Трыганаметрыя
Выдавец: Народная асвета
Памер: 95с.
Мінск 1965
Выражэнне трыганаметрычных функцый праз с інус. 3 тоеснасцей (I) і (II) атрымаем (вылічэнні такія ж, як у папярэднім выпадку):
COS a = + У 1 — sin2 a; tg a = ± sin 3 —;
У 1 — sin2 a
Выражэнне трыганаметрычных функцый праз тангенс. 3 тоеснасцей (IV) і (II) (першых) атрымаем:
cosa = , , ; sin a = tg a • cos a.
1 т 1 °
3 гэтых роўнасцей i з тоеснасці (III) знойдзем:
cosa= ^==•, sina = 4g ; ctga = —..
~ K 1 + tg2 a ~ V 1 + tg2 a tg *
Выражэнне трыганаметрычных функцый праз катангенс. 3 тоеснасцей (IV), (II) і (III) знойдзем:
COS a = 4 5tg ° sin a = 4 ——= L —; tg a = —1—.
“ /l+ctg2a ~ /1+ctg’a & Ctga
Атрыманыя формулы дазваляюць, ведаючы значэнне адной з трыганаметрычных функцый, вылічыць значэнні астатніх функцый пры тым жа значэнні аргумента.
У формулах, якія змяшчаюць радыкалы, знак + або — трэба ставіць у залежнасці ад таго, у якой чвэрці заканчваецца вугал (дуга) a.
3
Прыклад. Дадзена: sin a = вылічыць значэнні іншых трыганаметрычных функцый, калі 90° < a < 180°.
Р а ш э н н е. Вугал a заканчваецца ў II чвэрці, у якой косінус, тангенс і катангенс адмоўныя; таму
§ 12. Цотнасць і няцотнасць трыганаметрычных функцый
Функцыя называецца цотнай, калі яе значэнне у не змяняецца пры замене адвольнага значэння аргумента х процілеглым яму значэннем — х. Прыкладам цотнай функцыі можа служыць функцыя у = х2, паколькі
(— х)2 = х2 = у.
21
Функцыя называецца няцотнай, калі яе значэнне і/ замяняецца процілеглым лікам — у пры замене адвольнага значэння аргумента х процілеглым яму значэннем — х. Прыкладам няцотнай функцыі можа служыць функцыя х3, паколькі
(— х)3 = х3 = у.
Прыкладам функцыі, якая не з’яўляецца ні цотнай, ні няцотнай, можа служыць функцыя х2 + х. На самай справе, замяніўшы х на —х, атрымаем:
(— х)2 + (— х) = х2 — х, што (пры х #= 0) не роўна ні х2 + х, ні — (х2 + х).
Тэарэма. Косінус з’яўляецца цотнай функцыяй:
COS (— a) = cos a ;
сінус, тангенс і катангенс з’яўляюцца няцотнымі функцыямі:
sin(—a) = —sina; tg(—a) = — tga; ctg(—a) = — ctg a
Коратка гэту тэарэму можна сфармуляваць так: знак мінус у аргумента косінуса можа быць апушчан, а ў аргумента сінуса, гпангенса і катангенса можа быць вынесен за знак функцыі
Доказ. Няхай a — дадзены вугал; разгледзім вугал —a. Узаемна процілеглыя вуглы a і —a утвараюцца аднолькавым паваротам рухомага радыуса ад агульнага пачатковага становішча ОА, але ва ўзаемна процілеглых напрамках; таму іх канечныя стораны ОМ і ON сіметрычныя адносна восі абсцыс (чарц. 30). Значыць, абсцысы пунктаў М і N роўныя, а ардынаты процілеглыя. Параўнаўшы каардынаты пункта М (х, у):
х = cos a і у = sin a, з каардынатамі пункта N (х, — у):
х = cos(— a) і — у = sin (— a), атрымаем:
cos a = cos (— a); sin (— a) = — sin a.
Далей знойдзем:
. , . 5ІП(—a) —Sina tg ( — <*) = 7X =
° ' ' COS (— a) COS a
COS (— cos a .
ct^~*) = ^Hb^ = ^7iHT = ctSa’
= — tg a;
ш. т. д.
Прыклады.
/ n \ it V~3
1) cos I — g) = cos g = —2—
22
^(т)=‘§ тг = ут; Міг^^^^ 3 •
2) cos (— 135°) = cos 135° = — —g—I sin (— 135°) = — sin 135° = — " ^ ■.
tg ( 135°) = tg 135° =1; ctg ( 135°) = ctg 135° = 1.
§ 13. Пабудаванне вугла па дадзенаму значэнню яго трыганаметрычнай функцыі
Задача I. Дадзен лік т, пабудаваць вугал (дугу) і, косінус якога роўны т.
Р а ш э н н е. Пабудуем на восі ОХ пункт N з абсцысай х = т і правядзём праз яго прамую, паралельную восі OY.
Магчымы наступныя выпадкі (чарц. 31):
Чарц. 31.
Выпадак Г. jm|< 1, тады пункт N {т, 0) ляжыць унутры адзінкавага круга. Паралель восі OY перасячэ адзінкавую акружнасць у двух розных пунктах, адзін з якіх Мг змяшчаецца ў верхняй, а другі М2 — у ніжняй паўакружнасці. Усякі вугал а, для якога ОМ2 або ОМ2 з’яўляецца канечнай стараной, мае косінус, роўны т:
cos a = т.
Выпадак 2°. т — + 1, тады пункт N (т, 0) супадае з адным з канцоў гарызантальнага дыяметра, паралель восі ардынат датыкаецца да адзінкавай акружнасці (чарц. 31, 2°). Для канечнай стараны шукаемага вугла магчыма толькі адно становішча: ОА пры m = 1 і ОА2 пры т = — 1. Маем адпаведна a = 2/г~ (пры m = 1) і a = (2^41) (пры т = —1), дзе k — любы цэлы лік: ^ = 0, і 1, і 2, ....
Выпадак 3°. |т[>1, тады пункт N (т, 0) ляжыць паза адзінкавым кругам і паралель восі ардынат, праведзеная праз пункт N, не перасякае адзінкавай акружнасці, а таму вуглоў, косінус якіх роўны т, н е і с н у е.
3 усіх вуглоў (дуг), косінус якіх роўны т (дзе \т\ < 1), найменшы неадмоўны а0 заключан у прамежку ад 0 да я (верхняя паўплоскасць); гэты вугал (дуга) называецца галоўным вуглом (дугой) і абазначаецца так: a0 = arccosm*.
* Першыя тры літары arc з’яўляюцца скарачэннем лацінскага слова arcus — дуга, arc cos т чытаць так: арккосінус ліку т.
23
Чарц. 32.
Азначэнне. Галоўны вугал (дуга) arc cos tn ёсць вугал (дуга), які змяшчаецца ў прамежку ад 0 да к:
0 < arc cos т <, косінус якога роўны т.
Калі |mj>l, то выраз arc cos m не мае сэнсу, бо вуглоў, косінус якіх роўны т, не існуе.
л 1
Прыклады. 1) arc cos 1 = 0; arc cos (—l) = r; arc cos 0 =arc cos w = 2
= ~y л; arc cos 5 не мае сэнсу.
2
2) Ha чарцяжы 32 паказаны вуглы arc cos / 2 \
і arc cos I .
Задача /I. Дадзен лік т, пабудаваць вугал а, сінус якога роўны т.
Р а ш э н н е аналагічнае рашэнню папярэдняй задачы: пункт ^ (0, т) будуецца на восі ардынат, і праз яго праводзіцца паралель восі абсцыс (чарц. 33).
Выпадак Г. |m| < 1, тады паралель восі ОХ перасячэ адзінкавую акружнасць у двух пунктах, адзін з ў правай, а другі М2— у левай паўакруж
якіх Mt знаходзіцца
насці. Радыусывектары ОМХ і ОМ2 вызначаюць д в а розныя становішчы канечнай стараны шукаемых вуглоў.
Выпадак 2°. т=±\, тады для канечнай стараны вугла a магчыма адно становішча: ОВ пры т—\ і ОВ1 пры т = — 1.
Чарц. 33.
Маем адпаведна a = ^+2h (пры m = 1) і a =y+2fe (пры т — — 1), дзе k — любы цэлы лік.
Выпадак 3°. |т|>1, тады задача не мае рашэння: вуглоў, сінус якіх роўны т, не існуе.
3 усіх вуглоў (дуг), сінус якіх роўны т, дзе |т!<1, галоўным лічыцца найменшы па абсалютнай велічыні; гэты вугал заключан у прамежку аду да у (правая паўплоскасць).
24
Азначэнне. Галоўны вугал (дуга) arc sin т ёсць вугал (дуга), які знаходзіцца ў прамежку ад—~да^:
—у < arc sin т
л
Т’
сінус якога роўны т.
Калі |т|>1, то выраз arc sin m не мае сэнсу.
1 л
Прыклады. 1) arc sin 0 = 0; arc sin y = —g;
л arc sin 1 = y;
arc sin
2) Ha чарцяжы 34 паказана . « • 3 •
пабудаванне вуглоу arc sin y i
I 3 \ arc sin I — y J.
3) Знайсці (набліжана) arc sin 0,4226. Па табліцах (гл. табліцы Брадзіса, табл. VIII) знаходзім (у градуснай меры); arc sin 0,4226 « 25°.
Задача III. Дадзен лік т, пабудаваць вугал (дугу) а, тангенс якога роўны т.
arc sin
Р а ш э н н е. Пабудуем на восі тангенсаў пункт ^ (1, т) з ардынатай, роўнай т (чарц. 35). Прамая, якая злучае пункт ^з пачаткам каардынат, перасячэ адзінкавую акружнасць у двух дыяметральна процілеглых пунктах М± і М2, радыусывектары якіх даюць два розныя становішчы канечнай стараны шукаемага вугла.
3 усіх вуглоў (дуг), якія маюць дадзены тангенс, галоўным лічыцца вугал, найменшы па абсалютнай велічыні; гэты вугал заключан паміжу і у.
Азначэнне. Галоўны вугал (дуга) arctg т ёсць вугал
(дуга), які змяшмаецца паміж—у Z у:
у < arc tg яг
тангенс якога роўны т.
Прыклады. 1) arc tg 0 = 0;
arc tg (— / 3) = — y; arc tg 1 = y arc tg (— 1) = — y.
2) Ha чарцяжы 36 паказана пабудаванне вуглоў arc tg 2 i arctg( — 2).
25
Задача /V. Дадзен лік т, пабудаваць вугал (дугу) а, катангенс якога роўны т.
Рашэнне аналагічна рашэнню папярэдняй задачы; трэба правесці прамую праз пачатак каардынат і праз пункт N (т, 1), які ляжыць на восі катангенсаў, і знайсці пункты яе перасячэння з адзінкавай акружнасцю. 3 усіх вуглоў (дуг), якія маюць дадзены катангенс, галоўным лічыцца н а йменшы дадатны вугал, ён заключан паміж 0 і
Азначэнне. Галоўны вугал (дуга) arc ctg m ёсць вугал (дуга), які змяшчаецца паміж 0 і тс
0 < arc ctg m
КНІГІ ОНЛАЙН
