КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

Калі левую частку ўраўнення, пасля пераносу ў яе ўсіх складаемых, можна раскласці на множнікі, то ўраўненне прыме выгляд роўнасці нулю здабытку. Далей трэба прыраўняць пачаргова нулю кожны з сумножнікаў*, рашыць кожнае з атрыманых ураўненняў і аб'яднаць у адно мноства ўсе знойдзеныя рашэнні.
* Здабытак роўны нулю ў тым і толькі ў тым выпадку, калі хаця б адзін
з сумножнікаў роўны нулю.
86
Прыклад. Рашыць ураўненне: sin 5х — cos Зх = sin х.
Р а ш э н н е. Перанясём усе складаемыя ў левую частку і раскладзём яе на множнікі. Маем паслядоўна:
(sin 5х — sin х) — cos Зх = 0;
2 sin 2х ■ cos Зх — cos Зх = 0; cos Зх • (2 sin 2х — 1) = 0.
Прыраўняўшы нулю сумножнікі левай часткі, атрымаем сукупнасць ураўненняў:
2 sin 2х — 1 = 0 і cos Зх = 0.
Рэшым першае ўраўненне:
1	it	it	л
sin 2х = у; 2х = (— 1)"g + nit і х = (— іуру + пу. (1)
Рэшым другое ўраўненне: л	2^ + 1
Зх = 2 ”г ^“1 * — g ~	(2)
Агульнае рашэнне дадзенага ўраўнення складаецца з дзвюх серый:  ntt 24 + 1
Калі пры некаторым значэнні невядомага хаця б адзін з сумножнікаў ператвараецца ў нуль, а іншыя (хаця б адзін) трацяць сэнс, то і ўвесь здабытак траціць сэнс; такія значэнні невядомага рашэннямі дадзенага ўраўнення не з’яўляюцца.
Прыклад. Калі прыраўняць нулю паасобку сумножнікі левай часткі ўраўнення
sin 2х • tgx = 0.	(1)
то атрымаем сукупнасць ураўненняў:
sin 2х = 0 і tg х = 0,	(2)
mt з якіх знойдзем:	х = і х = kn.
Другі сумножпік tgx траціць сэнс пры значэннях х = у+ kn = (2А+ 1) g , якія змяшчаюцца ў мностве рашэнняў першага ўраўнення (2) пры няцотным п = 2й + 1. Гэта пабочныя рашэнні. Пры цотным п = 2k рашэнні першага ўраўнення (2) змяшчаюцца ў мностве рашэнняў другога ўраўнення. Формула агульнага рашэння дадзенага ўраўнення ёсць х = kn.
§ 52. Аб страце рашэнняў і з’яўленні пабочных пры выкананні пераўтварэнняў
Тоесныя пераўтварэнні дадзенага выразу могуць вобласць вызначэння. Так, напрыклад, выраз ^^
рашэнняў
змяніць яго не мае сэнсу
пры х — kit (k — любы цэлы лік), таму што пры гэтых значэннях аргумента назоўнік ператвараецца ў нуль. Калі выканаць наступнае пераўтварэнне:
sin 2х 2 sin х cos х „
=— =:= 2 cos
sin X	sin X	’
87
то атрымаецца выраз 2 cos х, які мае сэнс пры ў с і х значэннях х. Мноства дапушчальных значэнняў аргумента х расшы ры л ас я.
Наадварот, пры пераходзе ад выразу 2cosx да першапачатковага ТПГ7 мноства дапушчальных значэнняў аргумента х з в узіцца.
Пры выкананні тоесных пераўтварэнняў над выразамі, якія змяшчаюцца ва ўраўненні, магчыма з’яўленне пабочных рашэнняў, калі мноства дапушчальных значэнняў невядомага расшырылася, і магчыма страта рашэнняў, калі гэта мноства звузілася.
Прыклад. Рашыць ураўненне:
1 + cos 2х sin 2х
2 cos х “1 — cos 2х'
Р а ш э н н е. Робім скарачэнне дробавых выразаў:
1 + cos 2х 2 cos2 х
—s = cosx;
2	cos х 2 cos х
sin 2x 2 sin x cos x cos x
1—	cos 2x —	2 sin2 x “ sin x'
Ураўненне прыме выгляд:
cosx cos x (sin X— 1) cos x = —, або —:=
sin x	sin x
(1)
(2)
Прыраўняўшы нулю сумножнікі лічніка:
cos х = 0 і sin х — 1 = 0, атрымаем:
х = g + An і х = у + 2nn.
Другая серыя значэнняў х змяшчаецца ў першай, і абедзве формулы можна аб’яднаць у адну: х = g + An.
Скарачэнне дробавых выразаў пры пераходзе ад ураўнення (1) да ўраўнення (2) можа ўнесці пабочныя рашэнні. У дадзеным прыкладзе ўсе знойдзеп ныя рашэнні пабочныя, таму што левая частка ўраўнення (1) пры х =	+ An
траціць сэнс. Дадзенае ўраўненне не мае рашэнняў.
3 а ў в а г а. Страты рашэнняў не можа быць, таму што пры пераходзе ад ураўнення (1) да ўраўнення (2) мноства дапушчальных значэнняў х расшырылася.
§ 53.	Прыватныя прыёмы рашэння трыганаметрычных ураўненняў
Ніжэй на прыкладах паказаны розныя прыватныя прыёмы рашэння трыганаметрычных ураўненняў. Гэтыя прыёмы могуць быць самымі разнастайнымі ў залежнасці ад выгляду левай і правай частак ураўнення.
88
Прыклады.
1)	Рашыць ураўненне: sin х sin 7х = sin Зх sin 5х.
Р а ш э н н е. Пераўтворым у суму левую і правую часткі: cos 6х — cos 8х cos 2х — cos 8х ■g=—g• a®0 cos 6* = cos 2х.
Прыменім спосаб раскладання на множнікі:
cos 6х — cos 2х = 0; — 2 sin 4х sin 2х = 0, адкуль:
kit	kit
sin 4х = 0, sin 2х = 0 і, нарэшце, х = і х =
Першая серыя змяшчае другую (пры цотным k = 2п); таму х = есць формула агульнага рашэння дадзенага ўраўнення
2)	Рашыць ураўненне: cos х + sin х = 1.
Р а ш э н н е. Падзяліўшы абедзве часткі на / 2 і прыняўшы пад увагу, л	п 1
што cos — = sin — = ~у~2 ’ прадставім левую частку ў выглядзе косінуса рознасці. Маем паслядоўна:
cos х cos — + sin х sin — =
cos	= —!_____ i x — A = ± —	2&я,
П 4	4
адкуль знойдзем дзве серыі рашэнняў:
7С
х = ~2~ + Ikr. і х = 2kit.
Другім спосабам гэта ўраўненне было рэшана ў § 50 (стар. 85, прыклад 2). Пры рашэнні, выкладзеным у гэтым параграфе, праверка кораняў не патрабуецца.
3 а ў в а г а. Гэтым спосабам можа быць рэшана ўраўненне a sin х + 6 cos х = с.
На самай справе, увядзеннем дапаможнага вугла у (гл. § 25) яно можа быць пераўтворана да выгляду:
/а2 + b2 sin (х + ^) = с.
3)	Рашыць ураўненне:
sin2 х + sin х cos х — cos2 х = 0.	(1)
P a ш э н н e. Падзяліўшы абедзве часткі на cos2 х, атрымаем:
tg2 х + tg X — 1 = 0	(2)
адкуль:
tg * = 1 ^^ 5 і X = arc tg ^І^ + kit
Пры пераходзе ад ураўнення (1) да (2) вобласць вызначэння ўраўнення звужаецца, таму што выключаецца з мноства дапушчальных значэнняў невядомага лікуг) 4 kit. Але ні адзін з гэтых лікаў не задавальняе ўраўненню (1), таму страты рашэнняў не адбываецца.
89
3 а ў в a г а. Гэта ўраўненне адносіцца да класа аднародных трыганаметрычных ураўненняў, таму што ўсе яго члены маюць адну і тую ж ступень (у дадзеным прыкладзе другую) адносна sin х і cos х. Выкладзеным спосабам звычайна і рашаюцца аднародныя трыганаметрычныя ўраўненні..
4)	. Рашыць ураўненне: 3 cos 4х — 5 sin3 х = 10.
Р а ш э н н е. Ураўненне не мае рашэнняў, таму што па абсалютнай велічыні 3 cos 4х не больш, чым 3. a 5 sin3 х не больш, чым 5, а таму правая частка не можа быць роўна 10.
§ 54. Аб набліжаным рашэнні трыганаметрычных ураўненняў
Сродкамі элементарнай матэматыкі не заўсёды магчыма скласці формулу агульнага рашэння дадзенага ўраўнення. У гэтым выпадку на практыцы вылічваюць корані набліжана, пры дапамозе графічнага метаду і табліц значэнняў функцый. Растлумачым сказанае на прыкладзе.
Рашыць ураўненне: № = sin х.
Акуратна пабудаваны графік (чарц. 83) паказвае, што лініі у = х2 і у = sin х перасякаюцца ў двух пунктах з абсцысамі х0 = 0 і %! > 0. Ураўненне мае два корані х0 = 0 і Xj > 0. Вылічым корань Xj з дакладнасцю да 0, 1,
карыстаючыся табліцамі Брадзіса.
На чарцяжы відаць, што корань Xj змяшчаецца ў інтэрвале у<х< у. Гэта ж пацвярджаюць вылічэнні. На самай справе, пры х = у левая частка ўраўнення х2 — sin х = 0, раўназначнага дадзенаму, адмоўная:
х2 — sin х = (yj2 sin “у — (0.7854)2 — 0,7071 ^
~ 0,6168 — 0,7071 < 0, апрых = у дадатная:
X2 — sin х = (!,5708)2 — 1 >0
(узвядзенне ў квадрат выконваем па табліцах квадратаў).
3 чарцяжа відаць, што значэнне х, «блізкае» да у; таму, падзяліўшы інтэрвал (^), напрыклад, на 5 роўных частак, выпрабуем значэнне х =^+ ^ =~ ( = 54°).
Маем:
х2 — sin х =	— sin 54° ^ (0.9425)2 — 0,8090 ^
90
^ 0,8883 — 0,8090 > 0. Паколькі пры х = 4 левая частка ўраўнення х2 — sin х = 0 адмоўная, а пры х = ^ дадатная, то “<х1<7о‘ Падзяліўшы інтэрвал Іу ^1, напрыклад, на тры роўныя часткі, выпрабуем значэнні:
^ + ^ = >(^)іх = ^ + А=^(=51°).
Пры х = — маем:
(sin 4г ~ (0.8378)2 — sin 48° ^ 0,7019 — 0,7431 < 0. \ 10 /	10
п	17л
Выпрабуем значэнне х =
(Й"— sin 51°^ (0.8901)2 — 0,7771 ^ 0,7923 — 0,7771 > 0.
Такім чынам, корань х заключан паміж лікамі = 0,837 ..
1	W = 0,890 . . . , а таму 0,8 < Xj < 0,9. Каб устанавіць, якое са значэнняў 0,8 або 0,9 трэба ўзяць, выпрабуем х = 0,85 (^ 48'42').
(0,85)2 — sin 48°42' ^ 0,7225 — 0,7513 < 0;
значыць, 0,85 < Xj < 0,9, а таму х^О.9 (з лішкам). Далейшым дзяленнем прамежку можна вылічыць Xj з дакладнасцю да 0,01 і г. д.
§ 55. Аб спосабе рацыяналізацыі
Метад рацыяналізацыі заключаецца ў наступным: уводзіцца дапаможнае I* невядомае так. каб пасля падстаноўкі атрымалася рацыянальнае ўраўненне адносна гэтага дапаможнага невядомага.
У якасці прыкладу рэшым ураўненне
a sin х + 6 cos х = с, дзе a^O, б^Оіс^О.
(1)
Р а ш э н н е Паколькі cos х і sin х выражаюцца рацыянальна праз
(гл. § 26), то, дапусціўшы f = tg—s. атрымаем:
1 “ Т ] — /2 cos х =— = j , ^; sin х =
i + tg’T
2tg 2	2/

Пасля падстаноўкі ўраўненне прыме выгляд:
t2(b + c) — 2at + c — b 11/2	— 0.
(2)
91
Памножыўшы абедзве часткі на выраз — (1 +12) (не роўны нулю пры ўсіх значэннях t), атрымаем квадратнае ўраўненне:
t2 (b + с) — 2at + с — b = ft	(3)
раўназначнае ўраўненню (2), адкуль, калі b + — с:
( = а ^Уа2 + Ь2 — с2
Ь+с
Значэнні t сапраўдныя. калі а2}Ь2 >'с2.
Калі b = — с. то ўраўненне (3) ператворыцца ва ўраўненне першай ступені. з якога знойдзем:
(=tg± = A, 4=arctg()+^	(5)
2 a 2	\ a J
х
Выраз для дапаможнага невядомага / = tg у траціць сэнс пры
“ = у + kx. г. зн. пры х = (24 + IX Рашэнні ўраўнення (1) выгляду х = (24+ 1)л (калі такія рашэнні існуюць) могуць быць страчаны. Падставіўшы х = (2/г + 1)г ва ўраўненне (1), атрымаем — Ь — с
У гэтым выпадку ўраўненне (1) мае серьпо рашэнняў х = (24 + 1)п.
Са сказанага вынікае:
1°. Калі а2 \ Ь2 < с2, то ўраўненне (1) не мае рашэнняў, таму што ўраўненне (3) не мае сапраўдных кораняў.
2°. Калі а2 + Ь2> с* і с + 4, то з ўраўнення (4) знойдзем:
х = 2 (arc tg *_Jl£Z±ZEZ + \	b + с	/
3° Калі с — — Ь, то ўраўненне (1) мае дзве серыі рашэнняў:
х= (24 + 1) і х = 2arc tg ^— Aj + 2*~ I3 ураўнення (5)).
Гістарычны нарыс
Трыганаметрыя, як і ўсякая навуковая дысцыпліна, узнікла з патрэб практычнай дзейнасці чалавецтва. Разнастайныя задачы астраноміі. мараплавання. землямерання, архітэктуры прывялі да неабходнасці распрацоўкі спосабу вылічэння элементаў геаметрычных фігур па вядомых значэннях іншых іх элементаў, знойдзеных шляхам непасрэдных вымярэнняў., Так. напрыклад. на аснове даных. атрыманых у выніку назіранняў і вымярэнняў, астраномы вылічылі адлегласці ад Зямлі да іншых нябесных цел