
калі a востры вугал. то вугал it — a заканчваецца ў Ш чвэрці, у якой
Т. — a
2
— ctg a (праверыць па табліцы).
§ 21. Формулы падваення аргумента
Формулы падваення аргумента выражаюць трыганаметрычныя функцыі ад двайнога аргумента 2 a гграз трыганаметрычныя функцыі ад аргумента а.
Паклаўшы ў формулах складання для косінуса a = 3, атрымаем:
cos 2 a = cos (a 4 a) = cos a cos a — sin a sin a = cos2 a —■ sin2 a.
Такім чынам, косінус двайнога аргумента роўны рознасці квадратаў косінуса і сінуса дадзенага аргумента:
cos 2 a = cos2 a — sin 2a . (VII)
Паклаўшы a = p y формулах складання для сінуса, атрымаем: sin 2 a = sin a cos a + cos a sin a = 2 sin a cos a.
Такім чынам, сінус дваігнога аргумента роўны падвоенаму здабытку сінуса і косінуса дадзенага аргумента:
sin 2 a = 2 sin a cos a
(VIII)
Аналагічна выводзіцца формула падваення аргумента для тангенса:
3*
35
Прыклад.
cos 120° = cos2 60° — sin2 60°= ± I LA) = — A
Шляхам паслядоўнага ўжывання формул складання можна атрымаць формулы для трыганаметрычных функцый кратнага аргумента, г. зн. За, 4а і г. д.
Прыклад.
COS За = COS (2а + a) = COS 2а cos a — sin 2a sin a —
= (COS2 a — sin2 a) COS a — 2 sin a COS a sin a = COS3 a — 3 sin2 a COS a.
Замяніўшы sin2 a на 1 — cos2 a, атрымаем:
COS 3a = 4 COS3 a — 3 COS a.
sin 3a = sin (2a + a) = sin 2a cos a + cos 2a sin a =
= 2 sin a COS2 a + (cos2 a — sin2 a) sin a = 3 COS2 a sin a — sin3 a.
Замяніўшы cos2 a на 1 — sin2 a, атрымаем:
sin 3a = 3 sin a — 4 sin3 a.
§ 22. Формулы дзялення аргумента папалам
Формулы дзялення аргумента папалам выражаюць трыганаметрычныя функцыі палавіннага аргумента у праз трыганаметрычныя функцыі аргумента a.
Заменім у формуле косінуса двайнога аргумента аргумент a
a
палавінным аргументам тр
cos a = cos2 4sin2 A (1)
Далучыўшы асноўную тоеснасць
1 =cos2A + sin2 A (2)
складзём і адымем пачленна тоеснасці (1) і (2); тады атрымаем:
2 cos2 у = 1 + cos a; 2 sin2 A = 1 — cos a>
адкуль знойдзем:
cos A = ± 1 + cos a 2 ~
Sin А = ± 4 1 — COS a
Падзяліўшы пачленна тоеснасць (XI) на (X), атрымаем:
1/ 1 ~ cosa ^ 2 = ± K 1 + cosa (XII)
36
Знакі перад радыкаламі выбіраюцца ў адпаведнасці з тым, у якой чвэрці заканчваецца вугал ~.
Прыклады. 1) Вылічыць
sin8
= sin 22°,5
cos g = cos 22°,5.
Р а ш э н н е. Паколькі cos у = cos 45° = —2—,
, TO
cosg =
sin“8“
2
V 2 — / 2 i
2
Знак перад радыкаламі +• таму што вугалg востры.
3
3
— у» дзе л < a < у it; вылічыць cos у.
2) Дадзена sin a =
a
a a
sin 2 ’ ‘8 /
Р а ш э н н е. Знаходзім cos a =
4
a
25 = — ”g~ Паколькі вугал у
„ „ a a a
заканчваецца y другон чвэрш, to cos5 < 0, sin н > 0 i tg 5 < 0. Маем: z z z
a
cos2
a
‘2^ = *
/Ю . «
10 ’ Sln 2
3/10
10
§ 23. Формулы пераўтварэння здабытку трыганаметрычных функцый у суму
Складзём пачлеііна тоеснасці:
cos (a — р) = cos a cos 3 + sin a sin fl (II)
i
cos (a + p) = COS a cos P — sin a sin P; (I)
затым пераставім паміж сабой левую і правую часткі атрыманай роўнасці і падзелім іх на 2.
Такім чынам, мы атрымаем наступную формулу пераўтварэння здабытку двух косінусаў у суму:
Q cos (a — U cos (a + 8)
cos a COS p = —. (XIII)
Здабытак двух косінусаў роўны паўсуме косінуса рознасці і косінуса сумы іх аргументаў.
37
Калі ад тоеснасці (II) адняць пачленна тоеснасць (I), то атрымаем формулу пераўтварэння здабытку сінусаў:
. Q COS (»₽) COS (a + ?)
Sin a sin p =^s ——. (XIV)
Здабытак двух сінусаў роўны паўрознасці косінуса рознасці і косінуса сумы іх аргументаў.
Склаўшы пачленна формулы sin (a + 8) і sin (a — ^), атрымасм формулу пераўтварэння здабытку сінуса на косінус:
□ sin (a + ^) + sin (a — ₽) /V
sin a cos p = ——1 (XV)
Здабытак сінуса на косінус роўны паўсуме сінуса сумы і сінуса рознасці іх аргументаў.
В ы н і к. Калі a = ^, то атрымаюцца формулы:
1 . П , 1 + cos 2a . , 1 — cos 2a
sin a cos a = y Sin 2 a; cos2 a = — —; sin2 a =g. Паслядоўным ужываннем выведзеных формул можна пераўтварыць у суму л ю б ы здабытак сінусаў і косінусаў і іх ступеней (з цэлымі дадатнымі паказчыкамі).
Прыклады. I) Пераўтварыць у суму здабытак cos 2a cos 4a.
COS 6a 4* COS 2a
P а ш э н н e. cos 4a cos 2a =g
2) Пераўтварыць y суму sin4 a cos2 a.
1 — cos 2a sin2 2a
P а ш э н н e. sin4 a cos2 a = sin2 a (sin a cos a)2 =2 • —4— =
1 /1 — cos 4a\ 1
= y (1 — cos 2a) I 2—— I = у (1 — cos 2a — cos 4a 4 cos 2a cos 4a) =
1 / cos 6a 4* COS 2a \ 1 COS 2 a cos 4 a COS 6 a
= Jg — C°S 2a — cos 4a 4 g / = 16 — 32 — І6~ + 32
§ 24. Формулы пераўтварэння сумы трыганаметрычных функцый у здабытак
Формулы пераўтварэння сумы трыганаметрычных функцый у здабытак. дазваляюць прадставіць суму і рознасць дзвюх трыганаметрычных функцый у выглядзе здабытку трыганаметрычных функцый (але ад некаторых іншых аргументаў).
Формула сумы двух косінусаў:
cos a 4 cos 3 = 2 cos ’ cos . (XVI)
Сума двух косінусаў роўна падвоенаму здабытку косінуса паўсумы на косінус паўрознасці іх аргументаў.
38
Для доказу дастаткова здабытак, які знаходзіцца ў правай частцы, пераўтварыць у суму:
2 cos —cos
a?
cos
= 2
a —B
2
a
2 / т 2
=cos a+cos p, ш.т. д.
Такім жа спосабам даказваюцца наступныя тры формулы:
Формула сумы двух сінусаў:
sin a Д sin 3 = 2 sin —y cos —y
Сума двух сінусаў роўна падвоенаму сінуса паўсумы на косінус паўрознасці ментаў.
Формула рознасці косінусаў:
г . а і , a — 3
cos a — cos 3 = — 2 sin ~ sin —
(XVII)
здабытку іх аргу
(XVIII)
Рознасць двух косінусаў роўна мінус падвоенаму здабытку сінуса паўсумы на сінус паўрознасці іх аргументаў.
Формула рознасці сінусаў:
sin a — sin p = 2 cos —~ sin—2"^
(XIX)
Рознасць двух сінусаў роўна падвоенаму здабытку косінуса паўсумы на сінус паўрознасці іх аргумен таў.
Формулы сумы і рознасці тангенсаў:
tga + tg3 = sin^O “ ® r COS a COS 3 (XX)
tga_tg3= ДМ^ ° ° ' cos a cos 3 (XXI)
Для вуглоў (дуг) a i p дапушчальнымі з’яўляюцца адвольныя значэнні, адрозныя ад у + k~. Пры ўсіх дапушчальных значэннях a і р функцыі tg a і tg р маюць сэнс і cos a #= 0, cos р ^ 0.
39
Для доказу выканаем наступныя пераўтварэнні:
, . о _ sin a sin Р sin a COS Р 4 COS a sin 8 _ sin (a 4~ Й
5a ' Sr cos a 1 cos g cos a cos ^ cos a cos [f
Тым жа спосабам даказваецца тоеснасць (XXI).
Формулы (XVI) — (XXI) называюцца таксама формуламі п р ывядзення да лагарыфмічнага выгляду, таму што пры вылічэннях з дапамогай лагарыфмічных табліц і лагарыфмічнай лінейкі зручна вылічваць здабыткі, але не сумы і рознасці.
Сума 1 + cos a пераўтворыцца ў здабытак па формулах (XVI) і (XVIII). Прыняўшы пад увагу, што l=cosO, атрымаем 1 + cos a = cos 0 + cos a i канчаткова
1 + cos a = 2 cos2 |~; 1 — cos a = 2 sin2
Прыклады. Пераўтварыць y здабытак:
1) sin 24° + sin 22° = 2 sin 23° cos 1°;
аргументы — — y i y +y дапауняюць адзін другога да у I.
§ 25. Пераўтварэнне ў здабытак выразу a sin а + 6 cos a
Дапусцім, што лікі a і ft не роўны нулю. Пабудуем на плоскасці пункт Л! (a, ft) з абсцысай, роўнай а, і ардынатай, роўнай ft. Даўжыня радыусавектара ОМ роўна г = / a2 4 6а • Косінус і сінус вугла ®, утворанага ОМ з воссю абсцыс, роўны:
a . ft
^ДЬ2 г /а2ф62
Выканаем наступныя пераўтварэнні:
_________________________ fa Ь \ a sin a + ft COS a = V a2 + ft2 —7=== sin a 4 —7== cos a =
\ Ka’4ft2 У a2 4 ft2 /
= K®2 + ft2 (s>n 1 cos ? 4 cos “ sin ?)•
Такім чынам:
a sin a 4 ft cos e = KЧ2 + ft3 sin (a 4 ?)• Вугал s называецца дапаможным вуглом.
40
Прыклады.
1) sin a + COS a = / 2
/2 /2 '
sin a • —2— + cos a • —2—
= y 2 I sin a COS — 4 COS a sin J 2 sin la +
(2 3
— sin a — —7cos a
/13 /13
= /13 sin (a — cp),
дзе:
2
КНІГІ ОНЛАЙН
