КНІГІ ОНЛАЙН

Трыганаметрыя

Выдавец: Народная асвета

Памер: 95с.

Мінск 1965

54.39 МБ

° COS a X X ° sin a У y
r	r
Адносіну tga = — можна скласці, калі x^O. Калі ж x = 0, то дадзенай адносіны скласці нельга (на нуль дзяліць нельга); у гэтым апошнім выпадку канечная старана вугла накіравана
ўздоўж восі ардынат i a = g + ^, або ў градусах 90° + 180° k (дзе k — любы цэлы лік) Значыць, tg ^—^ + kr^ н е і с н у е.
Для вуглоў k (або ў градусах 180^) канечная старана накі
равана ўздоўж
восі
Чарц. 21
абсцыс, адносіна ~ траціць сэнс, паколькі у = 0; для гэтых вуглоў катангенс не існуе.
Усякаму вуглу a адпавядае некаторае значэнне кожнай з адносін (калі толькі яно мае сэнс);
cos a, sin a, tg a i ctg a.
Значыць, дадзеныя адносіны ёсць функцыі вугла а. Гэтыя функцыі называюцца трыганаметрычнымі функцыямі; вугал а з’яўляецца іх аргументам.
Апрача дадзеных чатырох функцый, часам разглядаюцца яшчэ дзве трыганаметрычныя функцыі — секанс і касеканс:
sec a = 
COS a
r .	1	r
— 1 cosec a = :— = — x	sin a	y
Аднак гэтыя дзве апошнія функцыі не маюць шырокага ўжы
вання.
Паколькі значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад даўжыні рухомага радыуса, то можна гэты радыус заўсёды браць адной і той жа даўжыні. Звычайна лічаць г = 1; тады канец рухомага радыуса знаходзіцца на адзінкавай акружнасці, а вугал утвараецца двума яе радыусамі (чарц. 21). У гэтым выпадку
cos a = х, Sin a = y, tg a = A ctg a = —•
14
адзінкаван акружнасці. Па дадзенай
Чарц. 22.
Такім чынам, косінус і сінус вугла а роўны абсцысе і ардынаце канца рухомага радыуса адзінкавай акружнасці, які ўтварае вугал а з пачатковым радыусам, а тангенс і катангенс роўны адносінам ардынаты да абсцысы і абсцысы да ардынаты канца рухомага радыуса.
Аргументам трыганаметрычных функцый можна лічыць не толькі вугал, але і дугу дузе можна пабудаваць адпаведны пункт на адзінкавай акружнасці (канец рухомага радыуса) і знайсці значэнні трыганаметрычных функцый.
Датычная да адзінкавай акружнасці ў канцы A (1,0) гарызантальнага дыяметра называецца воссю тангенсаў. Дадатны напрамак на восі тангенсаў устанаўліваецца такі ж, як на
восі ардынат (на чарцяжы 22 знізу ўверх). Няхай М— пункт адзінкавай акружнасці, які адпавядае вуглу а. Прадоўжыўшы радыус ОМ да перасячэння з воссю тангенсаў, атрымаем на гэтай восі пункт L (гэтага пабудавання нельга выканаць, калі пункт М ля
жыць на восі ардынат).
Тангенс вугла a роўны ардынаце адпаведнага пункта восі тангенсаў.
На самай справе, калі вугал a заканчваецца ў правай паўакружнасці, то, узяўшы OL за рухомы радыус, атрымаем:
, AL AL
6 ОА 1
дзе у}— ардыната пункта L (чарц. 22, a).
Калі вугал a заканчваецца ў левай паўакружнасці (чарц. 22,6), то аднайменныя каардынаты пунктаў М і L процілеглыя па знаку,
а адносіны ардынаты да абсцысы для абодвух гэтых пунктаў аднолькавыя (трохвугольнікі OMN і OAL падобныя):
tga =
у NM AL у, х ~ ON ~ ОА ~ 1 ~ У1'
Заўвага. Калі пункт М ляжыць на восі ардынат, то пункт L не існуе, tga таксама не існуе.
Воссю катангенсаў называецца датычная да адзінкавай акружнасці ў канцы В (0, 1) вертыкальнага дыяметра; дадатны напрамак на гэтай восі такі ж, як на восі абсцыс.
Катангенс вугла a ёсць абсцыса х адпаведнага пункта восі катангенсаў (чарц. 23).
15
§ 8.	Значэнні трыганаметрычных функцый ад некаторых вуглоў
Калі вугал a = 0 (чарц. 24, а), то канец рухомага радыуса адзінкавай акружнасці мае каардынаты х = 1, у = 0, а таму cos 0=1; sin 0 = 0; tg 0 = у = 0; cig 0 не існуе.
Калі вугал « = у (або ў градусах a = 90°), то канец рухомага радыуса
Чарц 24,	*	мае каардынаты (чарц. 24, Ь)
х — 0, у = \, а таму cos ў = cos 90° = 0; sin ^— = sin 90° =1; tgy = tg 90’ не існуе;
ctg J = ctg 90° = 0.
Калі a = я (чарц, 24, c), to x = — 1, y — 0, a таму cos ~ = cos 180° = — 1; sin  = sin 180’= 0; tg к = tg 180° = 0; ctg it = ctg 180° не існуе.
3
Калі a = g« (чарц. 24, d), to x = 0, y = — 1, a таму cos = cos 270° = 0; sin^ = sin 270’ = — 1; tg 4 " = tg 270° Z	“
не існуе; ctg ^  = ctg 270° = 0.
Няхай an — старана, a ln — апафема правільнага nвугольніка, упісанага ў адзінкавы круг. Размесцім nвугольнік так, каб дадатная паўвось абсцыс дзяліла папалам адну з яго старон; тады з чарцяжа 25 знойдзем:
п	180'	. . л
cos= COS —— =	1 sin — =
Л	n .	"	JI
Чарц 25.
Пры n = 3 атрымаем упісаны трохвугольнік (чарц 26, a). 3 геаметрыі вядома, што а3 = ]/ 3, /3 =ў; значыць,
16
tg J = tg 60° = / 3; ctg J = ctg 60 = pL
Пры n = 4 атрымаем упісаны квадрат (чарц 26, b); маем: ап = / 2, /„ = ^; а таму
cos^= cos 45° = І^; sin ^ = sin 45°=^;
tg ^ = tg45°=l; ctg^ = ctg45° = 1.
Пры n = 6 атрымаем упісаны шасцівугольнік (чарц. 26, с); маем: ав = 1, 'б = ~2~; значыць,
cos х = cos 30 = —г?; sin х = sin 30 = 5; b	zb	z
tg 1 = tg 30° = ^; ctg J ^ ctg 30° = / 3.
§ 9.	Знакі трыганаметрычных функцый
Паколькі cos а ёсць абсцыса канца радыуса адзінкавага круга, утвараючага вугал a з воссю ОХ, то значэнні косінуса дадатныя (адмоўныя) для вуглоў, якія заканчваюцца ў тых чвэрцях, у якіх абсцысы пунктаў дадатныя (адмоўныя).
Значыць, косінусы вуглоў (дуг), якія заканчваюцца ў правай паўплоскасці (I і IV чвэрці), дадатныя, а косінусы вуглоў, якія заканчваюцца ў левай паўплоскасці (II і III чвэрці), адмоўныя (чарц 27).
Чарц 27.
У прыватнасці, для вуглоў, заключаных паміж7 і ^, г. зн. ^ < a < у (або ў градусах — 90° < a < 90’), маем cos a > 0 Для вуглоў, заключаных паміж у і у, г. зн. у < a < у, маем cos a < 0.
2 Трыганамегрыя, 9—10 кл.	z; /	17
Паколькі sin а ёсць ардыната канца радыуса адзінкавага круга, утвараючага вугал a з воссю ОХ, то значэнні сінуса дадатныя (адмоўныя) для вуглоў, якія заканчваюцца ў тых чвэрцях, у якіх а р д ы н а т ы пунктаў дадатныя (адмоўныя).
Значыць, сінусы вуглоў (дуг), якія заканчваюцца ў верхняй паўплоскасці (I і I/ чвэрці), дадатныя, а сінусы вуглоў, якія заканчваюцца ў ніжняй паўплоскасці (III і IV чвэрці), адмоўныя (чарц. 28).
Чарц. 28.
У прыватнасці, для вуглоў, заключаных паміж 0 і it, г. зн. 0 < a < к (або ў градусах 0° < a < 180°), маем sin a > 0. Для вуглоў, заключаных паміж — it і 0, г. зн. — к < a < 0, маем sin a < 0.
Паколькі tga і ctga ёсць адносіны каардынат канца рухомага радыуса:
,	sin a	,	COS a X
tg a = = —J ctg a = —:= —,
° COS a X ° Sin a y
to значэнні тангенса i катангенса дадатныя (адмоўныя) для вуглоў,
Чарц. 29
якія заканчваюцца ў тых чвэрцях, у якіх каардынаты пунктаў аднолькавыя (процілеглыя) па знаку.
Значыць, тангенсы і катангенсы вуглоў, якія заканчваюцца ў I і III чвэрцях, дадатныя, а тангенсы і катангенсы вуглоў, якія заканчваюцца ў II і IV чвэрцях, адмоўныя.
Прыклад. Разглядаючы вяршыні В і С роўнастаронняга трохвугольніка, размешчанага, як паказана на чарцяжы 29, атрымаем:
2л	1	2	УЗ
cos у = cos 120° = — у; sin у = sin 120° = —g—;
2~	.—
tg —= tgl20’=  /3.
4k 1 4л У 3
cos y = — y; sin y = — —y;	tg y = p 3.
18
§ 10.	Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці і іх вынікі
Установім асноўныя суадносіны, з якімі звязаны значэнні чатырох трыганаметрычных функцый пры дадзеным значэнні аргумента.
I.	Сума квадратаў косінуса і сінуса аднаго і таго ж аргумента роўна адзінцы:
cos2 a + sin2 a = 1	.	(I)
___Доказ Няхай a — адвольны вугал (дуга); праекцыі радыуса ОМ адзінкавага круга, утвараючага вугал a з воссю абсцыс на восі OX і OY, ёсць:
х = cos a і у = sin a.
Паколькі даўжыня ОМ роўна 1, то (гл. чарц. 20)
х2 + у2 = 1, або cos2 a 4 sin2 a = 1,	ш. т. д.
/I. Па азначэнню тангенса і катангенса маем:
Sina	COS a
tg a =; ctg a = ——
° COS a ° sin a
(П)
В ы н і к і. Перамножыўшы пачленна тоеснасці (II), атрымаем наступную тоеснасць:
tg a • cig a = 1
(ПІ)
Падзяліўшы пачленна тоеснасць (I) на cos2 a, а затым на sin2 a, атрымаем тоеснаспі:
sin2 a 	1
COS2 a COS2 a
або
COS2 a ! ,_______	1
sin2 a 1 sin2 a’
запісаць так:
1 + tg2 a = —L_
COS2 a
(IV)
Інакш гэтыя тоеснасці можна
sec2 a = 1 + tg2 a i cosec2 a = 1 4 ctg2 a.
Растлумачэнне Усякая трыганаметрычная тоеснасць ёсць роўнасць, справядлівая пры ўсіх дапушчальных значэннях аргумента а, г. зн. пры ўсіх тых значэннях аргумента, пры якіх левая і правая часткі (кожная) маюць сэнс. Так, напрыклад, роўнасць tg a • ctg a = 1 выконваецца пры ўсіх значэннях а, пры якіх tg a і ctg a абодва макшь сэнс, г зн пры ўсіх а, за выключэннем вуглоў (дуг) ^—^—, якія заканчваюцца ў канцах або гарызанталь
2*
19
нага, або вертыкальнага дыяметра (для вуглоў k ^ або тангенс, або катангенс траціць сэнс).
Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці дазваляюць рабіць тоесныя пераўтварэнні выразаў, якія маюць трыганаметрычныя функцыі, і даказваюць розныя іншыя трыганаметрычныя тоеснасці. Для гэтага выкарыстоўваюцца агульныя правілы дзеянняў над алгебраічнымі выразамі, асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці і іх вынікі.
Прыклады: 1) Даказаць тоеснасць:
1	+ 2 sin a COS a tg а + 1 sin2 a — COS2 a ~ tg a — 1 '
Доказ. Пераўтворым левую частку, замяніўшы ў лічніку 1 сумай cos2 a + sin2 «• Маем паслядоўна:
1 + 2 sin a COS a COS2 a | sin2 a + 2 Sin a COS a sin2 a — COS2 a	sin2 a — COS2 a
(sin a + cos a)2	sin a + cos a
(sin a — COS a) (sin a + COS a) ~ sin a — COS a
Падзелім лічнік i назоўнік на cos a: sin a	cos a
sin a + COS a	cos a + COS a	tg a + 1
sin a — COS a	sin a cos a	tg a—1'
COS a	cos a
Такім чынам, атрымаўся той жа выраз, які знаходзіцца у правай частцы, ш. т. д.
2) Спрасціць выраз:
2	2.
’	1 + sin a “ 1 — sin a ■
P a ш э н н e. Выканаем пераўтварэнні:
Р = l /	2	■	2 ~ _ I /15 —sina)+ 2(1 + sjng _
V 1 + sin a ' 1 — sin a V	1 — sin2 a
Г COS2 a y cos2 a I COS a I 2
Значыць, P = cos —, калі cos a > 0, г. зн. a заканчваецца ў правай паў
2
плоскасці, і Р = — eos д , калі cos a < 0, г. зн. а заканчваецца ў левай паў
плоскасці.
§ 11. Вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый па значэнню адной з іх
Пры дапамозе асноўных тоеснасцей можна к о ж н у ю з трыганаметрычных функцый (ад аднаго і таго ж аргумента) выразіць праз любую другую трыганаметрычную функцыю.
Выражэнне трыганаметрычных функцый праз к осі н ус. 3 тоеснасці (I) (стар. 19) можна выразіць сінус праз косінус: sin « = + / 1 — cos2 a;
20
падставіўшы sin a y тоеснасць (II), атрымаем выражэнні тангенса і катангенса праз косінус:
=	ctga =
°	COS a	± V1 — COS2 a