КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

Чарц. 10.
адкладваць так: за вяршыню вугла бярэцца пачатак каардынат, а за пачатковую старану — дадатная паўвось абсцыс. Каб атрымаць канечную старану вугла, які вымяраецца дадзеным лікам, трэба павярнуць прамень ад пачатковага становішча ОХ на вугал, які вымяраецца гэтым лікам
(чарц. 11).
Прамень, які выходзіць з пачатку каардынат, служыць канечнай стараной для бясконцага мноства вуглоў, адкладзеных ад дадатнай паўвосі ОХ\ гэтыя вуглы адрозніваюцца адзін ад другога на цэлы лік поўных абаротаў: калі я — велічыня аднаго з такіх вуглоў, то велічыня адвольнага вугла 3 з гэтага мноства выразіцца
лікам ^ = 2й + », дзе k — любы цэлы лік, г. зн. 4 = 0, ±1, ±2, +3.........Вугал р складаецца з вугла a і k поўных (дадатных або адмоўных) абаротаў. Так, напрыклад, прамень, нахілены да восі абсцыс пад вуглом у 30°, служыць канечнай стараной для вуглоў 30° + 360'4, г. зн. для вуглоў 30° (* = 0), 390° (&= 1), —330° (£=—1), 750J (6 = 2) і г. д.
Азначэнне. Круг з цэнтрам у пачатку
(KO)
Чарц. 11.
каардынат і з радыусам, роўным 1, называецца адзінкавым кругам, а яго акружнасць — адзінкавай акруж
насцю.
У с я к і сапраўдны лік a можна паказаць пунктам адзінкавай акружнасці; для гэтага прынята ад правага канца A (1,0) гарызантальнага дыяметра адкладваць дугу, якая вымяраецца лікам a (гл. чарц. 11). Калі a ёсць радыянная мера дугі, то дастаткова ад пункта А адкласці пры a > 0 у дадатным напрамку і пры a < 0 у адмоўным напрамку дугу, па даўжыні роўную |а|; канец гэтай дугі і паказвае лік а. Лік нуль, a = 0, паказваецца пачатковым пунктам A (1,0).
На чарцяжы 12дадзены пункты адзінкавай акружнасці, якія паказваюць розныя сапраўдныя лікі.
Два розныя сапраўдныя лікі a і ^ паказваюцца адным і тым жа пунктам адзінкавай акружнасці ў тым і толькі ў тым выпадку, калі дугі, якія вымяраюцца гэтымі лікамі, адрозніваюцца на цэлы лік поўных акружнасцей, г. зн. р — a = 2k z, або
^ = a f 24 п
дзе 4цэлы (дадатны або адмоўны) лік.
8
Каардынатныя восі дзеляць плоскасць, а разам з ёй адзінкавы круг і яго акружнасць на чатыры роўныя часткі, якія называюцца чвэрцямі (адпаведна плоскасці, круга або адзінкавай акружнасці).
Калі канечная старана вугла (або канец дугі) змяшчаецца ў некаторай чвэрці плоскасці (або адзінкавай 'акружнасці), то гавораць, што дадзены вугал (дуга) заканчваецца ў гэтай чвэрці.
Чвэрці I і II адзінкавай акружнасці (чарц. 13) утвараюць абедзве разам верхнюю паўакружнасць, а чвэрці III і IV — ніжнюю паўакружнасць. Чвэрці I і IV утвараюць правую, a чвэрці II і III — левую паўакружнасць.
У правым канцы А гарызантальнага дыяметра заканчваюцца дугі, якія вымяраюцца лікамі 2^it (або ў градусах 360%), а ў левым канцы Д гэтага дыяметра — дугі, якія вымяраюцца лікамі it 4~ 2^it = (2k + 1)я (або ў градусах (2k + 1) ■ 180°), дзе k — любы цэлы лік.
Дугі п~, або 180 7г (дзе п — цэлы лік) заканч
Чарц. 13.
ваюцца ў канцах гарызантальнага дыяметра; пры цотным п = 2k — у пункце A, а пры няцотным n = 2А + 1 — у пункце Av
Ў пункце В (0,1) — верхнім канцы вертыкальнага дыяметра — заканчваюцца дугі ~ + 2k^ (або ў градусах 90° + 360° %). У пункце Bj (0, — 1) — ніжнім канцы вертыкальнага дыяметра — заканчваюцца ДУгі — 2 + 2h = ^ + (26 — 1) к. Дугі ^ + nit заканчваюцца ў канцах вертыкальнага дыяметра: у пункце В пры цотным п= 2k і ў пункце В^ пры няцотным п = 2k — 1.
Дугі k g (або 90%) заканчваюцца ў канцах або гарызантальнага, або вертыкальнага дыяметра. Пры ^ = 0, 1, 2, 3, 4, 5, ... атрымаем паслядоўна пункты A, В, Лр Blt A, ... , пры k =—1, —2, —3, —4,... атрымаем паслядоўна пункты Вр В, A.........
§ 5.	Праекцыя вектара на вось*
Вектарам называецца накіраваны прамалінейны адрэзак (чарц. 14). У абазначэнні вектара на першым месцы пішуць яго пачатак, ана другім — канец. Вектар АВ можна разглядаць як шлях, пройдзены пунктам, які рухаецца прамалінейна з пачатковага становішча А ў канечнае становішча В. Вектарнымі з’яўляюцца многія фізічныя велічыні, як, напрыклад, сілы, скорасці, паскарэнні і да т. п.; гэтыя велічыні паказваюцца накіраванымі адрэзкамі.
* Пад воссю мы разумеем прамую лінію, на якой устаноўлен дадатны напрамак і выбрана адзінка маштабу для вымярэння даўжынь.
9
Азначэнне. Праекцыяй вектара АВ на вось I называецца велічыня адрэзка А^^ які злучае праекцыю пачатку дадзенага вектара з праекцыяй яго канца на вось I (чарц. 15).
/
'Чарц. 14.
Чарц. 15.
Чарц. 16
Велічыня праекцыі лічыцца дадатнай (або а д м о ў н а й), калі напрамак адрэзка А^^ с у п а д а е (або п р о ц і л е г л ы) з напрамкам восі I. Калі вектар перпендыкулярны да восі I, то яго праекцыя на гэту вось роўна нулю (чарц. 16). Часам тым жа словам «праекцыя» называюць не толькі велічыню адрэзка АУВХ восі I, але і вектар ЛД.
Няхай F— вектар на каардынатнай плоскасці; абазначым праз Fi і F^ яго праекцыі на восі абсцыс і ардынат, а праз |F| яго
д а ў ж ы н ю.
Тэарэма. Квадрат даўжыні вектара роўны суме квадратаў яго праекцый на каарЬынатныя восі.
Чарц. 17.
Доказ. Пры паралельным пераносе вектара яго праекцыя на вось не мяняецца (чарц. 17). Перанясём вектар так, каб яго пачатак супаў з пачаткам каардынат. Апусцім перпендыкуляр на вось ОХ з канца векта
pa F; тады атрымаем прамавугольны трохвугольнік, гіпатэнуза якога роўна даўжыні вектара, а катэты — абсалютным велічыням IFJ і Fe яго праекцый на каардынатныя восі. Па тэарэме Піфагора:
R = FJ* + \F*.
Паколькі квадрат абсалютнай велічыні ліку роўны квадрату гэтага ліку, то знакі абсалютных велічынь у правай частцы лішнія:
|F|2 = F*+ F*
ш. т. д.
Заўвага. Калі вектар F ляжыць на адной з каардынатных восей, то трохвугольнік ператвараецца ў адрэзак, але і ў гэтым выпадку тэарэма правільная. Так, калі вектар ляжыць на восі абсцыс, to F2 — 0, a |f | = [fj; тое ж самае атрымаем і па формуле:
Н = / f^ + ^ ^Vf^^.
10
§ 6.	Адлегласць паміж двума пунктамі на каардынатнай плоскасці
Тэарэма. Квадрат адлегласці d паміж двума пунктамі М (хх, yj і N (х2, у2) на каардынатнай плоскасці роўны суме квадратаў рознасцей аднайменных каардынат гэтых пунктаў:
d2 = (х2  xj2 + (Уь—у^ .
Чарц. 18.
Доказ. Дадзены пункты М і ^(чapц. 18); .разгледзім вектар на каардынатнай плос| касці з пачаткам і з канцом у гэтых пунктах. Праекцыя вектара MN на вось абсцыс роў' на велічыні адрэзка (накіраванага) MXNX на I" восі ОХ. Па правілу складання велічынь накіраваных адрэзкаў на адной восі маем:
0Мх + MXNX — 0Nx, адкуль MXNX = 0Nx — 0Мх.
Паколькі
ОМ1 = х1, a ON^ — x^ to npxMN — MXNX = х2— xv
Спраектаваўшы вектар MN на вось ардынат, зусім гэтак жа атрымаем:
npyMN = M2N2 = yt — yv
Паколькі квадрат даўжыні вектара роўны суме квадратаў яго праекцый на восі каардынат (гл. § 5), то
d2 = (MXNJ2 + (M2N2)2 = (х2 — х^2 + (у2 — yj2, ш. т. д.
3 а ў в а г а. Выведзеная формула правільная пры любым размяшчэнні пунктаў М і N на плоскасці (а не толькі пры тым, якое дадзена на чарцяжы 18). На самай справе, правіла складання велічынь накіраваных адрэзкаў восі, на аснове якога былі вылічаны велічыні адрэзкаў MXNX і M2N2, справядліва пры адвольным становішчы пачатковых і канечных пунктаў адрэзкаў (на дадзенай восі).
Раздзел II
ТРЫГАНАМЕТРЫЧНЫЯ ФУНКЦЫІ
§ 7.	Вызначэнне трыганаметрычных функцый адвольнага
вугла
Няхай М — адвольны каардынат (чарц. 19).
Азначэнне. Вектар
пункт плэскасці, адрозны ад пачатку
нат
М
ОМ, які злучае пачатак каардыназываецца радыусамвектарам
пунктам
з
м
Чарц. 19.
пункта М або рухомым радыусам.
Абазначым праз х і у абсцысу і ардынату канца рухомага радыуса ОМ, a праз г — яго даўжыню.
Тэарэма. Калі рухомы радыус ОМ утварае дадзены вугал з воссю абсцыс, то адносіны
(1)
не залежаць ад даўжыні радыусавектара ОМ.
Доказ. Адкладзём на каардынатнай плоскасці дадзены вугал а, прыняўшы за пачатковую старану дадатную паўвось
абсцыс. На канечнай старане вугла а возьмем два адвольныя,
але адрозныя адзін ад другога і ад пачатку каардынат пункты Й і М'.Дакажам, што адпаведныя адносіны (1), складзеныя для радыусаўвектараў ОМ і ОМ', роўныя паміж сабой. Спраектаваўшы пункты М і М' на вось абсцыс (чарц. 20, а і Ь), атрымаем два падобныя трохвугольнікі
Чарц. 20.
OMN і OM'N'. Даўжыні катэтаў трохвугольніка 0MN роўны абсалютным велічыням каардынат пункта М, г. зн. |х| і |t/|, а даўжыня гіпатэнузы роўна г. Даўжыні катэтаў і гіпатэнузы трохвугольніка OM'N' ёсць \х'\, \у'\ і г'. 3 падоб1x1
насці трохвугольнікаў OMN і OM'N' маем: — = — (адносіны
падобных старон роўныя).
12
Адносіны ^ і уг аднолькавыя і па знаку. На самай справе, адрэзкі ON і ON' ёсць праекцыі аднолькава накіраваных радыусаўвектараў ОМ і ОМ'. Значыць, яны таксама аднолькава накіраваныя, і іх велічыні х і х' маюць адзін і той жа знак (на чарцяжы 20, а х і х' дадатныя, а на чарцяжы 20, b адмоўныя). Значыць,
_х____х' г г' '
Гэтак жа даказваецца роўнасць адносін | і — (спраектаваць ЛІ і М' на вось OY), ш. т. д.
Заўвага. Калі канечная старана вугла а накіравана ўздоўж адной з каардынатных восей, то трохвугольнікі OMN і OM'N' ператвараюцца ў адрэзкі, але тэарэма правільная і ў гэтым выпадку. Так, напрыклад, калі канечная старана вугла накіравана ўздоўж дадатнай паўвосі абсцыс, то ^ = 1, а ~ = 0; калі ж канечная старана накіравана ўздоўж адмоўнай паўвосі абсцыс, то^ = — 1,
a ^ = 0. г
Азначэнні. 1) Косінусам вугла а называецца адносіна абсцысы канца рухомага радыуса, які ўтварае вугал a з воссю абсцыс, да даўжыні гэтага радыуса:
cos « = — г
2)	Сінусам вугла а называецца адносіна ардынаты канца рухомага радыуса, які ўтварае вугал а з воссю абсцыс, да даўжыні гзтага радыуса:
y
sin a = — r
"^У^Тангенсам вугла a называецца адносіна сінуса вугла a да косінуса гэтага вугла:
. sin a tg a — cos a
4)	Катангенсам вугла « называецца адносіна косінуса вугла а да сінуса гэтага вугла:
, cos « ctg « =  sin a
13
Значэнні адносін cos a, sin a, tg a, ctg a не залежаць ад даўжыні рухомага радыуса.
3	азначэнняў тангенса і катангенса вынікае, што тангенс вугла a роўны адносіне ардынаты да абсцысы канца рухомага радыуса, які ўтварае вугал a з воссю ОХ, а катангене роўны адносіне абсцысы да арды наты канца гэтага рухомага радыуса:
У	х
, sin a Г У	cos a r х
tg a = = — = — 1 Ctg a = — = — = —.